小学奥数题库《数论》因数和倍数-最小公倍数-2星题(含解析)

数论-因数和倍数-最小公倍数-2星题课程目标
知识提要
最小公倍数
•定义
公倍数就是几个数公共的倍数。

最小公倍数就是其中最小的公倍数。

•求最小公倍数的方法
〔1〕枚举法
〔2〕分解质因数法
〔3〕短除法
〔4〕公式法
•最小公倍数的性质
〔1〕两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数；
〔2〕两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积；
〔3〕两个数具有倍数关系，那么它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
精选例题
最小公倍数
1. x 是最简真分数，假设它的分子加 a ，化简得 13；假设它的分母加 a ，化简得 14，那么 x = ．
【答案】 415
【分析】 由题可知，对于两种变化而言，分子分母之和相等，第一次变化和为
1+3=4,
第二次变化和为
1+4=5,
因 4 和 5 的最小公倍数是 20，故
13=515, 14=416, 因此
x =415.
2. 某些整数分别被 35，57，79，911 除后，所得的商化作带分数时，分数局部分别是 25，27，29，211，那么满足条件且大于 1 的最小整数是 ．
【答案】 3466
【分析】 设最小整数为 A ，分别被 57，79，911，1113 除后，所得的商分别为 75A ，97A ，119A ，1311A 那么
75A =1+25+75(A −1),
97A =1+27+97(A −1),
119A =1+29+119
(A −1), 1311A =1+211+1311(A −1). 显然，当 A −1=[5,7,9,11] 的时候满足题意，所以 A −1=3465，A =3466．
3. 大于 0 的自然数 n 是 3 的倍数，3n 是 5 的倍数，那么 n 的最小值是 ．
【答案】15
【分析】因为3n是5的倍数，所以n也是5的倍数，那么n是3和5的共同倍数，那么n 最小为15．
4. 一个自然数，它是3和7的倍数，并且被5除余2，满足这些条件的最小的自然数
是．
【答案】42
【分析】3和7的最小公倍数是21，21的倍数中满足被5除余2的最小数为42．
5. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么
B＝
【答案】108
【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33,那么
(k+1)×(3+1)=12,
得k=2，所以
B=22×33=108.
6. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数
是．
【答案】104或119
【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．
7. 两个自然数的最大公约数是100，最小公倍数是20100，这两个自然数的差是6400，那么这两个自然数的和是．
【答案】7000
【分析】详解：设这两个自然数分别为100x和100y(x>y)，那么(x,y)=1，[x,y]=
xy=20100÷100=201，x−y=6400÷100=64．只能是x=67，y=3，两个自然数分别是6700和300，它们的和是7000．
8. 两个自然数的最小公倍数是 60，最大公约数是 6，这两个数的和是 42，那么这两个数的差是 ．
【答案】 18
【分析】 详解：由最大公约数是 6，可设这两个数分别为 6x 和 6y(x ⩾y,且x,y 互质)，那么
x ×y =60÷6=10，x +y =42÷6=7，不难看出 {x =5y =2
，所以两个自然数分別为 30 和 12，差为 18．
9. 甲、乙两数的最小公倍数是 170，甲、丙两数的最小公倍数是 204，乙、丙两数的最小公倍数是 60，那么甲、乙、丙三个数的和最小是 ．
【答案】 39
【分析】 详解：从约数方面考虑，甲既要是 170 的约数，又要是 204 的约数，所以甲是 (170,204)=34 的约数；类以的，乙是 10 的约数，丙是 12 的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是 170，要求甲有约数 17，乙有约数 5，且甲、乙至少一个是 2 的倍数；甲、丙的最小公倍数是 204，说明丙一定是 12 的倍数，只能是 12，于是甲、乙、丙三个数的和最小是 17+5×2+12=39．
10. 一次考试，参加的学生中有 17 得优，14 得良，13 得中，其余的得差，参加考试的学生不满 100 人，那么得差的学生有 人．
【答案】 23
【分析】 由题意“参加的学生中有 17 得优，14 得良，13 得中〞，可知参加考试的学生人数是 7，4，3 的倍数，因为 7，4，3 的最小公倍数为 84〔小于 100 人〕，所以参加的学生总数为 84 人．那么得差的学生有：
84−12−21−28=23(人).
11. 我国南宋数学家杨辉在其?续古摘奇算法?上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，
七 数余三，九数余四，问本数．〞用现代语言表述就是：“有一个数用 2 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3，用 9 除余 4，问这个数是多少？〞请将满足条件的最小的自然数写在这
里 ．
【答案】 157
【分析】 〔解法一〕
先考虑除以 5 余 2，除以 7 余 3，除以 9 余 4；用剩余定理得
5×7×5+5×9×1+7×9×4=472
[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−
315=157，且也符合除以2余1．
〔解法二〕
除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；
除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；
除以7余3的数有：3，10，17⋯；
所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3〞的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17〔n
为自然数〕此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．
当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为
70⋯2+17=157
12. 自然数a,b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a,b中较大的
值是．
【答案】225
【分析】设(a,b)=d，那么有a=md,b=nd，且(m,n)=1．
由题意，得md−nd=(m−n)d=120，mnd=105d，即(m−n)d=120，mn= 105．
105=3×5×7，所有m,n有下面四组不同组合；
105，1；35，3；21，5；15，7．
因为(m−n)是120的因数，120=23×3×5，上面四组只有15−7=8是120的
因数，所以m=15,n=7，d=120÷(m−n)=15．a,b中较大的数是a，它的值md=
15×15=225．
13. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6
的倍数，那么这个数最小为．
【答案】122
【分析】这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数，取三位数120，所以最小值为122．
14. 一个自然数，它是5和7的倍数，并且被3除余1，满足这些条件的最小的自然数
是种．
【答案】70
【分析】5和7的最小公倍数是35，35的倍数中满足被3除余1的最小数为70．
15. a和b的最大公约数是4，a与b及b与c的最小公倍数都是100，而且a小于等于b，
那么满足条件的有序自然数对(a,b,c)共有组．
【答案】9
【分析】
(a,b)=4,
[a,c]=100=22×52,
[b,c]=100=22×52,
a⩽b，a可以是4或20或100，b可以是4或20或100，c可以是25或50或100；
枚举如下：
当a=4，b=4，c=25或50或100都成成立，有3种情况；
当a=4，b=20，c=25或50或100都成成立，有3种情况；
当a=4，b=100，c=25或50或100都成成立，有3种情况；
故共有9种情况．
16. 两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，那么这两个数的差最小是．【答案】12
【分析】最大公约数和最小公倍数分别是3和135，
135÷3=45,
45=3×3×5,
差最小是
3×(9−5)=12,
那么这两个数的差最小是12．
17. 有一根长240厘米的木棒，先从左端开始每隔7厘米划一条线，再从右端开始每隔6厘米划一条线，并且从划线处截断木棒，那么所截得得小木棒中，长度是3厘米的木棒
有根
【答案】12
【分析】240刚好能被6整除，所以“从右端开始每隔6厘米划一条线〞等价于“从左端开始每隔6厘米划一条线〞，6跟7的最小公倍数为42，所以每42厘米一个周期．
分析一个周期的截口长度：端点，6米，7厘米，12厘米，14厘米，18厘米，21厘米，24厘米，28厘米，30厘米，35厘米，36厘米，42厘米．
21−18=3(厘米),
24−21=3(厘米),
所以一个周期有2段3厘米的木棒．
240÷42=5(组)⋯⋯30(厘米),
5组里面共有
5×2=10(段).
余下的30厘米中，还有2段3厘米的．
故共有10+2=12段3厘米的木棒．
18. 有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这箱苹果至少有个．
【答案】67
【分析】10≡1 (mod 3)=1，11≡3 (mod 4)=3，12≡2 (mod 5)=2，苹果数除以3余1，除以4少1，除以5多2．满足除以3余1，除以4少1的数最小是7，7刚好除以5余2，有因为苹果数大于12．
设苹果总数为N，N−7=[3,4,5]=60，N=67．
19. 在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是．
【答案】32340
【分析】是20的倍数也是14的倍数，那么这些数是[14,20]=140的倍数．最小的是0，最大的是2940，有(2940−0)÷140+1=22个．所以这些数的和是
(0+2940)×22÷2=32340.
20. 试求120、180、300的最小公倍数．
【答案】1800
【分析】
(120,180,300)=30×2×2×3×5=1800.
21. 加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？
【答案】10名
【分析】为了使生产均衡，那么三道工序每小时生产的零件个数应相等，应为6，10，15的最小公倍数，即[6,10,15]=30．30÷6=5，30÷10=3，30÷15=2．所以三道工序最少共需要5+3+2=10(名)工人．
22. 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
【答案】下午3点
【分析】简答：[9,60]=180，再过180分钟既响铃又亮灯．
23. 利用分解质因数法找出以下各组数的最大公约数和最小公倍数．
〔1〕1024和72；〔2〕60、84、90和700
【答案】〔1〕(1024,72)=8，[1024,72]=9216；〔2〕(60,84,90,700)=2，
[60,84,90,700]=6300
24. 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同
样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1
5千米，中圈跑道长1
4
千米，
外圈跑道长3
8千米．甲每小时跑31
2
千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同
时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点？【答案】6小时
【分析】甲跑完一圈需1
5÷31
2
=2
35
小时，乙跑一圈需1
4
÷4=1
16
小时，丙跑一圈需3
8
÷5=
3 40小时，他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为2
35
，1
16
，3
40
的倍数，即为它
们的公倍数．而
[2
35
,
1
16
,
3
40
]=
[2,1,3]
(35,16,40)
=
6
1
=6.
所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．
25. 甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
【答案】40分钟
【分析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．
26. 计算：(1085,1178)，[1085,1178]；(3553,3910,1411)．
【答案】 31，41230；17
27. 计算：(36,99)，[36,99]；(24,28,42)，[24,28,42]．
【答案】 9，396；2，168
28. 五年级一班有 40 多名同学，其中有 16 的同学喜欢看?哈利·波特?，有 18 的同学喜爱看?喜羊羊与灰太狼?，问五年级一班共有多少人？
【答案】 48 人．
【分析】 可知人数既是 6 的倍数，又是 8 的倍数，那么一定是 24 的倍数，只能是 48．
29. 计算：(28,72)，[28,72]；(28,44,260)，[28,44,260]．
【答案】 4，504；4，20020
30. 兄弟三人在外工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一次，小弟 12 天回家一次．兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
【答案】 10 月 25 日．
【分析】 同时团结一次需要 [6,8,12]=24 天．十月一日再过 24 天，就是 10 月 25 日．
31. 计算以下各组数的最大公因数和最小公倍数．
〔1〕56,415
〔2〕1645,875
【答案】 〔1〕(56,415)=130，[56,415]=203；
〔2〕(1645,875)=8225，[1645,875]=1615． 【分析】 子同母反：(a b ,c d )=(a,c )[b,d ]；[a b ,c d ]=[a,c ](b,d )．
32. 计算下组数的最大公因数和最小公倍数．
(43,87,69
) 【答案】 263; 8
【分析】短除法；(4
3,8
7
,6
9
)=(4
3
,8
7
,2
3
)=(4,8,2)
[3,7,3]
=2
63
；
[4 3,8
7
,6
9
]=[4
3
,8
7
,2
3
]=[4,8,2]
(3,7,3)
=8．
33. 甲数是36，甲、乙两数最大公因数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
【答案】32
【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数，有：甲数×乙数=4×288，所以，乙数=4×288÷36=32．
34. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，那么每只猴子可得12粒；如只分给第二群，那么每只猴子可得15粒；如只分给第三群，那么每只猴子可得20粒．那么平均给
三群猴子，每只可得多少粒？
【答案】5粒
【分析】依题意得：花生总粒数=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数=20×第
三群猴子只数，由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生
总粒数是60，120，180，⋯，那么：第一群猴子只数是5，10，15，⋯；第二群猴子只数是4，8，12，⋯；第三群猴子只数是3，6，9，⋯；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，
⋯因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．
35. 甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最
小公倍数是126．请问：甲数是多少？
【答案】18
【分析】详解：90=2×32×5，105=3×5×7，126=2×32×7．首先可知这三个数
的质因数只有2、3、5、7，而且甲中没有7，没有5；乙中没有2，没有7，最多有1个
3．因为甲、乙的最小公倍数是90，而乙中没有2，最多有1个3，可以判断出甲中有1个2，2个3，甲是18．
36. 两个数的最大公因数与最小公倍数的和是33，求所有满足条件的两个数．
【答案】1，32或3，30或11，22或6，15
【分析】由于最小公倍数是最大公约数的倍数，那么它们的和33一定也是最大公约数的倍数，那么这两个数的最大公约数只能是1，3，11，33，逐一验证找到所有解：这两个数是1，32或3，30或11，22或6，15．
37. 有一个自然数除以 15、17、19 所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 1，那么这个自然数是多少？
【答案】 1082
【分析】 设除以 15 时商 a 余 b ；除以 17 时商 c 余 d ；除以 19 时商 e 余 f ．
那么有 a +b =c +d =e +f 且 15a +b =17c +d =19e +f ．于是 14a =16c =18e ．设它们等于 7×16×9×t 〔7×16×9 是 14、16、18 的最小公倍数〕，那么有 a =72t ，c =63t ，e =56t ．代回第一个式子，有 72t +b =63t +d =56t +f ，所以 f −b =16t ．因为 b 和 f 都大于 1 且 f 小于 19，那么只能 b =2,f =18, 所以 t =1．
所以这个自然数是 72×15+2=1082．
38. 有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟行走 120 米，乙每分钟行走 100 米，丙每分钟行走 70 米．如果 3 个人同时同向，从同地出发，沿周长是 300 米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3 人又可以相聚在跑道上同一处？
【答案】 30
【分析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为 300÷120=52
(分钟)； 乙走完一周需要时间为 300÷100=3(分钟)；
丙走完一周需要时间为 300÷700=307(分钟)；
那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：
[52,307,3]=[5,30,3](2,7,1)=301
=30(分钟).
39. 〔1〕一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？ 〔2〕—个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？
【答案】 〔1〕17；437〔2〕106；216
【分析】 〔1〕这是一道余同的问题．这个数最小是 17，第二小是 [21,10]+17=437． 〔2〕这是一道缺同的问题．这个自然数加上 4 即可被 11 和 10 整除，[11,10]=110，因此这个数最小为 110−4=106．第二小的是 110×2−4=216．
40. 两个自然数的最大公因数是 13，最小公倍数是 78，求这两个数
【答案】 13，78 或 26，39
【分析】 假设这两个数是 13a 和 13b 且 (a,b )=1, 易得 13×a ×b =78, 所以 a ×b =6, 又 a,b 互质，那么就有 6=1×6=2×3 两种情况，所以这两个数为 13×1=13, 13×6=78 或 13×2=26, 13×3=39．
41. 恰好能同时被4、5、6整除的三位数有多少个？
【答案】15．
【分析】4,5,6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有999÷60−1≈15个．
42. 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒．三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
【答案】15分．
【分析】甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数．所求时间为
[60,75,90]=900(秒)=15(分).
43. 15和35的最小公倍数是多少？25和150的最小公倍数是多少？15，25，35的最小公倍数是多少？
【答案】105；150；525
【分析】用短除法，得105．25是150的约数，所以最小公倍是150．
15，25，35的最小公倍是
525=5×(3×5×7).
44. 一堆石子，2个2个数余1个，3个3个数余2个，5个5个数余4个，这堆石子至少有多少个？
【答案】29
【分析】观察这些数，我们发现，如果再多一个石子，那么就可以被2，3，5整除．[2,3,5]=30．去掉那一个，这堆石子至少有29个．
45. 两个数的最大公约数是10．最小公倍数是300，如果这两个数相差70那么较小的数是多少？
【答案】30
【分析】简答：这两个数分别是10a和10b，且a、b互质，然后列方程即可．
46. 计算下组数的最小公倍数．
[72,108,198]
【答案】2376
【分析】短除法；略．
47. 计算以下各组数的最小公倍数．
[28,35]，[108,360]，[24,36,90]．
【答案】140，1080，360
【分析】〔1〕28=2×2×7，35=5×7，[28,35]=2×2×7×5=140；
〔2〕108=2×2×3×3×3，360=2×2×2×3×3×5，[108,360]=2×2×2×3×3×3×5=1080；
〔3〕
$\begin{gathered}
3\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
{24}&{36}&{90}
\end{array}}\,}} \right. \hfill \\
{ 2}\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
{8}&{12}&{30}
\end{array}}\,}} \right. \hfill \\
{ 2}\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
{4}&{6}&{15}
\end{array}}\,}} \right. \hfill \\
{ 3}\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
{2}&{3}&{15}
\end{array}}\,}} \right. \hfill \\
{ }\begin{array}{*{20}{c}}
\;\; 2&1&5
\end{array}\hfill \\
\end{gathered}$
[24,36,90]=23×32×5=360．
48. 计算下组数的最大公因数和最小公倍数．
15 38,
9 14
【答案】(15
38,9
14
)=3
266
，[15
38
,9
14
]=45
2
．
【分析】短除法；略．
49. 两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别是多少？
【答案】12和20
【分析】简答：最大公约数是240÷60=4，然后设两个数为4a和4b，且a、b互质，求解即可．
50. 两个自然数的和为54，其最小公倍数与最大公约数差为114，求这两个数．
【答案】24，30
【分析】根据 $\begin{gathered}
m\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
A&B
\end{array}} \,}} \right. \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&a
\end{array}}&b
\end{array} \hfill \\
\end{gathered}$，得出：m(a+b)=54，m(ab−1)=114，m为54与114公因数，即m取值：6、3、2、1．
经验证：m=6,a=4,b=5符合条件，因此，两数分别是24与30．
51. 一次考试，参加的学生中有1
7得优，1
3
得良，1
2
得中，其余的得差，参加考试的学生不满50
人，那么总人数有多少人？【答案】42
【分析】由题意“参加的学生中有1
7得优，1
3
得良，1
2
得中〞，可知参加考试的学生人数是7，
3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，42×2=84>50，所以参加的学生总数为42人．
52. 甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少？
【答案】30
【分析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积．有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，那么乙数为540÷18=30．
53. 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？
【答案】 495
【分析】 此题所表达的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数．任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数．证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子：
我们可以令连续 9 个奇数为：a −4,a −3,a −2,a −1,a,a +1,a +2,a +3,a +4 那么他们的和为 9a ，即为 9 的倍数．
对于连续 10 个自然数，可以为 a −4,a −3,a −2,a −1,a,a +1,a +2,a +3,a +4,a +5，那么它们的和为 10a +5=5(2a +1)，即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数．
所以此题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495．
54. 两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？
【答案】 42
【分析】 详解：设这两个自然数分别是 6a 和 6b ，且 a 和 b 互质，那么有 6ab =420，6a −6b =18〔不妨设 a 比 b 大〕，可解出 a10，b =7，较小的数是 42．
55. 〔1〕两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216．这两个数是多少？
〔2〕假设两个数的最大公约数是 18，最小公倍数是 1080．这两个数有哪几组？
【答案】 〔1〕54 和 72；〔2〕18 和 1080，72 和 270，54 和 360，90 和 216
【分析】 详解：〔1〕设两个自然数分别是 18a 和 18b ，那么 a 和 b 互质，这两个自然数的最小公倍数是 18ab ，那么有 18ab =216，ab =12，考虑到这两个数不成倍数关系，a 和 b 应该是 3 和 4，两个自然数分别是 54 和 72；
〔2〕设这两个自然数分别是 18a 和 18b ，，然后按照第〔1〕问中的方法来做即可．
56. 利用分解质因数法找出以下各组数的最大公约数和最小公倍数．
〔1〕144 和 250；〔2〕240、80 和 96
【答案】 〔1〕(144,250)=2，[144,250]=18000；〔2〕(240,80,96)=16，[240,80,96]=480．
57. 一个分数 a ，除以 528，除以 1556，除以 2120，结果均为整数，问 a 的最小值是多少？
【答案】105
4
【分析】要使28
5a，56
15
a，20
21
a均为整数，那么令a min=[5,15,21]
(28,56,20)
=105
4
．
58. 有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能够
表示成连续12个整数之和，那么所有这样的数中最小的一个是多少？
【答案】198
【分析】详解：根据等差数列的性质可知，满足条件的自然数既是9的倍数，也是11的倍数．同时还是6的倍数．这样的数中最小的是198．
59. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
【答案】36
【分析】运用公式，可知
4×252÷28=36.
60. n为正整数，求n+6和n+12的最大公因数的最大值、最小公倍数的最小值．
【答案】6；36
【分析】最大公因数一定是两数之差，即6的因数，所以最大是6，最大公因数一定时，两
数越小最小公倍数越小，经试验：[7,13]=91，[8,14]=56，[9,15]=45，[12,18]=36．
61. ：a×b=240，[a,b]=60，求a、b的值．
【答案】4，60或12，20
【分析】两数的最大公因数是240÷60=4，设这两个数分别为4x 、 4y，那么(x,y)=1，且根据短除模型，有xy=60÷4=15，所以x和y可以取1、15或3、5，所以这两个数为4、60或12、20．
62. 计算下组数的最大公因数和最小公倍数．
24 55, 27 40
【答案】(24
55,27
40
)=3
440
，[24
55
,27
40
]=216
5
．
【分析】短除法；分别算出分子和分母的最大公因数和最小公倍数，然后得出两个分数的最大公因数和最小公倍数．
63. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210．这两个自然数的和是77，求这两个自
然数．
【答案】35和42．
【分析】如果将两个自然数都除以7，那么原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30．这两个自然数的和是11，求这两个自然数．〞
改变以后的两个数的乘积是
1×30=30,
和是11．
30=1×30=2×15=3×10=5×6,
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质．因此改变后的两个数是
5和6，故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42．
64. 甲乙两数的乘积是120，甲、乙两数最大公因数是2，那么甲乙两数的最小公倍数是多少？
【答案】60
【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数×两数的最小公倍数，有最小公倍数= 120÷2=60；
65. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳41
2米，黄鼠狼每次跳23
4
米，它们每秒钟都只跳
一次．在比赛道路上，从起点开始每隔123
8
米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进
陷阱时，另一个跳了多少米？
【答案】40.5米．
【分析】我们发现，狐狸、黄鼠狼每次跳的路程以及两个陷阱之间的距离都是1
8
米的整数倍，
因而定义一个新的单位“新米〞，规定：1
8米=1新米．于是狐狸每次跳36新米，黄鼠狼每次
跳22新米，每隔99新米有一个陷讲．[36,99]=396新米，[22,99]=198新米，也就是说狐狸跳了396÷36=11秒后掉坑里，黄鼠狼跳了198÷22=9秒后掉坑里．所以黄鼠狼先掉坑里，这时候狐狸跳了36×9=324新米，合324÷8=40.5米．
66. 计算下组数的最小公倍数．
[105,84,126]
【答案】1260
【分析】短除法；略．
67. 在A到B的公路段上，每30千米设一个慢车站，每50千米设一个快车站，如果相邻两个车站间的路程大于15千米，那么在这段路程的中点设一个维修点．如果一个车站既是慢车站
也是快车站，那么在这个车站设一家商店．从A到B共设有7家商店，A和B既是慢车站也
是快车站．问：
〔1〕从A到B的路程有多少千米？
〔2〕从A到B的途中共设有多少个维修点？
【答案】900；30
【分析】〔1〕计算从A到B的路程和快车站、慢车站的站数．易知A是第1个商店，其余各商店到A的路程是30和50的公倍数，而[30,50]=150，B是第7个商店，所以，从A到
B的路程是(7−1)×150=6×150=900(千米)．
〔2〕途中的5个商店将全路程等分成6等份，每个等份中快车站、慢车站的设置完全相同，
由于A是第1个商店，因此只要考虑从A到第2个商店这一段150千米的路程上的快车站与
慢车站的分布情况就可以了．
设第2个商店为C点，那么AC=150千米．在AC这一段上〔不包括A,C〕，有4个慢车站，2个快车站，如以下图所示，▫表示快车站，△表示慢车站．从图上可以看出：相邻两站的路
程为30千米的路段有3段；相邻两站的路程为20千米的路段有2段；相邻两站的路程为10
千米的路段也有2段．其中相邻两站的路程大于15千米的路段共有5段，因此在AC这一路
段上应该设有5个维修站点．从A到B全路程上应该设有5×6=30(个)维修站点．
68. a与b的最大公因数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100，而且a⩽b．满足条件
的自然数a、b、c共有多少组？
【答案】9
【分析】设a=4m,b=4n，[a,c]=100,[b,c]=100，100=22×52，
100÷4=25，m∣25，m为1、5或25，同理n为1、5或25；
因为a⩽b，所以m⩽n．
当m=1时，n=5，a=4,b=20，c可能为52、52×2、52×4；
当m=5时，n=25，a=20,b=100，c可能为52、52×2、52×4；
当m=n=1时，a=b=4，c可能为52、52×2、52×4，一共有3+3+3=9〔组〕．
69. 〔1〕两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．
〔2〕假设两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．
【答案】〔1〕16和27〔2〕180和225
【分析】简答：互质的两数的乘积是432，只能是16和27；〔2〕设两个自然数分别是45a和45b，且a、b互质，然后列方程即可．
70. a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少？
【答案】105
【分析】由(a,b)=75=3×52，[a,b]=450=32×2×52=75×3×2，又a＞b．
所以 $\left\{ \begin{gathered}
a = 450 \hfill \\
b = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right.或$ $\left\{\begin{gathered}
a = 225 \hfill \\
b = 150 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
由[b,c]=1050=2×3×52×7．
当 $\left\{ \begin{gathered}
a = 450 \hfill \\
b = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ 时有 $\left\{ \begin{gathered}
\left( { 450 , 75 ,c} \right) = \left( {75,c}\right) = 15 \hfill \\
\left[ {b,c} \right] = \left[ {75,c} \right]= 1050 \hfill \\
\end{gathered} \right.$，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050，得c=210，但是c>b，不满足；
当 $\left\{ \begin{gathered}
a = 225 \hfill \\
b = 150 \hfill \\
\end{gathered} \right.时有$ $\left\{\begin{gathered}
\left( { 225 , 150 ,c} \right) =\left( {75,c} \right) = 15 \hfill \\
\left[ {b,c} \right] = \left[ {150,c} \right]= 1050 \hfill \\
\end{gathered} \right.$，那么c=105，c＜b，满足，即 $\left\{ \begin{gathered}
a = 225 \hfill \\
b = 150 \hfill \\
c = 105 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ 为满足条件的为一解．
那么c是105．
71. 两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数分别是多少？
【答案】54，72
【分析】设这两个数是A，B根据，$\begin{gathered}
m\left| \!{\underline {\,
{\begin{array}{*{20}{c}}
A&B
\end{array}} \,}} \right. \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&a
\end{array}}&b
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} $，A=ma,B=mb．这两个数不成倍数关系：a×b=216÷18=
12=3×4，这两个数只能是3×18=54,4×18=72．
72. 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？
【答案】40
【分析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差120−80=40(米)，那么需要400÷40=10(分钟)乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走120−70=50(米)，那么需要400÷50=8(分钟)乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走80−70=10(米)，那么需要400÷10=40(分钟)甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间那么为10，8，40的公倍数．因为[10,8,40]=40，所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个人可以首次相聚．
73. 甲乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，假设它们的差最小，求这两个数．
【答案】150、225
【分析】短除模型，设这两个数是a、b，a=75x，b=75y，那么有
\[ \left\{\begin{gathered}
\left( {x,y} \right) = 1 \hfill \\
75xy = 450 \hfill \\
\end{gathered} \right. \]
得x、y两数是2、3或1、6〔舍去〕，故a、b是150和225．
74. 如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是 0.5 千米，A 、B 、C 三位运发动同时从交点 O 出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时 4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米．问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
【答案】 4.5
【分析】 三位运发动跑一圈所用的时间分别为 0.5÷4=18 时，0.5÷8=116 时，0.5÷6=112 时；18、14、116 的最小公倍数是 14；即他们从出发到三人第一次相遇共用了 14 时，即
(14÷18+14÷116+14÷112)×0.5=4.5(千米).
75. 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60 个脚印．求圆形花圃的周长．
【答案】 2160 厘米
【分析】 必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为 [54,72]=216 厘米．在 216 厘米里，两人留下的脚印数分别是：216÷54=4(个)，216÷72=3(个)，由于两人有 1 个脚印重合，所以实际上只有 4+3−1=6(个) 脚印．60÷6=10，即走完全程共重合 10 次，因此，花圃周长为：216×10=2160(厘米)．
76. 〔1〕一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？
〔2〕—个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？。