新教材高中数学7正切函数7-3正切函数的图象与性质课件北师大版必修第二册

(A )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3tanωx＋π6的最小正周期是π2，则ω＝__±__2__.
题型四
数形结合思想—利用图象解三角不等式
例 4 观察正切曲线，解不等式tan x>1．
[分析] 的解集．
先确定在一个周期 －π2，π2 内的x值的范围，再写出不等式
以tanπ4<tan25π，－tanπ4>－tan25π，
即tan－134π>tan－125π.
[归纳提升] 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调 区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故 可用“整体代换”的思想，令kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，求得x的范围即可．
∈Z，所以函数y＝tan 12x－π4 的单调递增区间是 2kπ－2π，2kπ＋32π (k∈ Z)．
(2)由于tan
－134π
＝tan
－4π＋34π
＝tan
3π 4
＝－tan
π 4
，tan
－125π
＝－
tan2π＋25π＝－tan25π，又0<π4<25π<π2，而y＝tan x在0，π2上单调递增，所
(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan [－ (－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代 换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
[分析] (1)根据正切函数最小正周期求解；(2)根据函数y＝asin x＋ btan x是奇函数求解．
[解析] (1)因为12tan3x－π5＝ 12tan3x－π5＋π， 即12tan3x＋π3－π5＝12tan3x－π5. 因此fx＋π3＝f(x)，故函数的最小正周期为T＝π3.
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，则f(x)＝g(x)＋2. 因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asin x＋btan x)＝－g(x)，所以 g(x)是奇函数． 因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3， 则g(－3)＝3. 故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5.
例5 _③__④___.
下列是函数f(x)＝2tan 3x＋π6 ＋1图象的一个对称中心的是
①π9，0；②－1π8，0；③π9，1；④－1π8，1.
[错解] 令3x＋π6＝kπ(k∈Z)，解得x＝k3π－1π8(k∈Z)．
所以当k＝0时，x＝－1π8.
因为f(x)＝2tan 3x＋π6 ＋1的图象是由f(x)＝2tan 3x＋π6 的图象向上平 移1个单位长度得到的，
提示：(1)①图象关于原点对称；
②图象在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸；
③图象被相互平行的直线x＝
π 2
＋kπ(k∈Z)隔开，图象无限接近这些
直线，但永不相交．
(2)不正确．正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间
－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内是增函数．
基础自测
1．下列说法正确的个数是 ①正切函数的定义域和值域都是R； ②正切函数在其定义域内是单调递增函数；
(2)令u＝tan x，∵|x|≤π3， ∴由正切函数的图象知u∈[－ 3， 3]， ∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－ 3， 3]， ∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝ 1， ∴当u＝1时，ymin＝－1， 当u＝－ 3时，ymax＝3＋2 3， ∴原函数的值域为[－1,3＋2 3]．
(2)定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，关于原点对称， 因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇 函数．
A．π6
B．π3
C．π2
D．23π
3．函数y＝tan
π2－x
__(－__∞__，__－__1_]_∪__[_1_，__＋__∞__) .
x∈－4π，π4，且x≠0
(B) 的值域为
4．(1)求f(x)＝tan2x＋π3的周期； (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． [解析] (1)方法一：因为tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3， 即tan2x＋π2＋3π＝tan2x＋π3， 所以f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2. 方法二：由T＝π2得，周期为π2.
第一章 三角函数
§7 正切函数
7.3 正切函数的图象与性质
课程标准
1．了解正切函数的图象． 2．掌握正切函数的性质.
核心素养 通过学习正切函数的图象与性质， 重点培养学生的数学抽象，逻辑推 理、数学运算素养.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识 知识点 正切函数的图象与性质
3
3
D．23
(2)函数y＝tan2x－2tan x|x|≤π3的值域为___[_－__1_,_3_＋__2__3_]_____.
[解析] (1)函数f(x)＝tan 2x在 －π6，π6 上单调递增，可得f(x)max＝ tan2×π6＝ 3；
可得f(x)min＝tan－2×π6＝－ 3； 所以最大值与最小值的差为2 3.
所以函数f(x)＝2tan
3x＋π6
＋1的图象的一个对称中心可以是
－1π8，1.
同理，当k＝1时，x＝
π 9
，从而得另一个对称中心可以是
π9，1
，故
填③④.
[方法点拨] 正切函数图象的对称中心为k2π，0(k∈Z)．
课堂检测•固双基
1．下列各式中正确的是
( D)
A．tan 735°>tan 800°
(2)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4， 由－π2＋kπ<2x－π4<π2＋kπ得， －π8＋k2π<x<38π＋k2π(k∈Z)， 所以y＝3tanπ4－2x的单调递减区间为－π8＋k2π，38π＋k2π(k∈Z)．
题型三
正切函数的周期性与奇偶性
例 3 (1)求函数f(x)＝12tan3x－π5的最小正周期； (2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋2，若f(3)＝－1，求f(－3)的值．
所以函数f(x)＝2tan
3x＋π6
＋1的图象的一个对称中心可以是
－1π8，1，故填④.
[错因分析] 误把正切函数的对称中心认为只有(kπ，0)(k∈Z)．
[正解] 令3x＋π6＝k2π(k∈Z)，解得x＝－1π8＋k6π(k∈Z)． 所以当k＝0时，x＝－1π8. 因为f(x)＝2tan 3x＋π6 ＋1的图象是由f(x)＝2tan 3x＋π6 的图象向上平 移1个单位长度得到的，
【对点练习】❷ (1)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小；
(2)求函数y＝3tanπ4－2x的单调区间． [解析] (1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0. 因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0. 显然－π2<2－π<3－π<1<π2， 又y＝tan x在－π2，π2内是单调递增的， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1．
[解析] 函数y＝tan x在区间－π2，π2内的图象如图所示．
作直线y＝1，则在 －π2，π2内，当tan
x>1时，有
π 4
<x<
π 2
，又函数y＝
tan x的周期为π，
则tan x>1的解集是
xπ4＋kπ<x<π2＋kπ，k∈Z
.
[归纳提升] 解形如tan x>a的不等式的步骤Leabharlann 错警示错用正切函数的对称中心
③函数y＝|tan x|与y＝tan x的周期相等，都是π；
④函数y＝tan x的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②④错误，③正确，故选A．
( A)
2．函数y＝2tan12x－π4的最小正周期是
A．π
B．2π
(B )
C．3π
D．4π
3．函数f(x)＝sin xtan x是
(B )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
4．与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交的一条直线是
A．x＝π2
B．x＝－π2
C．x＝π4
D．x＝π8
[解析] ∵2x＋π4≠π2＋kπ，(k∈Z)，
∴x≠π8＋k2π(k∈Z)，故选D． 5．比较大小：tan－43π___<__tan－115π.
π 4
≠
π 2
＋kπ(k∈Z)，即可求出结果．(2)根据x∈
0，π6，求解2x＋π4的范围，结合正切函数的性质可得值域．
[解析]
(1)因为y＝tan
2x－π4
，所以2x－
π 4
≠
π 2
＋kπ(k∈Z)，解得
x≠38π＋k2π，k∈Z，
所以该函数定义域为x|x≠38π＋k2π，k∈Z. (2)因为x∈0，π6，所以2x＋π4∈π4，π3. 结合正切函数的性质可得：1<y≤ 3.
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是 k2π，0 (k∈Z)，不存在对称 轴．
(2)直线x＝
π 2
＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近
渐近线．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ωπ |.
思考：(1)正切函数的图象有怎样的特征？ (2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？
(D )
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
正切函数的定义域、值域问题
_x__例x_≠_1_38_π_＋__k2(_π1_，)_若_k_∈y_＝_Z_ta_n__2；x－π4，则该函数定义域为
(2)函数y＝tan2x＋π4，x∈0，π6的值域是____(_1_，___3_]_____.
[分析]
(1)由2x－
题型二
正切函数的单调性及应用
例 2 (1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间． (2)比较tan－134π与tan－125π的大小． [分析] (1)利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区 间．(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大 小．
[解析] (1)由kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2<x<2kπ＋32π，k
[归纳提升] 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性：
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝
π |ω|
，常常利用
此公式来求与正切函数有关函数的周期．
(2)函数y＝tan x是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan(ωx
＋φ)是奇函数，则φ＝k2π(k∈Z)．
【对点练习】❸ (1)函数f(x)＝1＋tacnoxs x
[归纳提升] 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要 求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.
【对点练习】❶ 值的差为
(1)函数f(x)＝tan 2x在 －π6，π6 上的最大值与最小 (A )
A．2 3 C．2
B．2
[－1,3＋2]
B．tan 1>－tan 2
C．tan
5π 7 <tan
4π 7
D．tan
9π 8 <tan
π 7
[解析]
tan
98π＝tanπ＋π8＝tan
π 8.
因为0<π8<π7<π2，y＝tan
x在0，π2上是增函数，所以tan
π 8<tan
π7，即
9π π tan 8 <tan 7.
2．函数y＝2tan3x＋π4的最小正周期是
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tan x的图象叫作_正__切__曲__线_.
(2)性质：如下表所示.
函数 性质
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
增区间 减区间
y＝tan x
xx≠__π2_＋__k_π__，k∈Z
R
___π__
__奇__函__数_
__－__π2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)_ 无