四川省树德中学2018-2019学年高二数学5月阶段性测试试题文含解析

四川省树德中学 2018-2019 学年高二数学 5 月阶段性测试试题 文
（含解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）。
1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 (1 i) z 2i ， z 是复数 z 的共轭复数，则下列关于复数
根据题干构造出函数，属于中档题。
x 4 cos
10.已知曲线
C
的参数方程为
y
sin
（ 为参数）， M 是曲线 C 上的动点，若曲线
T 的极坐标方程为 2 sin cos 20 ，则点 M 到曲线T 的距离的最大值为（ ）
A. 13 4 5
【答案】B 【解析】
B. 2 4 5
C. 4 4 5
y 1 x3 81x 286
3
，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）
A. 300 万元
B. 252 万元
C. 200 万元
D. 128 万元
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，函数
y
1 3
x3
81x
286
，所以
y
x2
t1, t2 ，再利用 t1 t2 2 求出 ．
y2 3 x
【详解】消去参数 t 得到抛物线方程为：
2，
x 3 t cos 8 设直线的参数方程为 y t sin （ 为直线的倾斜角），
故
t2
sin 2
3 2
t
cos
9 16
0
，设两个根为
t1,
t2
，
则 t1 t2
2 t1 t2
以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程为（
）
A. 4 cos sin 4
B. cos 16 sin 4
C. cos 4 sin 4
D. cos 8 sin 4
【答案】A
【解析】
【分析】
x 1 x 2 根据直线 x 2 y 2 直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换 y 4 y 得到直线 l 的方程； 利用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线 l 的极坐标的方程；
z 的说法正确的是（ ）
A. z 1 i
z 2
B.
C. z z 2
象限 【答案】C 【解析】 【分析】
D. 复数 z 在复平面内表示的点在第四
利用复数的除法求出 z ，然后求出 z ， z ，以及对应点的坐标，依次排除答案。
z 2i = 2i(1 i) 2i 2 1 i
【详解】由 (1 i) z 2i ，可得 1 i (1 i)(1 i) 2
e 1 e1 1
2，
2
，所以 f (0) ln 2 e1 0 ，可排除 C
答案；
当 x 时， f (x) ，故排除 D 答案；
故答案选 B.
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题
8.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲
定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达
定理来考虑．
6.已知变量 x ， y 之间的线性回归方程为 yˆ 0.4x 7.6 ，且变量 x ， y 之间的一组相关数
据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A. 变量 x ， y 之间呈现负相关关系
81
，
当 0 x 9 时， y 0 ，函数 f x为单调递增函数；
当
x
9
时，
y
0 ，函数
f
x 为单调递减函数，
所以当 x 9 时， y 有最大值，此时最大值为 200 万元，故选 C.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导
数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属
等于（
）
A. -2 【答案】D
B. -1
C. 1
D. 2
【解析】
【分析】
求出函数
f
(x)
x
sin
x
在
x
2
处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率，
然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数 a 。
【详解】由题可得：
f
( x)
sin
x
x
cos
x
，
f
( 2
)
1
，
曲线
f
(x)
x sin
x在
求解椭圆、圆上的点到直线距离的最值问题时，将椭圆、圆的参数方程求出，带入点到值线
的距离公式转化成三角函数求解。
11.已知函数
f
(x)
ex
ex
a与
g(x)
ln
x
1 x
的图象上存在关于
x
轴对称的点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A. [- e,+ ¥ )
B. [1, )
C. (, 1]
D. (, e]
【答案】C
到答案.
x 6 8 10 12 9, y 6 m 3 2 11 m
详解：由题意，根据上表可知
4
4
4，
(9, 11 m)
即数据的样本中心为
4，
11 m 0.4 9 7.6
把样本中心代入回归直线的方程，可得 4
，解得 m 5 ，
11 则4
m
11 4
5
4
，即数据的样本中心为
(9,
，
z 2 ， z= 1 i ， z z 2 ，复数 z 在复平面内表示的点为 (1,1) ，在第二象限；
故答案选 C 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法以及复数的几何意义，属 于基础题。
2.若曲线
f
(x)
x
sin
x
在
x
2
处的切线与直线
ax
2y
1
0
互相垂直，则实数
a
【详解】将直线
x
2y
2
： x
1 2
x
按 y 4 y
变换后得到的直线
l
，
2x
1 2
y
2
，即
4x y 4 0 ，化为极坐标方程为 4cos sin 4 .
故选 A. 【点睛】本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题．
4.某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万件）的函数关系式为
函数 f (x) x ex 在 R 上为单调递增函数， 又 ea b eb a b eb a ea f (b) f (a) ， 由于函数 f (x) x ex 在 R 上为单调递增函数，则 b a a b 0 ，
故答案选 D
【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数单调性以及不等式的问题，解题的关键是
f (x0 ) 0 ，则 a 的取值范围是（ ）（其中 e 为自然对数的底数， e 2.71828...）
e2 1 [ ,e) A. 2e2
[
e2
1
,1)
(e
1,
e2
1 ]
B. 2e2
2
C. (e 1, e)
D.
[
e2 1 2e2
,
e
e
1 )
(e
1,
e)
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，
函数 f (x) ex ax 1 在区间 (1,1) 内存在极值点等价于导数在区间
9.若 ea b eb a ，则有（ ）
A. a b 0 ab0
【答案】D
B. a b≤0
C. a b 0
D.
【解析】
【分析】
构造函数 f (x) x ex ，利用导数研究函数 f (x) 的单调性，利用函数单调性即可得到答
案。
【详解】构造函数 f (x) x ex (x R) ， f (x) x ln ex (x R) 由于 x 0 ， ln 0 ， ex 0 ，则 f (x) 0 在 R 上恒成立，
B. m 的值等于 5 C. 变量 x ， y 之间的相关系数 r 0.4 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 (9, 4)
【答案】C
【解析】
(9, 11 m)
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为
4 ，代入回归直线的方程，即可求
解 m 5 ，得到样本中心 (9, 4) ，再根据 x, y 之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得
说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第
一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（
）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】
分别假设第一名是甲、乙、丙、丁，然后分析四个人的话，能够求出结果．
【详解】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；
和解答问题的能力.
7.函数 f (x) ln(x2 2) ex1 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
【分析】
分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
【详解】由于函数 f (x) 的定义域为 R ，且在 R 上为连续函数，可排除 A 答案；
由于 f (0) ln 2 e1， ln 2 ln
令
x，
h '(x ex
1 x x2
，
所以当 0 x 1时， h '(x) 0 ，当 x 1 时， h '(x) 0 ， 所以函数 h(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减， 所以 h(x) 在 x 1 处取得最大值 e e 0 1 1， 所以 h(x) 的值域为 (, 1] ， 所以 a 的取值范围是 (, 1] ，
x
2
处的切线的斜率为
1，
曲线
f
(x)
x sin
x
在
x
2
处的切线与直线
ax
2y
1
0 互相垂直，且直线
ax
2
y
1
0
的斜率为
a 2
，
( a ) 1= 1
2
，解得： a 2 ；
故答案选 D.
【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。
x 1 x 2
3.在同一平面直角坐标系中，将直线 x 2 y 2 按 ： y 4 y 变换后得到的直线为 l ，若
当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；
当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；
当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件．
故选：A．
【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查函数与方程思想，是基 础题．
于基础题.
x 2t2 5.过抛物线 y 3t （ t 为参数）的焦点的弦长为 2，则弦长所在直线的倾斜角为（ ）
2
5
A. 3
B. 3 或 3
C. 6
D. 6 或 6
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线的标准方程是
y2
3 2
x
，故焦点坐标为
3 8
,
0
，直线的参数方程为
x 3 t cos 8 y t sin （ 为直线的倾斜角），代入抛物线方程得到关于 t 的方程，其两个根为
且
3 2sin2
，
0, sin
因
，故
3 2 2 ， 3 或者 3 ，故选 B．
【点睛】如果直线
l
的参数方程是
x y
x0 y0
t t
cos sin
（ t 是参数且 t R ， 是直线的倾斜角）
，那么 t 表示 P x, y 与 P x0 , y0 之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到
4)
，
由上表中的数据可判定，变量 x, y 之间随着 x 的增大， y 值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数 bˆ 0.4 ，而不是 r 0.4 ，所以 C 是错误的，故选 C.
点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判
定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题
D. 6 5
M
在曲线 C
上的动点，
M
4cos , sin
点的坐标为
；曲线
T
的直角坐标方程为：
2sin 4 cos 20 2 5 sin 20
d
2 y x 20 ，则点 M 到T 的距离为
22 1
5
tan
2 sin ，
1,1 d
的最大值为
24
5 ，故选 B .
点睛：（1）在解决极坐标方程这类题型时，常用的方法是转化成直角坐标方程求解。（2）
【解析】
【分析】
由已知，得到方程
ex
ex
a
(ln
x
1 x
)
在
(0,
)
上有解，构造函数，求出它的值域，得
到 a 的取值范围.
【详解】若函数
f
x
ex
ex
a
与
g
x
lnx
1 x
的图象上存在关于
x
轴对称的点，
则方程
ex
ex
a
(ln
x
1) x
在
(0,
)
上有解，
即
a
ex
ex
ln
x
1 x
在
(0,
)
上有解，
h(x) ex ex ln x 1
故选 C.
【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于 x 轴对称的点求参数的取值范围的 问题，在解题的过程中，注意关于 x 轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为
相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) ex ax 1 在区间 (1,1) 内存在极值点，且恰有唯一整数解 x0 使得