第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

π (1)(2014· 陕西卷)设 0＜θ＜ ， 向量ɑ＝(sin 2θ ， cos θ )， b＝(cos 2 θ ，1)，若ɑ∥b，则 tan θ ＝________． → ＝(1， → ＝(2， → ＝(k＋1， (2)已知向量OA －3)， OB －1)， OC k－2)， 若 A， B， C 三点能构成三角形， 则实数 k 应满足的条件是________． 解析：(1)由ɑ∥b，得 sin 2θ＝cos2θ，即 2sin θcos θ＝cos2 π θ，因为 0＜θ＜ ，所以 cos θ≠0，整理得 2sin θ＝cos θ.所以 2 1 tan θ＝ . 2
1．利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底 来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行 向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题的关 键是根据平面向量基本定理列出关于 λ，μ的方程组．
1 3 (1)已知平面向量ɑ＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 ɑ－ b 2 2 ＝( ) A．(－2，－1) C．(－1，0) B．(－2，1) D．(－1，2)
(1)已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三 个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为________． (2)(2016· 梅州质检 )已知向量ɑ＝ (－ 1， 1)， b＝ (3， m)，若ɑ∥(ɑ ＋b)，则 m＝( A．－2 ) B．2 C．－3 D． 3
→ ＝(－ (2)(2015· 课标全国Ⅰ卷)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC → ＝( 4，－3)，则向量BC A．(－7，－4) C．(－1，4) ) B．(7，4) D．(1，4)
1 1 3 3 3 1 解析：(1)因为 ɑ＝ 2，2 ， b＝ 2，－2 ， 2 2
1 → 1 → → → → 又AC＝λAE＋μAF＝2λ＋μAB＋λ＋2μAD，
1 2 λ＋ μ ＝ 1 ， λ＝ ， 2 3 于是得 解得 1 2 λ＋ μ ＝ 1 ， μ＝ . 2 3 4 所以 λ＋μ＝ . 3 4 答案： 3
→ ＝(x＋1，y－5)． 解析：(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则AB
x＋1＝6， x＝5， → 由AB＝3ɑ，得 解得 y－5＝9， y＝14.
→ ＝3PC → ＝3(2PQ → －PA → )＝6PQ → －3PA → (2)BC ＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)． 答案：(1)D (2)B
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进 行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程 思想的应用． 2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐 标语言” ，实质是“形”化为“数” ．向量的坐标运算，使得向量的线 性运算都可用坐标来进行， 实现了向量运算完全代数化， 将数与形紧 密结合起来．
解析：(1)∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB， → ＝2AB → .设点 D 的坐标为(x，y)， ∴DC → ＝(4，2)－(x，y)＝(4－ x，2－y)． 则DC → ＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)， AB
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)， 即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
4－x＝2 x＝2 ∴ ，解得 ， 2－y＝－2 y＝4
故点 D 的坐标为(2，4)． (2)由题意可知ɑ＋b＝(2，1＋m)， 因为ɑ∥(ɑ＋b)， 所以 2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3. 答案：(1)(2，4) (2)C
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若ɑ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则ɑ∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0；(2)若ɑ∥b(ɑ≠0)， 则 b＝λɑ. 2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行 求参数． 当两向量的坐标均非零时， 也可以利用坐标对应成比例来求 解．
1 3 所以 ɑ－ b＝(－1，2)． 2 2 → ＝(x，y－1)＝(－4，－3)， (2)法一：设 C(x，y)，则AC
x＝－4， → ＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)． 所以 从而BC y＝－2，
Hale Waihona Puke Baidu
→ ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， 法 2：AB → ＝AC → －AB → ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． BC 答案：(1)D (2)A
→ ，AC → 不共线． (2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量AB → ＝OB → －OA → ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， ∵AB → ＝OC → －OA → ＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k， k＋1)， AC ∴1×(k＋1)－2k≠0，解得 k≠1. 1 答案：(1) 2 (2)k≠1
→ ＝3ɑ，则点 B 的坐标 (1)已知点 A(－1，5)和向量ɑ＝(2，3)，若AB 为( ) A．(7，4) C．(5，4) B．(7，14) D．(5，14)
→ ＝2PC → ，点 Q 是 AC 的中 (2)在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP → ＝(4，3)，PQ → ＝(1，5)，则BC → 等于( 点，若PA A．(－2，7) C．(2，－7) B．(－6，21) D．(6，－21) )
第四章 平面向量、数系 的扩充与复数的引入
第二节 平面向量的基本定理 及坐标表示
在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的 → ＝λAE → ＋μAF → ，其中 λ，μ ∈R，则 λ＋μ＝________． 中点．若AC
→， → 作为平面向量的一组基底， → ＝AB → ＋AD →， 解析： 选择AB AD 则AC 1→ → → → 1→ → AE＝ AB＋AD，AF＝AB＋ AD， 2 2