【第8章】 相量法

实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
二. 正弦量的瞬时值表示式（以正弦电流为例）
2
W交 Ri 2dt
0
T
2. 周期交流量有效值
1 I T
def

T
0
i dt
2
由计算式，可见有 效值也称均方根值
3. 正弦量有效值
Im 根据定义得到：I 0.707 I m 2
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 则瞬时值表达式又可以写成： 注意：
三. 正弦量的三要素
1. 幅值（振幅、 最大值）Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2. 角频率ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2f
2 T
单位：rad/s，弧度 / 秒
3. 初相位Ψ
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i 一般规定：|y| 。
结论：波形上任一点表示瞬时值电流的大小及方向。
Im 0
y y/w
i
2 表达式中： 角频率ω w 2f (rad/s) 1 T f 周期 T (s) 频率 (Hz) T 2 w t t
最大值（振幅） 相位 wt + y i 初相位 yi Im
yi< 0 i(t) I m cos(w t + y i )
u=iR u、i关系：线性成正比 建立方程：代数方程。
而实际生活中，使用更多的电源是正弦电源，即 电源电压按正弦规律变化，电路的元件不仅包括R，还 含有L、C，那么电路在稳定状态下，将表现出何种性 质？
对于电感和电容，有： duC iC C iC C _ 根据KCL、KVL建 dt + uC di L 立方程：微分方程。 iL L uL L _ dt + uL 所以求解电路的正弦稳态响应，在数学上即是求非齐 次微分方程的特解。
3. 复数的运算
5e
j 126.9
5e
j 126.9
(1) 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
(2) 乘除运算——采用极坐标、指数形式； 若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 则: A1 A2 A1 e
0
t
y =－/2
y =0
y =
如三要素ω、Im、Ψ已确定，则正弦量就可完全描述。
四. 相位差 1. 定义：相位差是指同频率正弦量的相位之差。 用表示。
设 i1(t)=Im1cos(ωt+Ψ1 ), i2(t)=Im2cos(ωt+Ψ2 ) 则相位差 ： φ = (ωt+Ψ1 ) – (ωt+Ψ2 )= Ψ1 – Ψ2 注意： =初相位之差 规定： |φ| (180°)。
j 1
A2 e
j 2
A1 A2 e
j ( 1 + 2 )
A1 A2 1 + 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1 θ2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 | | A1 | 除法：模相除，角相减。 θ1 θ2 | A2 | 4. 注意 j 90 ⑴ 常用复数 e cos 90 j sin 90 j
一个复数若乘 e
j 90
，模不变，幅角增大 90 。
⑵ 2个符号
若 A=a1+ ja2
二. 相量法理论
则 a1=Re[实际问题：
i
已知 i1 100 cos 314 t + 45 i
求：i = i1+i2 = ？ 1 2 说明：显然用三角函数解很麻烦。 注意到 i = i1+i2是两个同频率正弦量相加，其结果一定 是同频率的另一正弦量 -----也即角频率不变， 那么我们可以利用这样的规律，来简化求解， 这就是我们将要介绍的相量法。
I m I 2
u( t ) 2U cos(w t + θ ) U Uθ

2. 相量 相量：表示正弦量的复数叫相量；
注意相量条件为：“正弦量+复数”二者缺一不可。
-----称为复振幅相量； I -----称为复有效值相量； I 复有效值： U 2U 二者关系： U m
第8章 相量法
§8.1 正弦量的基本概念 § 8.2 相量法的基本理论 § 8.3 电路定律的相量形式
本章要求:
1.掌握正弦量的三要素、有效值； 2. 掌握复数的运算；
3. 熟练掌握复数与正弦量的对应关系；
4. 熟练掌握电路定律以及电阻、电容、电感的 相量形式。
简
电阻元件。
i + R u _
介
前面几章学的是线性直流电路，电路元件主要是
j 300 (1500 ) 1200
总结：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、 同函数、同符号，且在主值范围比较。
五. 有效值 1. 周期交流量有效值的定义： 交直流同一段时间流过R，发出的热量相等，
直流电的大小为交流电的有效值。 交流i R 直流I R 一个周期时间T内
W直 RI T
i , Im , I
问题：电容器C耐压500V，现正弦电压U=500V,把
电容接在正弦电压上行不行？
§8.2 相量法的基本理论
一. 复数及其运算 1. 复数和复平面 ⑴ 复数 A=a1+ ja2
(j
·
1 为虚数单位 )
a1实部 , a2虚部;
⑵ 复平面
a1、a2为实数
+j 虚轴
a2
A
·(a1, a2)
例 计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t + 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t + 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t + 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t + 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 3 cos(100 t + 30 )
o
若已知正弦量的相量，须再知道其角频率才可写出 与之对应的函数表达式。
o U 100 60 u 100 2 cos( 100 t 60o ) w 100 rad/s
3. 以复数运算代替正弦量的运算
i1 I1m cos(w t + y 1 ) i2 I 2 m cos(w t + y 2 )
i(t) Re[A] Re[I me jwt Re[I e ]
m
jwt +y i
] Re[I me
e ] 复振幅 I
m
jy i
jwt
旋转因子
模始终为1，幅角ωt 随t变。
放在复平面上，以ω角速度旋转一周， 表示将复数 I m 对应于实轴上的投影就是不同时刻的正弦量瞬时值。 即正弦量刚好等于复振幅乘旋转因子取实部。
本章研究问题和方法： 电路组成: R、L、C 电源激励：正弦量
方 法：相量法 电路响应：正弦量
相量法使求解微分方程特解的运算变为复杂的代数运 算，简化了正弦稳态响应的数学运算。
§8.1 正弦量的基本概念
一. 正弦量的产生
当矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速旋转时， 线圈中将产生正弦交流电。 中性面
瞬时值：即每一瞬间的值 。 用小写字母i(t)、i表示。
1. 瞬时值函数式
i(t) I m cos(w t + y i )
2. 瞬时值的波形
a +
i
R u
b _
注：此处正弦量采用余弦函数形式
Im
0
y y/w
i
2
twt
y< 0
可见随着t的变化， i (t) 大小也在 实时变化： 若 i > 0 与参考方向一致； 若 i < 0 与参考方向相反；
模 a a1 + a2
实部 a1 a cos j
2
2
a2 1 虚部 幅角 j tan tan a1 实部 虚部 a2 a sinj
1
例：将以下代数形式化为指数形式
A1 3 + j 4
5e
5e
j 53.1
j 53.1
A2 3 j 4
A3 3 + j 4 A3 3 j 4
相位差是个很重要的量，同频率的两正弦量虽然各 自随时间作正弦的变化，但相位差不变。
2. 相位差的意义：
表示正弦量到达最大值 的先后次序。 如φ >0，说明i1超前i2 φ角，或i2落后i1 φ角(i1比i2先 到达最大值)； i i1 i2
0 |y1| |y2|
wt
注：y < 0
j
如φ <0，说明i2超前i1 φ角，或i1落后i2 φ角(i2比i1先 到达最大值)；
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w 2
不能比较相位差 i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
i
i2 60 cos 314 t 30




1. 正弦量与复数的关系 设一复数A： 模为Im，幅角为(ωt+Ψi)
则 A I m e j wt +y i I m cosw t + y i + j I m sinw t + y i 对A取实部 Re[A] I m cos(w t + Ψ i ) i(t)
复振幅：
m
m
U
思考：戴帽与不戴帽的区别？注意规范书写 相量图：相量是个复数，它在复平面上的图形称为 相量图。
注意： 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应 的关系，不是相等的关系。 若已知正弦量的时域表达式，可直接写出与之对应 的相量。
o I 220 35 i 220 2 cos(w t 35 )
求：i=i1+i2
i1 + i2 Re I1m e jy 1 e jwt + Re I 2m e jy 2 e jwt



I 1m jwt Re I1m + I 2 m e
i 2I cos( w t +y i )
（1）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数 一 般为有效值。
（2）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，
如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，
在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效 值的符号。