《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材 习题 4.3

得 x1 1 82 ， x 2 1 136 ， x3 1 35 ， x 4 1 21 .
8. 解： （1） X (3.3,1.2,9) T ； （2） X (3,0.6,10.8) T .
9. 解： X (7.0,23,17) T .可见，当系数矩阵有微小误差（摄 动）时，引起了解的较大变化）.
习题 4.3
1. 解： cond ( A) 1010 .
2. 解： cond ( A)1 cond ( A) 12011 .
1 3. 解： A 1
1 1 2 ， A

3 , max(3 , 2) 2,
11. 解：根据圆盘定理知， A 的特征值都在复数平面上的几个圆 盘
Z aii Ri
1
(i 1,2, , ai ,i 1 a i ,i 1 ain .所以， A 的四个特征 值都落在下列的四个盖尔圆的并集内：
Z 1 1 ； Z 1.5 1.5 ； Z 5 1 ； Z 5i 1 .
10．解： （1） X (1.11,0.228,1.95,0.797) T ；与真解相差较大. （2） X (0.988,1.42,0.428,2.10) T ；与（1）比较，相差较大.
2
（3） X (1.000,0.9995,1.0017,0.9990) T ；与真解靠得较近，说明运 算时随着有效数字的增加（摄动减小） ，解的精度会增加.
是大的，有可能病态.
1
6. 解： H 41
120 240 140 16 120 1200 2700 1680 240 2700 6480 4200 140 1680 4200 2800

H4
1
H4

25 ， 12
H 41
1
H 11

13620 ，故得
cond ( H 4 )1 cond ( H 4 ) 28375
det(H 4 ) 1 1 1.6534 10 7 3 12 180 2800 6048 10
7. 解： （1） X (1,1,1,1)T
；
12. 证: 由圆盘定理又知， A 的任一由 k 个盖尔圆组成的连通部 分里，有且只有 A 的 k 个特征值，那么由两个外切圆构成的连通部分 里， 矩阵 A 有且只有两个特征值.如果在每个圆上有二个特征值， 则在 连通部分 A 就有至少有 3 个特征值，这与前述结论矛盾 .
3
2 3
2 3
4. 解：det A 10 100 ，cond ( A) 10 .虽然行列式值很小，近乎奇异， 但条件数却不大.
5. 解：其系数行列式的值为 1，其真解为 (1,3,2) T ，系数阵 A 的
6 4 1 逆阵为 4 11 7 ， cond ( A) 105 22 2310 ，这对 3 3 矩阵而言， 5 1 7
（2） X (1.82,0.36,1.35,0.79)T ； 从上可看出，右端项的摄动，对解的影响较大，一般地，若
WX b ， 则 X W 1 (b ) W 1b W 1 ， 利 用 （ 1 ） 的 结 果 ， 若
b (32,23,33,31) T ， 则 X (1,1,1,1) T W 1 ， 故当 ( , , , ) T ， 利用 W 1 ，
2 3， 2 当 3 当
A 1

max(
1 1 1 1, ) 2 ，故有 2
2 3 6 , 当 3 ， 2 2 当 4 , 3
2 3
cond ( A) A 1

A

显然，当 时， cond ( A) 7 ，而当 时， cond ( A) 7 ，所以， 当 时， cond ( A) 7 为最小值.