通信原理 第四讲 功率信号的功率谱密度

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其 功率谱密度或能量谱密度。 思路：由信号是能量有限还是功率有限来判断 解： 2 2t 2t
E x (t )dt 4e dt 2e
0
0
2
所以 x(t )为能量信号。 频谱密度为
s( f ) x(t )e


平均功率：
1 P lim T T

T /2
T / 2
s 2 (t )dt
傅立叶变换公式 F ( ) f (t )e jt dt
j 2 ft F ( f ) f ( t ) e dt 或 1 jt j 2 ft f (t ) F ( ) e d f ( t ) F ( f ) e df 2
jt0
Kf (t t0 ) KF ()e
j (t0 )
当这两条传输路径的信号合成后得
R(t ) Kf (t t0 ) Kf (t t0 )
对应于它的傅氏变换为 R(t ) KF ()e jt0 [1 e-j ] 信道的传递函数为 R( ) H ( ) Ke－jt [1 e－j ] F ( )
随机 包络
a(t ) a I (t ) a (t )
2 2 Q
相位
aQ (t ) (t ) arctan a ( t ) I
结论： (1)多径传播使单一频带信号变成窄带信号 (2)多径传播引起了频谱弥散 (3)多径传播引起选择性衰落
慢衰落：由于电离层浓度变化等因素所引起的信 号衰落。(季节、日夜、天气) 快衰落：由于多径效应引起的信号衰落。 为分析简单，下面假定只有两条传输路径， 且认为接收端的幅度与发端一样，只是在到达 f (t ) 时间上差一个时延 ,若发送信号为 ,它的 F ( ) 频谱为 ,记为
例2.2 两径传输时延差 td 0.5ms ，试问信道在哪 些频率上传输损耗最小，哪些频率上传输损耗 最大？ 解： H ( ) 2cos td
由 cos
t d
2 2 td td 1 由 cos 0，得 (n ) 2 2 2
f n td 1 2 n
1，得
归一化功率：电流在单位电阻(1)上消耗的功率
P V 2 / R I 2 R V 2 I 2 (W ) 信号的电流或电压的平方都等于功率，一 般化为用S代表信号的功率或电压来计算信号 功率。若信号电压和电流的值都随时间变化， 则S可以写为时间t的函数S (t ) 。 信号能量：E s 2 (t )dt 单位是焦耳(J) 能量信号：若信号的能量是一个正的有限值,即 0 E s 2 (t )dt ，则称此信号为能量信号。
2.确知信号的频率性质 (1)能量信号的频谱密度——能量信号S (t ) 的傅里 叶变换 j 2ft
S ( f ) s(t )e

dt
能量信号的能量谱密度——由巴塞伐尔定理将 2 S ( f ) 定义 为能量谱密度(J/Hz)。 2 2 E s (t )dt S ( f ) df 单位：J
j 2 ft
dt 2 e
0

(1 j 2 f ) t
能量谱密度 s ( f ) 2
4 2 2 1 4 f
2 dt 1 j 2 f
知识点:门函数的傅里叶变换
ga(t) 1 Ga(f)
0
t
-1/ -2/ 0
1/
2/
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
0
H ( ) 的幅频特性为
H ( ) | Ke
- jωt 0
(1 e
- j
) | K | (1 e
- j
) | 2K cos 2
H () ~ 特性曲线如下：
2.3.3变参信道特性的改善 慢衰落—采取加大发射功率和在接收机内采 用自动增益控制等技术。 快衰落—分集接收技术 (1)分集—分散得到几个合成信号并集中这些信 号。 分集方式：空间分集、频率分集、角度分 集、极化分集。 合成信号进行合并的方法：最佳选择式 、 等增益相加式、最大比值相加式
aQ (t )
aI (t ) cos (t ) a(t )
(t )
aI (t )
sin (t )
aQ (t ) a(t )
R(t ) aI (t ) cosct aQ (t ) sin ct a(t ) cos (t ) cosct a(t ) sin (t ) sin ct a(t ) cosct (t )
t d
2
n
f
n n 2n(kHz ) 3 td 0.5 10
1 2 2n 1(kHz ) 0.5 103
式中，n为整数。
当 f 2n(kHz) ,即2kHz，4kHz，6kHz，…时， 传输损耗最小（实际上两路信号同相相加，合 成结果加倍）。 当 f 2n 1(kHz ) ,即2kHz，4kHz，6kHz， …时，传输损耗最小（实际上两路信号相消， 合成结果为0）。
T
T
T / 2

性质：R()和功率谱密度P ( f )之间是傅里叶变 换关系
R( ) P( f )e
j 2f
df
P( f ) R( )e j 2f d


例2.1设有一信号如下：
2et x(t ) 0 t0 t0
若设发射信号为A cos ct ，则经过n条路径传 播后的接收信号R(t ) 可用下式表述：
R(t ) ai (t ) cos c [t tdi (t )]
i 1 n
ai (t ) cos[c t i (t )]
n
(2.5) ai (t ) 式中: —总共n条多径信号中第i条路径到达 tdi (t ) 接收端的随机幅度； i (t ) —第i条路径对应于它的延迟时间； —相应的随机相位 (t ) t ,即
i c ) 随时间的变化要比信号载 频 c 的周期变化慢很多，因此上式又可写成 n n R(t ) [ ai (t ) cosi (t )] cosct [ ai (t ) sin i (t )] sin ct
i 1
令
f (t ) F ( )
设经信道传输后第一条路径的时延为 t 0 , 在假定信道衰减为K的情况下，到达接收端的 信号为Kf(t-t0)，相应于它的傅氏变换为
另一条路径的时延为(t0+τ )，假定信道衰 减也是K，故它到达接收端的信号为Kf(t-t0τ )。相应于它的傅氏变换为
Kf (t t0 ) KF ()e
Ag (t ) A Sa ( ) 2

知识点： 带宽 负频率中不存在带宽； 从零频开始看起从波形开始到波形结束。 知识点：卷积
f1 (t ) f 2 (t )


f1 (t ) f 2 ( )d
2.3 变参信道及其对多传信号的影响 变参信道的传输特性主要依赖于其传输媒 质，它以电离层发射信道、对流层散射信道 为主要代表。变参信道的传输媒质具有以下 三个特点： (1)对信号的衰耗随时间的变化而变化； (2)传输时延随时间也发生变化； (3)具有多径传播(多径效应)。 多径传播：由发射点出发的电波可能经过 多条路径到达接收点的现象。 因此多径传播后的接收信号将是衰减和时 延随时间变化的各路径信号的合成。
性质： 自相关函数R()和其能量谱密度 S ( f ) 是一对傅里叶变换
2
S ( f ) R( )e j 2f d
2

R( ) S ( f ) e j 2f df
2


(2)功率信号的自相关函数 定义： 1 T /2 R( ) lim s(t ) s(t )dt
同相分量 aQ (t ) ai (t ) sin i (t ) 正交分量 i 1 R(t ) aI (t ) cosct aQ (t ) sin ct
i 1
aI (t ) ai (t ) cosi (t )
n
n
i 1
2 a(t) a2 ( t ) a Q (t ) I
常用公式 和差化积公式
积化和差公式
常用公式 半角公式
欧拉公式
傅立叶变换
表达式
运算特性 叠加 尺度变换 时移 频移 调制 卷积
预备知识
1.确知信号：指其取值在任何时间都是确定的 和可预知的信号。 (1)确知信号的类型： 按照周期性区分：周期信号、非周期信号 按照能量是否有限区分： • 能量信号：能量有限 • 功率信号：功率有限 关系：能量信号的功率趋于0，功率信号的能 量趋于 (2)信号功率分为：归一化功率、平均功率

(2)功率信号的功率谱密度 由于功率信号具有无穷大的能量，因此首先 T 2 t T 2 将信号 S (t )截短为长度为T的信号ST (t )， 这样截短后的信号ST (t ) 为一个能量信号。 1 2 lim ST ( f ) 功率谱密度P ( f )定义为 T T 1 2 lim ST ( f ) 即 P( f ) T T 1 2 P P ( f ) df lim S ( f ) df 信号的功率： T T T 3.信号的时域性质 (1)能量信号的自相关函数 定义： R( ) s(t )s(t )dt