7.4二项式定理

注：1）注意对二项式定理的灵活应用 2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
r 二项式系数为 C n ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
1 6 例2：展开(2 x ) ，并求第3项的 x 二项式系数和第6项的系数.
1 6 1 6 解: (2 x ) = 3 (2x 1) x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 4 2 5 6
r n n-r r n n n
1 n
n-1
2 n
n-2
2
二项式定理： n ∈ N
n 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + + C a b + + C b
(5) 展开式中的第 r + 1 项， 即通项
r n-r r Tr+1 =__________； n
r n n-r r n n n
(a b) C a Leabharlann C an 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
二项展开式定理:
一般地，对于nN*，有：
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
6 9
x 3 9 ) 的展开式的中间项 2、求 ( 3 x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项 3 4 4 x 9 4 3 T5 T41 C9 ( ) ( ) 42 x 3 x
x 9 5 3 5 T6 T51 C ( ) ( ) 42 x 3 x
5 9
3 2
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
5 10 10 5 6 15 20 15 6
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … 这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”
Cnn
表中的每一个 数等于它肩上 的两数的和
类似上面的表,早在我 国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
n n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n次； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
(2)：由 ( 3 x 2 ) 展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？
3 100
解： ( 3 x 3 2 )100 的展开式的通项公式为：
r Tr 1 C100
24 4r 0r 6 由题意可知， 3
故存在常数项且为第7项，
6 6 8
1 常数项T 1 C 7 2
8 6
x 7
0
常数项即 0项. x
课堂小结：
①二项式定理是初中多项式乘法的延 伸，又是后继学习概率的基础，要理解和 掌握好展开式的规律，利用它对二项式展 开，进行相应的计算与证明； ②要注意“系数”、“二项式系数” 等概念的区别与联系，对二项式展开式的 特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式.
本积
《 九 章 算 术 》 杨 辉
商实
平方 立方
三乘
四乘 五乘
《详解九章算法》中记载的表
利用杨辉三角，(a＋b)7的展开式中各项 的二项式系数分别是什么？
(a＋b)1„„„„„„1 1 (a＋b)2„„„„„1 2 1 (a＋b)3„„„„1 3 3 1 (a＋b)4„„„1 4 6 4 1 (a＋b)5„„1 5 10 10 5 1 (a＋b)6„ 1 6 15 20 15 6
60 12 1 =64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
C6 (2x) C6 (2x) C6 ]
第三项的二项式系数为 C 2
6
15
5
第六项的系数为
C 2(1) 12
5 6
例3:(1)求（1+2x) 的展开式的第4项的系数
第二课时
二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
(n N )
1.项数规律：

展开式共有n+1个项
2.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
4 9 4 9
中间一项是第5, 6项, T41 C x T51 C x
5 95 9
1 4 ( ) 70x x
1 5 70 ( ) x x
x 1 例4(1)：试判断在 3 x 2
8
的展开式中有
无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.
(2)：由 ( 3 x 2 ) 展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？
7
1 9 3 (2)求（x ) 的展开式中x 的系数和中间项 x 3 解: (1)T31 C7 173 (2x)3 280x3
第四项系数为280
(2)Tr 1 C x
r 9
9 r
由9 2r 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C 84
3 3 3 9
1 r r r 9 2 r ( ) (1) C9 x x
n n n
2 = C + C + C ++ C ++ C
n
0 n
1 n
2 n
r n
n n
1 4 例1：展开（1＋ ) x
1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解: 1＋ ) 1 C 4 ( ) C 4 ( ) C 4 ( ) （ x x x x 4 6 4 1 4 1 4 C4 ( ) 1 2 3 4 . x x x x x
1
1
7
21
35
35
21
7
1
二项式系数的函数观点
(a b) 展开式的二项式 系数依次是： 0 , C1 , C2 ,, Cn Cn n n n
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 对于（a+b）n=
(a b)( a b) (a b)
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么， 我们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理，总结特征
r 1 n
定理的证明
见课本p32
二项式定理： n ∈ N
n 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + + C a b + + C b
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的项数为 n+1 项； (3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n (4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
r 3
点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思 维的严密性要求也高.
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
(a+b)1 (a+b)2
1 0 C 1 C1
1 1
1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1 1
C 0 C1 C 2 2 2 2
2 C 0 C1 C 3 C 3 3 3 3
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C 0 C1 C 2 C 3 C 4 4 4 4 4 4
4 2 C 0 C1 C 5 C 3 C 5 C 5 5 5 5 5 2 4 C 0 C1 C 6 C 3 C 6 C 5 C 6 6 6 6 6 6
1 n
n-1
2 n
n-2
2
Ca b C
(6) 二项式系数为
r ______； n
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x) = 1 + C x + C x + + C x + + C x
在上式中，令 x = 1，则有：
n
1 n
2 2 n
r r n

3x

100 r


3
r
2
3
100 r 2
100 r r , 均为整数时, T 为有理数. 有理项即 2 3 整数次幂项 r为6的倍数, 且0 r 100. 即r为0, 6,12, ,96, 展开式中共有17项有理项.
，2， 100 r 01，，
r 2 C100 x100 r
探究：
(a+b
(a+b
)2
)3
= a + 2ab + b
3 2
2
2
= a + 3a b + 3ab + b
2
3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
探究：
(a+b
(a+b
)2
)3
= a + 2ab + b
3 2
2
2
= a + 3a b + 3ab + b
2
3
次数:各项的次数等于二项式的次数
项数:次数+1
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r nr r Cn a b 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 _____个项. T C r a nr br (r 0,1, 2,n)
练习：
x 3 9 1、求 ( ) 的展开式常数项 3 x
解:
x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2
r 9
1 9 r r 2
1 96 6 T7 C ( ) 3 2268 3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？
各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3 100
x 1 例4(1)：试判断在 3 x 2
8
的展开式中有
无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则： r 8 r 8 r 24 4 r 1 r r x r 1 Tr 1 C8 3 1 C8 x 3 x 2 2