龙文教育一对一九下培优讲义：从思维到素养

专题01 “确”有其事——由确定性带来的延展式思考
【专题解读】确定一条直线需要2个要素，若缺其一，则会形成一个直线系或一簇直线；同样的道理，确定三角形时，也是需要3个要素且有关联性，若缺其一，则图形不定，而当图形确定时，一定是可解析的，当图形不确定时，多会产生多解或最值情形。

这也是审计划规模环节时的一个方向性思考，即先从试题的结构性，一致性上选择破题之道， 对试题有一个整体性的把控。

本专题便从“定”与“不定”两个方面来解读．
【思维索引】 例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知P (a ,a +2)，求OP 的最小值．
（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为Q ，
求OQ 的最小值．
例2．已知，如图ABC ∆中，90C ∠=︒．
（1）用没有刻度的直尺和圆规求作点P ，使得经过点C 的P 与直线AB 相切于点A ； （2）在（1）的条件下，若10AB =，8BC =，求P 的半径．
例3.如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，CD 与AB 交于点F ，ACB ∆
的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，若AE AD ，求两个三角形重叠部分的面积．
【变式】
在ABC ∆和DCE ∆中，CA =CB ，CE =CD ，90ACB DCE ∠=∠=︒，3BC =，4CD =CED ∆绕着点C 逆时针旋转．
（1）如图1，求当点A 落在ED 上时，AC 、AD 、CD 围成的图形的面积．
（2）如图，若P 是AB 的中点，Q 是DE 上任意一点，求PQ 的最大值与最小值的差．
例4．已知二次函数()2
20y ax ax c a =-+>的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y
轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且:2:3CP PD =． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）若3a ≤，求这个二次函数上最低点的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）若5
tan 4
PDB ∠=，求这个二次函数的关系式．
【素养提升】
1．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且垂直于OP 的弦CD 的长为 （ ） A.3 B.4 C.5 D.6
2．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且长度为整数的弦的数量有 （ ） A.1条 B.5条 C.8条 D.10条 3．如图，平面直角坐标系中，点()9,6A ，AB y ⊥轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方形运动，同时，点Q 从点A 出发向B 运动，当点Q 到达B 时，整个运动停止，若点P 与点Q 的速度之比为1:2，则下列说法正确的是 （ ） A.线段PQ 始终经过点（2，3） B.线段PQ 始终经过点（3，2） C.线段PQ 始终经过点（2，2） D.线段PQ 不可能始终经过某一点
(第3题图) ( 第4题图)
4．如图，ABC ∆是等边三角形，12AB =，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 （ ）
A.
B.6+
C.3
D.6
5．对于二次函数()()2
2110y ax a x a a =--+-≠，有下列结论中正确的结论是 （ ）
①其图象与x 轴一定相交；
②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；
③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点． A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
6．已知，如图，AB 是O 直径，C 为圆上一点，若6AC =，8BC =，D 为半圆弧AB 的中点，则CD 的值为____ __．
7．已知，如图，AB 是O 直径，C ，D 都为圆上的一点，若6AC =，8BC =，且ABD ∆是等腰直角三角形，则CD 的值为____ __．
8．已知二次函数21y x mx m =----经过的定点的坐标为__ ____．
9．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为BC 上一点，将ABE ∆沿着AE 折叠，点B 的对应为P ．
（1）连接CP ，则线段CP 的最小值为____ __；
（2）连接DP ，若2DP =，则EDP ∆的面积为____ __．
10．如图，平面直角坐标系中，()7,0A ，()5,2B ，()0,2C ，一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、
F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，则点C 到动直线l 的距离的最大值为__________．
11．如图，ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆（其中B 旋
转后得到D ，C 旋转后得到E ），若DE 恰好经过点C ，求此时BD 的长．
12．如图，6AB =，60ABC ∠=︒，将AC 绕点A 旋转60︒得到AD ，求ABD ∆的面积．
13．已知：如图，AB 是O 的直径，3AC =，4BC =，P 是AB 下方半圆上一动点，CQ PC ⊥交PB
的延长线于点Q ．
（1）若P 在弧AB 的中点，求CQ 的长； （2）若CQ 最大，求最大的CQ 的长．
14．如图，二次函数()2
20y ax ax c a =-++>的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，过A 的直线
()20y kx k k =+≠与这个二次函数图象交于另一点F ，与其对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，
DE EF =．
（1）求A 点坐标；
（2）若BDF ∆的面积为12，求此二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象顶点为P ，连接PF ，PC ，2CPF DAB ∠=∠，求此二次函数的表达式．
15．如图，在ABC ∆中，已知10cm AB AC ==，16cm BC =，AD BC ⊥于D ，点E 、F 分别从B 、
C 两点同时出发，其中点E 沿BC 向终点C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）. （1）求x 为何值时，EFC ∆和AC
D ∆相似；
（2）是否存在某一时刻，使得EFD ∆被AD 分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，
若不存在，请说明理由；
（3）当2x ≤时，若以EF 为直径的圆与线段AC 只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．
16．如图①，()8,6A ，AB y ⊥轴于B 点，点R 从原点O 出发，沿y 轴正方向匀速运动，同时点Q 从点
A 出发，沿线段A
B 向点B 以相同的速度匀速运动，当点Q 到达点B 时，两点同时停止运动，设运
动的时间为t 秒．
（1）点B 的坐标为______；
（2）过R 点作RP OA ⊥交x 轴于点P ，当点R 在OB 上运动时，BRQ ∆的面积S （平方单位）与
时间t （秒）之间的函数图像为抛物线的一部分，如图②，求点R 的运动速度； （3）如果点R 、Q 保持（2）中的速度不变，当25
7
t ≤
时，设PRQ ∆与OAB ∆的重叠部分的面积为y ，请求出y 关于t 的函数关系式．
专题02 “参”透机关——由参数带来的指向性思维
【专题解读】参数，实际上是一个变量，一个代数式。

若在题目给出的表达式中有了参数，从形式上看是变复杂了，一般只要能从变化中找到不变的量，通过“转化”这个常规武器，就能找到试题的切入口，再充分挖掘题目中的隐藏条件，破题也就水到渠成了！本节从点参（定图），线参（定k 平行线，定b 旋转线）两个方面着手分析（含参的二次函数后续有单独专题加以解读）．
【思维索引】
例1.（1）不论a 取什么实数，点()1,34A a a --都在直线l 上，若(),B m n 也是直线l 上的点，
则3m n +=___ ___；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（0，4），(),
M ab ，且3412a b -=，则线段PM 长
的最小值为__ ____.
（3）在平面直角坐标系xOy 中，()3,0A 、(),2B a 、()0,C m 、(),0D n ，且22
4m n +=. 若E 为
CD 中点. 则AB BE +的最小值为______.
例2.在平面直角坐标系xOy 中，()8,6A --、3,
34B m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， （1）求AB 的最小值；
（2）若C 为平面内一点，且四边形OBAC 为平行四边形，求□OBAC 的面积.
例3.探究一次函数2y kx k =++（k 是不为0常数）图象的共性特点.
【探究过程】小明尝试把1x =-代入时，发现可以消去k ，竟然求出了2y =. 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？
小组讨论得出：无论k 取何值，一次函数2y kx k =++的图象一定经过定点()1,2-，
老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点
旋转直线”.
若一次函数()()31y k x k =++-的图象是“点旋转直线”.
（1）一次函数()()31y k x k =++-的图象经过的定点P 的坐标是___ ___. （2）已知一次函数()()31y k x k =++-的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B .
①若OBP ∆的面积为3，求k 值； ②若AOB ∆的面积为1，求k 值.
例4．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为()4,0A 、()0,2B ，点(),C x y 在线段
AB 上，计算1
()2
x y -的最大值.
小明的想法是：这里有两个变量x 、y ，若最大值存在，设最大值为m ，则有函数关系式1
2
y x m =
-，由一次函数的图像可知，当该直线与y 轴交点最低时，就是m 的最大值，故1()2
x y -的最大值为__ . 请你用小明的想法解决下面问题：
如图2，以（1）中的AB 为斜边在右上方作Rt ABQ ∆.设点Q 坐标为(),x y ，求1()2
x y -的最小值.
【素养提升】
1.点(),2P a a +不在第______象限． （ ） A.一
B.二
C.三
D.四
2.平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是()3,1A -，()1,1B -，()2,2C -，当直线1
2
y x b =-
+与ABC ∆有公共点时，b 的取值范围是 （ ）
A.112b -≤≤
B.11b -≤≤
C.112b -≤≤
D.11
22
b -≤≤
3.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()0,2，点M 的坐标为3
(,3)4
m m --（其中m 为实数），当PM 的
长最小时，m 的值为 （ ） A. 2.4- B. 3.4- C.3- D.4- 4.直线:1l y mx m =-+（m 为常数，且0m ≠）与坐标轴交于点A 、B 两点，若AOB ∆（O 是原点）的面积恰好为2，则符合条件的直线l 有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.在平面直角坐标系中，点(,A a 是直线y =上一点，以A 为圆心，2为半径作A ，若(),P x y
是第一象限内
A 上任意一点，则
y
x
的最小值为 （ ）
A.1
1
6.一次函数()()321y k x k =++-的图像经过定点P 的坐标是__ ____.
7.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()3,m 、()3,2m +，直线2y x b =+与线段AB 有公共点，则b 的取值范围为____ __（用含m 的代数式表示）.
8.一次函数y x b =-的图像，沿过点()1,0且垂直于x 轴的直线翻折后经过点()4,1，则b =______.
9.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点(,)B m ，
点C 为线段OA 上一点（点O 为原点），则AB BC + 的最小值为__ ____.
10.在一次函数y x k =-+的图象上取点P ，作P
A x ⊥轴，作P
B y ⊥轴，垂足分别为A ，B ，且矩形OAPB
的面积为2，则这样的点有3个，则k =______.
11.平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1m m +-，一次函数1
32
y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，若点P 在AOB ∆的内部，求m 的取值范围.
12.（1）在平面直角坐标系中，若平行四边形ABCD 的点()0,2A -、点()()3,411B m m m +≠-，
点()6,2C ，求对角线BD 的最小值.
（2）已知点D 与点()8,0A ，()0,6B ，(),C a a -是一平行四边形的四个顶点，求CD 长的最小值.
13.（1）已知平面上点()0,0O ，()3,2A ，()4,0B ，直线32y mx m =-+将OAB ∆分成面积相等的两
部分，求m 的值.
（2）在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为()0,0、()6,2、()8,8、()2,6，
若一次函数()620y mx m m =-+≠的图像将四边形ABCD 的面积分为1:3两部分，求m 的值.
14．已知点()4,3A m m ，且0m >，点B 为x 轴正半轴上一点，点P 为AOB ∠内一点，5OP =，
求PAB ∆周长的最小值．
15．如图，矩形ABCD ，2AB =，10BC =，点E 为AD 上一点，且AE AB =，点F 从点E 出发，向
终点D 运动，速度为1cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰直角BFG ∆，以BG ，BF 为邻边作 □BFHG ，连接AG .设点F 的运动时间为t 秒． （1）试说明：ABG EBF ∆∆∽；
（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；
（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．
专题03 一“线”生机——由特征线带来的演绎式思索
【专题解读】角平分线和垂直平分线是轴对称图形中最为重要的两条线。

角平分线的常规的图形结构是“双垂筝型”，而“垂直+角平分线型”和“平行+角平分线型”是一种演绎；垂直平分线的常规的图形结构是“小雨伞”，而“翻折”类则是它和角平分线共存的另一种演绎. “中线”通过“倍长中线”能演绎到中心对称图形，通过对特征线的发散性联想，结合结论的收敛性的有序演绎，必将成功的解决问题．
【思维索引】
例1.在ABC ∆中，AD 既是BAC ∠的平分线，又是BC 的中线.
（1）求证：AB AC =；
（2）若5AB =，6BC =，求ABC ∆外接圆半径的长.
例2.（1）如图，在△ABC 中，45ABC ∠=︒，CA ⊥AB 于A ，BD 平分∠ABC ，且CD ⊥BE 于D ，连接AD ，
求证：①45ADB ∠=︒；
②2BE CD =．（思考：若10BE =，求AD 的长．）
（2）如图所示，在ABC ∆中，6BC =，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP
交CE 于D ，CBP ∠的平分线交CE 于Q ，当2
5
CQ CE =
时，求EP BP +的值．
例3.（1）如图1，在ABC ∆中，D 在BC 边上，将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，折痕分别与边AB 、AC
相交于点E 、F ，连接DE 、DF .
①若4AB AC ==，3BC =，设BD x =，试用x 的代数式表示BDE ∆和CDF ∆的周长； ②如图2，若ABC ∆是等边三角形，::BD CD m n =，求:AE AF .
（2）如图3，在Rt ABC ∆中，AC =30A ∠=︒，点D 在斜边AB 上，点D 关于AC 、BC 的
对称点为E 、F ，则EF 的最小值是___ __.
（3）如图4，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且1OM =，3ON =，点P 、Q 分
别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是___ ___.
例4.（1）如图1，直角ABC ∆中，90C ∠=︒.请利用没有刻度的直尺和圆规，在AB 上找一点F ，使得点
F 到边AC 的距离等于FB （注：不写做法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）. （2）O 是正方形ABCD 的中点，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且EDF ∆的周长等于AD
的长.在图2中作出EDF ∆，有适当的文字说明，并求出EOF ∠的度数.
【素养提升】
1.如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且110ADC ∠=︒，则M A B ∠等于（ ）
A.30︒
B.35︒
C.45︒
D.60︒
2.如图，已知BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，6AB =，3AC =，则BE 等于 （ ） A.6 B.3 C.2 D.1.5
3.如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 的中点，将ABC ∆折叠，使点A 与点D 重合，EF 为抓痕，则sin BED ∠的值是 （ ）
B.
35
C.
2
D.
23
4.如图，AD 、BE 分别是ABC ∆的中线和角平分线，AD BE ⊥，4AD BE ==，则AC 的长等于（ ）
A.7
B.
C.
D.6.5
5.如图，在O 的内接四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，60BAD ∠=︒，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 （ ）
A .4
B .4.8
C .
D 6.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，C
E 是BCD ∠的平分线，且CE AB ⊥，E 为垂足，2BE AE =，若四边形AECD 的面积为1，则四边形ABCD 的面积为___ ___.
7.如图，已知点()1,2A 、()4,1B 、()8,3C . 则ABC ∆外心的坐标__ ___.
8．如图，在边长为5cm 的正方形纸片ABCD 中，点F 在边BC 上，已知2cm FB =.如果将纸折起，使点A 落在点F 上，则tan GEA ∠=____ __.
9．如图，点P 是等边ABC ∆的边BC 上一动点，分别过点P 作关于AB 、BC 的对称点E 、F ，若等边三角形的边长为2.则EF 的取值范围是____ __.
10．如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF AC ⊥交AC 于F ，
12AC =，8BC =，则AF =___ ___.
11.（1）如图1，已知扇形AOB ，将此扇形折叠使O 点落在弧AB 上的P 点，且折痕恰好经过B 点；
（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
（2）如图2，矩形A B C D ''''是由矩形ABCD 旋转而成，请作出旋转中心点O .
（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
12．如图所示，在四边形ABCD 中，DC AB ∥，90DAB ∠=︒，AC BC ⊥，AC BC =，ABC ∠的
平分线交AD ，AC 于点E 、F ，求
BF
EF
的值．
13.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF . （1）求证：1F ∠=∠.
（2）若sin 5
B =
，EF =CD 的长.
14.如图，在平面直角坐标系中，直线4
43
y x =-
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从A 出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当点P 、Q 运动时，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BQ-OP 于点. 点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（0t >）. （1）点Q 的坐标是（______，______）（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，直线DE 经过点O .
15.已知抛物线()2
0y ax bx c a =++<与x 轴交于点()8,0A 和()12,0B -，与y 轴交于点()0,6C .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D 在线段AB 上且AD AC =，若动点M 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速
运动，同时另一动点N 以某一速度从B 出发沿线段BC 匀速运动，问是否存在某一时刻t （秒），使线段MN 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t 和点N 的运动速度；若不存在，请说明理由.
专题04 “平”步青云——“平移”那些事儿
【专题解读】本节从数形结合的视角进行解读，其一是从点、线、形的“显性”平移产生的图形变
化 及由此带来的线段、角、面积等计算问题，其二是应用“隐性”平移的手段来解决诸如平行四边形存在性、夹定角的函数值、等积转化等问题.
【思维索引】
例1.（1）如图1，把
Rt ABC ∆放在直角坐标系内，其中90CAB ∠=︒，5BC =，点A ，B 的坐标分
别为()()1,04,0，，将ABC ∆沿x 轴向左平移，当点C 落在抛物线24y x x =-上时，线段BC 扫过的面积为___ ____.
（2）如图2，将ABC ∆沿BC 边上中中线AD 平移到A B C '''∆的位置，已知ABC ∆的面积为9，阴影
部分三角形的面积为4，若=1A A '，则=A D '____ _. 例2.（1）如图1，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是()3,1A -，()()1,12,2B --，C ，当直线
1
2
y x b =
+与ABC ∆有公共点时，b 的取值范围是___ ___.
（2）在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，
AB 与CD 相交于O ，则tan BOD ∠的值等于___ _.
（3）如图3，ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，6BC cm =，点E 、F 分别从C 点同时出发，
点E 在边CA 上以4/cm s 的速度向A 点运动，点F 在CB 上以及3/cm s 的速度向B 点运动，点G 是AB 边上的一个动点，则顺次连接E 、F 、G 三点，EFG ∆面积的最大值为_____ __.
【素养提升】
1. 在平面直角坐标中系中，将抛物线()2
1y x =+向右平移2个单位，再向下移4个单位，得到的抛物线解析式是 （ ） A. ()2
24y x =-- B. ()2
14y x =-- C. ()2
23y x =--
D. ()2
13y x =--
2.已知线段AB 经过平移得到线段A B ''，其中点1,1A -（），B 的对应点分别为点1,2A '-（
），B '.若线段AB 上有一个点,P a b （），则点P 在A B ''上的对应点P '的坐标为 （ ） A.()2,3a b -+
B. ()2,3a b --
C. ()2,3a b ++
D. ()2,3a b +-
3.如图，把ABC ∆沿着BC 方向平移到DEF ∆的位置，它们重叠部分的面积是ABC ∆面积的一半，若
BC =，则ABC ∆移动的距离是 （ ）
A.
2
B.
3
C.
2
2
4.如图，已知直线144
33
l y x =
-以每秒3个单位长度的速度向右平移这同时以点()3,3M 为圆心，3个单位长度为半径的M 以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l 与M 相切时，则它们运动的时间为
（ ）
A.2.5
B.5-
C.2.5或10
D.5-5+5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线
l 交于A 、B 两点，若3AB =，则点M 到直线l 的距离为 （ ）
A. 52
B. 94
C. 2
D. 74
6.如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点C 在y 轴正半轴上， 点A 的坐标为()2,0m ，将正方形OABC 沿着OB 方向平移12
OB 个单位，则点C 的对应点坐标为___ ___.
7.如图，菱形ABCD 中，6AB cm =，4BC cm =，连接BC ，将DBC ∆沿射线BC 平移一定的距离得到
111D B C ∆，连接1AC ，1BD ，如果四边形11ABDC 是矩形，那么平移的距离为___ ___cm .
8.如图，抛物线223y x x =--将x 轴于A 、将y 轴于C ，M 是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为_ ____（面积单位）. 9.如图，已知ABC ∆的面积为12，ABC ∆沿BC 平移到A B C '''∆，使B '和C 重合，连接AC 交AC '于D ，
D 是AC '的中点，则C DC '∆的面积为____ __.
10.在平面直角坐标系中，点()3,0A -，()2,1B -，O 为原点，若O 的半径为0r r （＞），若O 上恰有
两点M 、N ，使MAB ∆和NAB ∆的面积为1，则r 的取值范围为____ __. 11.在边长为1的正方形网格图中，点B 的坐标为2,0（）
，点A 的坐标为0,3-（）. （1）将直线AB 关于原点作位似变换，使得变换后的直线22A B 与直线AB 的位似比是12：
，请建立合适的坐标系，作出变换后的直线22A B ，并求直线22A B 的解析式；
（2）仅使用无刻度的直尺，在图中作出以AB 为边的矩形ABDE ，使其面积为9. （保留作图痕迹，不写做法）
12.如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD ，其三个顶点的坐标分别为()2,0A 、()8,0B 、()8,3C ，将直线32l y x =--：以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t 秒.
（1）设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，试求0S ＞时S 与t 的函数关系；
（2）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的M ，在直线l 出发的同时，M 以每秒2
个单位的速度向右运动，如图2所示，则当t 为何值时，直线l 与M 相切？
13.如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10OP cm =，射线PN 与O 相切于点Q .
A 、
B 两点同时从点出发，点A 以5/cm s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4/cm s 的速度沿射线
PN 方向运动，设运动时间为ts . （1）求证：AB PN ⊥；
（2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？
14.如图1，已知矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为()3,4，若将此矩形沿对角线OB 剪开，将OBC ∆沿x 轴的正方向，以每秒1个单位的速度运动，如图2所示，在运动过程中，设平移所得111O B C ∆的边11O C 与OB 交于点M ，边11O B 与AB 将于点N ，设运动时间为
()03ts t ＜＜.
（1）是否存在这样的t ，使得四边形1BMO N 的对角线恰好互相垂直？若存在，求出t 的值；若不存在，
请说明理由；
（2）请在图3中补全3t =时相应的图形，请解决问题；用不含刻度的直尺和圆规在边11O B （不含端点）
上找一点P ，使得90OPB ∠=︒，并求出点P 的坐标.
15.在直角坐标系中，点C 的坐标为()0,2-，点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程
2340x x --=的两个根，点A 在点B 的左侧.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式；
（2）点D 的坐标为()2,0，点(),P m n 是该抛物线上的一个动点（其中m ,n ＞0＜0）连接CD 、CP ，
设CDP ∆的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？
专题05 “翻”然领悟——“翻折”那些道理
【专题解读】翻折是图形全等变换的一种方式，要抓住翻折中的“不变量”，本节从“折痕”的视
角进行解读，其一是“折痕”过图形的顶点翻折（不妨称为角平分线状），产生确定的图形的“解形”问题和产生不确定的图形由此带来的附加确定及“隐圆”最值类问题；其二是“折痕”和邻边相交（不妨称为垂直平分线状）带来的对称后落点的新生成的探究；其三是利用“翻折”的方法解决一类最值问题.
【思维索引】
例1.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =
（1）若E 为CD 的中点，将BCE ∆沿DE 折叠，点C 的对应点为F ，请利用无刻度的直尺和圆规作
出符合条件的圆形并求AF 和的长；（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
（2）若点E 是射线．．DE 上的一个动点，把BCE ∆沿折叠，点C 的对应点为F .
①若点F 刚好落在对角线BD 上时，求线段CE 的长；
②若点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，求线段CE 的长；
③当射线AF 交线段CD 于点G 时，请直接写出CG 的最大值____ __.
例2. 如图（1），点P 在射线OA 上，且5OP =，点Q 是射线OB 上一动点，将O ∠沿PQ 折叠，点O 落
在平面内点C 处.
（1）若3
sin 5
AOB ∠=
时， ①当PC
QB 时，求折痕PQ 的长；
②在OB 上找一点Q ，使PC QB ⊥并求OQ 的长；（尺规作图，保留作图痕迹） ③点D 在射线OB 上，且 2.5OD =，则CD 的最小值.
（2）若45AOB ∠=︒，2OP =时，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ 的长.
例3.如图1，在矩形ABCD 中，3AD =，4DC =，动点P 在线段DC 上以每秒1个单位的速度从点D
向点C 动作，过点P 作PQ
AC 交AD 于Q ，将P D Q ∆沿PQ 翻拍得到PQE ∆.设点P 的运动时间
为t (s).
（1）当点E 落在边AB 上时，t 的值为______；
（2）设PQE ∆与ADC ∆重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式； （3）如图2，以PE 为直径作O ，当O 与AC 边相切时，求CP 的长.
例4.如图，等边ABC ∆的边长为4，P ，Q ，R 分别是AB 、AC 、BC 、上（均不与端点重合）的动点，
则PQ QR +的最小值为____ __.（思考：PQR ∆周长的最小值）
【素养提升】
1.如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点D 、E 在边BC 上，且60DAE =︒，将ADE ∆沿AE 翻折，点D 的对应点是D '，连接CD ，若4BD =，5CE =，则DE 的长为 （ ）
A. 92
D.2.如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处.
若1BE =，3BC =，则CD 的长为 （ ）
A.6
B.9
C.4
D.3
3.如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是AD 边上一点，连接CE ，将CDE ∆沿CE 翻折，点D 的对应点是F ，连接AF ，当AEF ∆是直角三角形时，AF 的值是 （ ）
A. 4
B.
C.4或
D.4或5或
4.如图，已知在ABC ∆中，90BAC ∠︒＞时，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将CDE ∆沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是 （ ） A.AE EF = B.2AB DE = C.ADF ∆和ADE ∆的面积相等 D. ADE ∆和FDE ∆的面积相等
5.如图，将正方形ABCD 中折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点C ，D 重合），折痕
交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则
n
m
的值为 （ ）
A.
2
B.
12
C.
1
2
D.随H 点位置的变化而变化
6.如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点P 为AB 上一点，且ABE ∆，将ABE ∆沿BE 翻折，得到A BE '∆，连接CA '并延长，与AD 相交于F ，则DF 的长为____ __.
7.如图，AOB ∆的边OA 、OB 分别落在x 轴、y 轴上，点P 在边AB 上，将AOP ∆沿OP 所在直线折叠，使点A 落在点A '的位置，若()3,0A -，()0,4B ，连接BA '.当BA '的长度最小时点P 的坐标为_____.
8.如图，在菱形ABCD 中，4
tan 3
A =
，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，妆EF AD ⊥时，BN
CN
的值为___ ___.
9.如图，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，4AC =，点M 、N 分别在线段AC 、AB 上，将ANM ∆沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当DCM ∆为直角三角形时，折痕MN 的长为_______.
10.如图，矩形ABCD ，3AB =，4BC =，E 、F 分别为AC 、BC 上的两个动点， 则BE EF +的最小值为___ ___. 11.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点.
（1）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上，请用直尺和圆
规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将ABC ∆沿着过点AD 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处.
①若DE AB ⊥，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB =6BC =，45B ∠=︒，则CD 的取值范围是___ ___.
12．如图，矩形OABC 的三个顶点()0,0O ，()0,5A ，()7,0C ，P 是边AB 上一个动点，将OAP ∆沿着OP 翻折到OA P '∆.
（1）若A '恰好落在BCO ∠的角平分线上，求P 的坐标； （2）求A '到直线24
247
y x =-
+距离的最小值.
13.如图，已知矩形ABCD 中，4AB =，AD m =，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连接CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E ，设点P 的运动时间为()t s V
（1）若6m =，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值.
（2）已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC
的距离等于3，求所有这样的m 的取值范围.
14．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点G 是边AB 的中点，平行AB 的动直线l 分别将ABC ∆的边CA 、CB 于M 、N ，设CM m =． （1）当1m =时，求MNG ∆的面积S ；
（2）点G 关于直线l 的对称G '，请求出点G '恰好落在ABC ∆的内部（不含边界）时，m 的取值范围； （3）MNG ∆是否可能为直角三角形，如果能，请求出所有符合条件的m 值；如果不能，请说明理由．
15．“芳贺折纸三定理”说的是如何用折正方形纸片的方法确定正方形一条边上的三等分点，让我们先来认识一下这三个定理.
第一定理：如图1，将边长为1正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M上，MD'与AD交于点G，则点G是线段AD的三等分点；
第二定理：如图2，将边长为1正方形纸片ABCD沿着CM折叠，点M是AB的中点，延长MB'与AD 交于点G，则点G是线段AD的三等分点.
第三定理：如图3，将边长为1正方形纸片ABCD沿着EF折叠，点C是AD上点G处，且B G'经过AB边中点M，则点G是线段AD的三等分点．
问题：
∆的内切圆半径；
（1）请你证明第一定理，并计算AMG
（2）请在第二定理和第三定理中，选一个进行证明．
专题06 “转”危为安——“旋转”那些门路
【专题解读】旋转是图形变换的一种方式，也是研究图形变化的一种重要手段。

本节从三个方向进
行解读：其一是熟悉旋转的“三要素”；其二从图形绕定点旋转特定的角度和位置产生的定位“解形”（定旋转）和绕定点旋转而旋转角不定的最值“隐圆”（活旋转）；其三用旋转解决某些实际问题，譬如隐藏的旋转以及如何转化为旋转的策略研究．
【思维索引】
例1.（1）如图1，将AMG ∆绕点B 逆时针旋转α，得到EBD ∆，若点A 恰好在ED 的延长线上，
则∠CAD 的度数为___ ___.
（2）如图2，A 点的坐标为()1,5-，B 点的坐标为()3,3，
C 点的坐标()5,3，
D 点的坐标为()3,1-，小明发现：线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以
得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____ _.
例2.（1）如图1，在平面直角坐标中，已知点()1,0A -，()3,2B ，将线段AB 绕点A 旋转90︒，
得到线段AB '，则点B '的坐标是______.
（2）如图2，ABC ∆中，90BAC ∠︒＞，5BC =，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90︒，点B 对
应点B '落在BA 的延长线上，若9
sin 10
B A
C '∠=
，则AC =______.
（3）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30︒得到
菱形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为___ __.
例3.（1）如图，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且5OA =，3OC =；若把矩形OABC
绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为______.
（2）如图，在矩形ABCD 中，将ABC ∠绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B C '交
CD 边于点G ，连接BB '、CC '.若7AD =，4CG =，AB B G ''=，则
CC BB '
='
______. 例4.（1）如图1，正方形AEFG 与正方形ABCD 的边长都为1，正方形AEFG 绕正方形ABCD 的顶点A
旋转一周，在此旋转过程中，线段DF 的长取值范围为___ ___.
（2）如图2，在ABCD 中，45A ∠=︒，4AB =，AD =M 是AD 边的中点，N 是AB 边
上一动点，将线段M 绕点M 逆时针旋转90至MN '，连接N B '，N C '，则N B 'N C '+的最小值是__ ____..
（3）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0αα︒︒＜＜360，得到矩形AEFG .
①如图，当点E 在BD 上时，求证：FD CD =；
②当α为何值时，GC GB =？画出图形，并说明理由.。