大一下册高数习题册附标准答案

重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
⎰⎰+=22其中D 为：422≤+y x
( dxdy y x I D
⎰⎰+=22=πππ3
16
2.4..312.4.=
-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=12π
，求a 的值。

解：
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=3
.34.21a π81
=a
3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求⎰⎰D
dxdy 3
解：由于D 的面积为π2, 故⎰⎰D
dxdy 3=π6
4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，
⎰⎰⎰⎰+=+=D
D
dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系
解：在D 上，)ln(y x +≤2)][ln(y x +,故1I ≤2I
5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1
:222)]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
⎰⎰D
ydxdy x 2
2sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤0⎰⎰D
ydxdy x 22sin sin 2π≤)
7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求
⎰⎰→D
a dxdy y x f a ),(1lim
2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a =
=→→⎰⎰ηξπ
§ 2 二重积分的计算法
1、设⎰⎰
+=D
dxdy y x
I 1
，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（）
A ：2
12ln 3ln 87+-- B ：21
2ln 3ln 89-+
C ：2
1
2ln 3ln 89-- D ：412ln 3ln 89--
2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+D
dxdy y x )(为
（）
A ：0
B ：31
C ：3
2
D ： 1
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分
⎰⎰D
xy dxdy ye 为（）
A ：e e e 2
1
2124-- B ：21
242121e e e e -+-
C ：e e 2
1
214+ D ：2421e e -
4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰++-2
11
1
),(为（）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+1
1
2
111102),(),( B dx y x f dy y ⎰⎰--1
11
0),( C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+1
1
2
11
11
02),(),( D dx y x f dy y ⎰⎰---1
1
2
02),(
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重
积分⎰⎰D
dxdy y x f )(2为（）
A ⎰⎰1
),(22D dxdy y x f B ⎰⎰2
2),(4D dxdy y x f
C ⎰⎰1
),(42D dxdy y x f D
⎰⎰2
2
),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分⎰⎰D
dxdy y x f )(22为（）
A ⎰⎰1
),(222D dxdy y x f B ⎰⎰1
),(422D dxdy y x f
C ⎰⎰1
),(822D dxdy y x f D
⎰⎰1
),(212
2D dxdy y x f
7、.设f(x,y)为连续函数，则⎰⎰a x
dy y x f dx 0
),(为( )
A ⎰⎰a a y
dx y x f dy 0
),( B ⎰⎰a y
a
dx y x f dy 0
),(
C ⎰⎰a y dx y x f dy 0
),( D ⎰⎰a x
dx y x f dy 0
),(
8、求⎰⎰
=D
dxdy y
x I 2
2，其中:D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
)
9、设I=⎰⎰
3
1
ln 0
),(x
dy y x f dx ,交换积分次序后I 为：
I=⎰⎰
31
ln 0
),(x
dy y x f dx =⎰⎰3ln 0
3
),(y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+4240
200),(),(x
x dy y x f dx dy y x f dx =⎰⎰
2
1
2
2
1x
x
dx y
dx x
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+D
y x dxdy e 的值
解：⎰⎰+D
y
x dxdy e
=⎰⎰⎰⎰-==+1
21
10
1
)1())((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设 I=⎰⎰--D
dxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331
R π)
13、计算二重积分⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x
解：⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22==
-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
20
2)4()4(2
41π 14、计算二重积分⎰⎰D
y x
dxdy e }
,m ax{22
，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解：⎰⎰D
y x
dxdy e }
22
,max{=110
10
2
2
-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分⎰⎰
++D
dxdy y
x y
x 2
2，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：⎰⎰++D dxdy y
x y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπ
θθ-=+⎰⎰+rdr r r d
§ 3 三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ω
xdxdydz 为
( )
A ⎰⎰
⎰--1
210
1
y x y xdz d dx B ⎰
⎰
⎰---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ⎰
⎰
⎰---210
210
1
x y
x xdz dy dx D ⎰⎰⎰10
1
10
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2
+y 2
=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（）
A ⎰⎰⎰1
20
20
2
ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ⎰⎰⎰2
020202
ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d
C ⎰⎰⎰20
2
2
20
2ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ⎰⎰⎰2
2
20
dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z ||
解：⎰⎰⎰Ω
dv e z ||=⎰⎰⎰--≤+1
1
1||2
22)(
z y x z dz dxdy e =2⎰
=-1
2
2)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 32
(1/364)
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x ，求⎰⎰⎰Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1)
1ln(2
22222 (0) 6、计算⎰⎰⎰+Q
dxdydz y x )(22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域(
π5
64
) 7、计算⎰⎰⎰Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t t
z y x t )(1lim 2
2222224
0⎰⎰⎰≤++→++π
解：dxdydz z y x f t t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++22222224
0(
1
lim
π
=)0(')(4lim
sin )(1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==⎰⎰⎰
⎰→→ϕϕθππ
π
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）
A )2(41+π
B )2(21+π
C )2(4
3
+π D 2+π
(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0,35)
B (0,36)
C (0,37)
D (0,3
8
)
(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）
A (0,0,34)
B (0,0,3
5) C (0,0,45) D (0,0,47
)
(4)、质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区
域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )
A 31μ
B 32μ
C μ
D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 3
8
)
4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3
解：π102559222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 1S π20255
16
2
22=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3
)122(22
2222
2R dxdy R y x R R y x π-=++=
⎰⎰
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立
体的体积
解：43)(2132
222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V 第九章自测题
一、选择题: （40分） 1、⎰
⎰-x dy y x f dx 10
1
0),(=( )
A ⎰⎰-10
10
),(dx y x f dy x B ⎰
⎰-x
dx y x f dy 10
10
),(
C ⎰⎰1
1
),(dx y x f dy D ⎰
⎰-y
dx y x f dy 10
1
),(.
2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰D
dxdy y x a 222. A 1
D 32
1 3、设⎰⎰+=D
dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).
A 4
02
20a rdr a d a
πθπ
=⎰⎰ B 402202
1
a rdr r d a
πθπ=⋅⎰⎰; C 302203
2
a dr r d a πθπ=⎰⎰ D 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰.
4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则
⎰⎰⎰Ω
xdxdydz =( ).
A
481 B 481- C 24
1 D 241- .
5 、设Ω是锥面,0(22
2222>+=a b
y a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的空
间区域在第一卦限的部分,则⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy
=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361
D ab c 36
1. 6、计算⎰⎰⎰Ω
=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）
A ⎰⎰⎰=10
10
20
zdz rdr d I πθ B ⎰⎰⎰=1
10
20
r
zdz rdr d I πθ
C ⎰⎰⎰=110
20
r
rdr dz d I πθ D ⎰⎰⎰=z
zrdr d dz I 0
20
10
πθ.
7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )
A π3
B π2
C π5
D π22.
8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).
A μ3
B μ5
C μ4
D μ6
二、计算下列二重积分:（20分）
1、⎰⎰-D d y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (940
2-π)
2、⎰⎰D
d x
y
σarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围
成的在第一象限内的闭区域 . (
2
64
3π) 3、⎰⎰+-+D
d y x y σ)963(2,其中D 是闭区域:222R y x ≤+ (
2494
R R ππ
+)
4、⎰⎰-+D
d y x σ222,其中D :322≤+y x . (
.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、⎰
⎰⎰
⎰-+y
y
dx y x f dy dx y x f dy 30
31
20
10
),(),( (⎰⎰-x
x
dy y x f dx 32
20
),()
2、⎰
⎰-+2111
),(x x
dy y x f dx (⎰
⎰⎰⎰-+2
2
20
2
1
1
),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )
3、⎰⎰θθθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a (⎰⎰θ
θθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a
)
四、计算下列三重积分:（15分）
1、Ω+⎰⎰⎰Ω
,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2
,,π
=
+==z x o z o y 及平面所围
成的区域 (
2
1162
-π) 2、,)(22⎰⎰⎰Ω
+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与
平面5=x 所围 (
π3
250
) 五、（5分）求平面1=++c
z
b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
(2222222
1a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:
3
10101])([6
1)()()(⎰⎰⎰⎰=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0
)0(,)()()
()(,)()(1
==='=⎰⎰F dx x f t F x f x F dt t f x F x
且则
=⎰⎰⎰101)()()(x y
x dxdydz z f y f x f =-⎰⎰dy x F y F y f dx x f x
1
1)]()()[()(
dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(21
22⎰
+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(6
1
3F。