第十一章动量矩定理
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C
J z1 J zC mb2
×
J zC J mb2
J z 2 J zC ma2 J mb2 ma2 J m(a 2 b 2 )
Part B 转动惯量
4. 规则均质刚体的转动惯量 参考教材
z zc C l
R z
J zC
1 ml 2 12
1 2 J z ml 3
z
A LO
定义
v j M r A' (mv)xy mv
O
y
M'
设质点 M 的质量为 m , 某瞬时 速度为v, 质点相对于固定点 O 的 矢径为r, 则质点对于固定点的动量 矩定义为: 质点 M 的动量对于O点 的矩,称为质点对于O点的动量矩。
x
LO M O (mv ) r mv
LO MO (mv ) r mv sin j 2 AOMA
第十一章 动量矩定理
均质对称圆盘绕质心转动 其动量： P mvO 0
w
a
O
质点系的动量不能描述质点系 相对于质心的运动状态，动量定理 也不能阐明这种运动的规律，而必 须用其它理论来解决这个问题。
第十一章 动量矩定理
PART A 动量矩的概念
Part A 动量矩
1. 质点对固定点的动量矩
W
d 2j g sin j 0 2 dt l
若j 0, sin j j
d 2j g j 0 2 dt l
Part C 动量矩定理
[解]
O
j
l F A v
d 2j g j 0 2 dt l g j j0 sin( t ) l
边界条件
t 0 j 0 0
J z mR2
1 J z mR 2 2
R z
Part B 转动惯量
例题 1 如图所示均质圆盘的质量为m (灰色部分的质量) , 半径为R , 中间被挖去半径为r 的一个圆形部分， r = R/3 ，求该盘对A 轴的转动惯量。 A A
R C
r
Part B 转动惯量
[解]
A
R R 1 C 2 C C
物块 B: 整个系统:
W2
LO3 m2v2r m2w r 2
LO LO1 LO 2 LO 3 1 ( M m1 m2 )w r 2 2
B
Part C 动量矩定理
[解]
a w
M O
Mg
a
Foy r Fox
第十一章 动量矩定理
PART B 转动惯量
Part B 转动惯量
1. 定义
转动惯量
a
J z mi ri2
质量连续分布的情况：
r
r: 微质量dm 到a 轴的垂直距离
dm
z
O
y
J a r dm
2 M
x
单位: kg· 2 m
Part B 转动惯量
1. 定义
a
r
dm
转动惯量是正标量，其大小不 仅与刚体质量大小和质量的分布情 况有关，还与对应的 a 轴的位置有 关。 转动惯量是刚体定轴转动时惯 性的量度。
单位: kg· 2/s m
Part A 动量矩
3. 质点系的动量矩
质点系中各质点对定点O的动量矩的矢量和称为质点 系对固定点O的动量矩。
LO LOi MO (mi vi ) ri mi vi
质点系对固定轴z的动量矩
Lx Lxi M x (mi vi )
根据前面的关系，容易得到
Part B 转动惯量
例题 2 直杆的质量 : m1 均质圆盘质量: m2 在某瞬时角速度等于 w, 计算系统 对垂直于平面且通过O点的轴的动 量矩。
O
w
l
d
Part B 转动惯量
[解]
O
J O J OP J OL
J OL
w
l
d
d J OP J CP m2 (l ) 2 2 1 d d m2 ( ) 2 m2 (l ) 2 2 2 2 3 2 2 m2 ( d l ld ) 8 1 3 J O m1l 2 m2 ( d 2 ld l 2 ) 3 8 LO J Ow 1 3 2 2 [ m1l m2 ( d ld l 2 )]w 3 8
Part C 动量矩定理
例题 3 求单摆的运动方程， 球A的质量为m
O
j
l F A v
W
Part C 动量矩定理
[解]
O
W dj W 2 dj LO m vl (l )l l g dt g dt M O Wl sin j
根据质点的动量矩定理
j
l F A v
d d W 2 dj LO M O ( F ) ( l ) Wl sin j dt dt g dt
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
定轴转动刚体对转轴的动量矩:
Lz Lzi M z (mi vi ) (mi vi )ri M z (miwi ri )ri w mi ri2
引入:
J z mi ri2
则:
Lz J zw
Jz
Mass moment of Inertia
4. 质点系的动量矩守恒定理
若
根据
MO ( F ) 0 或 M z ( F ) 0
则有
LO
Lz
d LO M O ( Fi e ) dt 常矢量
常量
d Lz M z ( Fi e ) dt
称为质点系的动量矩守恒
Part C 动量矩定理
例题 4 轮子的质量为: M 重物 A 和 B的质量分别为: m1 m2 设 m1 > m2
z d
质心
zC
若 d 为两平行轴的垂直距离，则有:
J z J zC md
2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平 方之乘积。
Part B 转动惯量
3. 平行移轴公式 证明
z' r i' d O' yi' yi x' x C z ri mi y(y') xi=xi'
哈尔滨工业大学（威海）土木工程系
动力学
第十一章 动量矩定理第十一章 动量矩定理本章我们将要学习的内容
• 动量矩的概念 Angular Momentum • 转动惯量 Mass moment of Inertia • 动量矩定理 Theorem of Angular Momentum • 质点系相对于质心的动量矩定理 Theorem of Angular Momentum for particle system about barycenter • 刚体平面运动微分方程 Differential Equation of Plane Motion
mi m ,
mi yi myC 0 J z ' J zC md2
Part B 转动惯量
讨论
z1 zC z2
b
a
如图所示，刚体的质量为 m ，对 z1 轴的转动惯量为 J ,求对 z2.轴的转动 惯量。
J z 2 J z1 m(a b) 2 J m(a b) 2
mv
Part C 动量矩定理
1. 质点的动量矩定理 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上 的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
d LO M O ( F ) dt
质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上 的力对同一轴之矩。
d d Lx M x ( F ) Ly M y ( F ) dt dt
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
1 m1l 2 3
注意平行移轴公式在本例中的应用
第十一章 动量矩定理
PART C 动量矩定理
Part C 动量矩定理
1. 质点的动量矩定理
z LO MO(F)
O x
LO r mv d d dr d LO (r mv ) mv r mv v dt dt dt dt dr M mv v mv 0 由于： dt r d y mv F 并且根据动量定理: dt d LO r F M O ( F ) 则可得： dt 向三个坐标轴投影 d d d Lx M x ( F ) Ly M y ( F ) Lz M z ( F ) dt dt dt
转动惯量
定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与 转动角速度的乘积。
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
刚体一般平面运动对定轴的动量矩*
Lz mz mvC J Cw
运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。
由于
MO (Fii ) 0
d LO M O ( Fi e ) 得到： dt 向直角坐标系的三个坐标轴进行投影 d Lx M x ( Fi e ) dt d Ly M y ( Fi e ) dt d Lz M z ( Fi e ) dt
Part C 动量矩定理
z
O
y
x
J a r dm
2 M
Part B 转动惯量
2. 回转半径 引入回转半径 转动惯量
z
J z m
2 z
z
Jz m
对于均质刚体，回转半径仅与几何形状有关，与密度 无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质 刚体，其回转半径是相同的。
Part B 转动惯量
3. 平行移轴公式 如图所示两个平行轴，其中一轴通过刚体质心，另一轴 为与质心轴平行的任意轴。
r r
r R/3
J A J A1 J A2 A 1 3 J A1 m1 R 2 m1 R 2 m1 R 2 2 2 1 J A2 m2 r 2 m2 ( R 2 r 2 ) 2 7 m2 R 2 6 3 7 J A m1 R 2 m2 R 2 2 6 9 m1 m2 m m1 m m2 m1 / 9 8 3 7 74 2 2 J A m1 R m2 R mR 2 2 6 48
Part A 动量矩
2. 质点对固定轴的动量矩
z
A LO mv
定义
质点对固定轴的动量矩定 义为：质点动量mv 在Oxy平面 内的投影(mv)xy对于点O的矩。
O r
v j M
Lz M z (mv) 2 AOM ' A'
y
A'
(mv)xy
x
M'
对于固定轴z的动量矩是代 数量，其正负号的规定按照右 手定则确定。（类似于空间力 对轴的矩的正负号规定） (LO ) z Lz
d Lz M z ( F ) dt
Part C 动量矩定理
2. 质点的动量矩守恒
若
MO ( F ) 0 或 M z ( F ) 0
d LO M O ( F ) 根据动量矩定理 dt M O (mv ) 为常矢量 则
M z (mv )
d Lz M z ( F ) dt
为常数
称为质点的动量矩守恒.
W
g j j 0 sin( t ) l
Part C 动量矩定理
3. 质点系的动量矩定理 质点系中一个质点的动量矩定理: 对于整个质点系:
d LOi M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) dt
d LOi M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) dt
(LO ) x Lx
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
平移刚体对定点的动量矩:
LO MO mi vi ri mi vi mi ri vC mrC vC rC mvC
平移刚体对定轴的动量矩:
Lz M z mvC
刚体平移时，可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质 点来计算其动量矩。
M O r
绳子无滑动。计算重物 A 的加 速度
m1 A m2 B
Part C 动量矩定理
[解]
a w
Foy M r
分析作用在系统上的力以及各个运动量
O
Mg
Fox
a
m1 A m2
W1
d LO M O ( Fi e ) dt 计算系统对垂直于平面通过点O的轴的 动量矩 1 LO1 J Ow Mr 2w 轮子: 2 物块 A: LO2 m1v1r m1w r 2
J z1 J zC mb2
×
J zC J mb2
J z 2 J zC ma2 J mb2 ma2 J m(a 2 b 2 )
Part B 转动惯量
4. 规则均质刚体的转动惯量 参考教材
z zc C l
R z
J zC
1 ml 2 12
1 2 J z ml 3
z
A LO
定义
v j M r A' (mv)xy mv
O
y
M'
设质点 M 的质量为 m , 某瞬时 速度为v, 质点相对于固定点 O 的 矢径为r, 则质点对于固定点的动量 矩定义为: 质点 M 的动量对于O点 的矩,称为质点对于O点的动量矩。
x
LO M O (mv ) r mv
LO MO (mv ) r mv sin j 2 AOMA
第十一章 动量矩定理
均质对称圆盘绕质心转动 其动量： P mvO 0
w
a
O
质点系的动量不能描述质点系 相对于质心的运动状态，动量定理 也不能阐明这种运动的规律，而必 须用其它理论来解决这个问题。
第十一章 动量矩定理
PART A 动量矩的概念
Part A 动量矩
1. 质点对固定点的动量矩
W
d 2j g sin j 0 2 dt l
若j 0, sin j j
d 2j g j 0 2 dt l
Part C 动量矩定理
[解]
O
j
l F A v
d 2j g j 0 2 dt l g j j0 sin( t ) l
边界条件
t 0 j 0 0
J z mR2
1 J z mR 2 2
R z
Part B 转动惯量
例题 1 如图所示均质圆盘的质量为m (灰色部分的质量) , 半径为R , 中间被挖去半径为r 的一个圆形部分， r = R/3 ，求该盘对A 轴的转动惯量。 A A
R C
r
Part B 转动惯量
[解]
A
R R 1 C 2 C C
物块 B: 整个系统:
W2
LO3 m2v2r m2w r 2
LO LO1 LO 2 LO 3 1 ( M m1 m2 )w r 2 2
B
Part C 动量矩定理
[解]
a w
M O
Mg
a
Foy r Fox
第十一章 动量矩定理
PART B 转动惯量
Part B 转动惯量
1. 定义
转动惯量
a
J z mi ri2
质量连续分布的情况：
r
r: 微质量dm 到a 轴的垂直距离
dm
z
O
y
J a r dm
2 M
x
单位: kg· 2 m
Part B 转动惯量
1. 定义
a
r
dm
转动惯量是正标量，其大小不 仅与刚体质量大小和质量的分布情 况有关，还与对应的 a 轴的位置有 关。 转动惯量是刚体定轴转动时惯 性的量度。
单位: kg· 2/s m
Part A 动量矩
3. 质点系的动量矩
质点系中各质点对定点O的动量矩的矢量和称为质点 系对固定点O的动量矩。
LO LOi MO (mi vi ) ri mi vi
质点系对固定轴z的动量矩
Lx Lxi M x (mi vi )
根据前面的关系，容易得到
Part B 转动惯量
例题 2 直杆的质量 : m1 均质圆盘质量: m2 在某瞬时角速度等于 w, 计算系统 对垂直于平面且通过O点的轴的动 量矩。
O
w
l
d
Part B 转动惯量
[解]
O
J O J OP J OL
J OL
w
l
d
d J OP J CP m2 (l ) 2 2 1 d d m2 ( ) 2 m2 (l ) 2 2 2 2 3 2 2 m2 ( d l ld ) 8 1 3 J O m1l 2 m2 ( d 2 ld l 2 ) 3 8 LO J Ow 1 3 2 2 [ m1l m2 ( d ld l 2 )]w 3 8
Part C 动量矩定理
例题 3 求单摆的运动方程， 球A的质量为m
O
j
l F A v
W
Part C 动量矩定理
[解]
O
W dj W 2 dj LO m vl (l )l l g dt g dt M O Wl sin j
根据质点的动量矩定理
j
l F A v
d d W 2 dj LO M O ( F ) ( l ) Wl sin j dt dt g dt
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
定轴转动刚体对转轴的动量矩:
Lz Lzi M z (mi vi ) (mi vi )ri M z (miwi ri )ri w mi ri2
引入:
J z mi ri2
则:
Lz J zw
Jz
Mass moment of Inertia
4. 质点系的动量矩守恒定理
若
根据
MO ( F ) 0 或 M z ( F ) 0
则有
LO
Lz
d LO M O ( Fi e ) dt 常矢量
常量
d Lz M z ( Fi e ) dt
称为质点系的动量矩守恒
Part C 动量矩定理
例题 4 轮子的质量为: M 重物 A 和 B的质量分别为: m1 m2 设 m1 > m2
z d
质心
zC
若 d 为两平行轴的垂直距离，则有:
J z J zC md
2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平 方之乘积。
Part B 转动惯量
3. 平行移轴公式 证明
z' r i' d O' yi' yi x' x C z ri mi y(y') xi=xi'
哈尔滨工业大学（威海）土木工程系
动力学
第十一章 动量矩定理第十一章 动量矩定理本章我们将要学习的内容
• 动量矩的概念 Angular Momentum • 转动惯量 Mass moment of Inertia • 动量矩定理 Theorem of Angular Momentum • 质点系相对于质心的动量矩定理 Theorem of Angular Momentum for particle system about barycenter • 刚体平面运动微分方程 Differential Equation of Plane Motion
mi m ,
mi yi myC 0 J z ' J zC md2
Part B 转动惯量
讨论
z1 zC z2
b
a
如图所示，刚体的质量为 m ，对 z1 轴的转动惯量为 J ,求对 z2.轴的转动 惯量。
J z 2 J z1 m(a b) 2 J m(a b) 2
mv
Part C 动量矩定理
1. 质点的动量矩定理 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上 的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
d LO M O ( F ) dt
质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上 的力对同一轴之矩。
d d Lx M x ( F ) Ly M y ( F ) dt dt
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
1 m1l 2 3
注意平行移轴公式在本例中的应用
第十一章 动量矩定理
PART C 动量矩定理
Part C 动量矩定理
1. 质点的动量矩定理
z LO MO(F)
O x
LO r mv d d dr d LO (r mv ) mv r mv v dt dt dt dt dr M mv v mv 0 由于： dt r d y mv F 并且根据动量定理: dt d LO r F M O ( F ) 则可得： dt 向三个坐标轴投影 d d d Lx M x ( F ) Ly M y ( F ) Lz M z ( F ) dt dt dt
转动惯量
定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与 转动角速度的乘积。
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
刚体一般平面运动对定轴的动量矩*
Lz mz mvC J Cw
运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。
由于
MO (Fii ) 0
d LO M O ( Fi e ) 得到： dt 向直角坐标系的三个坐标轴进行投影 d Lx M x ( Fi e ) dt d Ly M y ( Fi e ) dt d Lz M z ( Fi e ) dt
Part C 动量矩定理
z
O
y
x
J a r dm
2 M
Part B 转动惯量
2. 回转半径 引入回转半径 转动惯量
z
J z m
2 z
z
Jz m
对于均质刚体，回转半径仅与几何形状有关，与密度 无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质 刚体，其回转半径是相同的。
Part B 转动惯量
3. 平行移轴公式 如图所示两个平行轴，其中一轴通过刚体质心，另一轴 为与质心轴平行的任意轴。
r r
r R/3
J A J A1 J A2 A 1 3 J A1 m1 R 2 m1 R 2 m1 R 2 2 2 1 J A2 m2 r 2 m2 ( R 2 r 2 ) 2 7 m2 R 2 6 3 7 J A m1 R 2 m2 R 2 2 6 9 m1 m2 m m1 m m2 m1 / 9 8 3 7 74 2 2 J A m1 R m2 R mR 2 2 6 48
Part A 动量矩
2. 质点对固定轴的动量矩
z
A LO mv
定义
质点对固定轴的动量矩定 义为：质点动量mv 在Oxy平面 内的投影(mv)xy对于点O的矩。
O r
v j M
Lz M z (mv) 2 AOM ' A'
y
A'
(mv)xy
x
M'
对于固定轴z的动量矩是代 数量，其正负号的规定按照右 手定则确定。（类似于空间力 对轴的矩的正负号规定） (LO ) z Lz
d Lz M z ( F ) dt
Part C 动量矩定理
2. 质点的动量矩守恒
若
MO ( F ) 0 或 M z ( F ) 0
d LO M O ( F ) 根据动量矩定理 dt M O (mv ) 为常矢量 则
M z (mv )
d Lz M z ( F ) dt
为常数
称为质点的动量矩守恒.
W
g j j 0 sin( t ) l
Part C 动量矩定理
3. 质点系的动量矩定理 质点系中一个质点的动量矩定理: 对于整个质点系:
d LOi M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) dt
d LOi M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) dt
(LO ) x Lx
Part A 动量矩
4. 刚体的动量矩
平移刚体对定点的动量矩:
LO MO mi vi ri mi vi mi ri vC mrC vC rC mvC
平移刚体对定轴的动量矩:
Lz M z mvC
刚体平移时，可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质 点来计算其动量矩。
M O r
绳子无滑动。计算重物 A 的加 速度
m1 A m2 B
Part C 动量矩定理
[解]
a w
Foy M r
分析作用在系统上的力以及各个运动量
O
Mg
Fox
a
m1 A m2
W1
d LO M O ( Fi e ) dt 计算系统对垂直于平面通过点O的轴的 动量矩 1 LO1 J Ow Mr 2w 轮子: 2 物块 A: LO2 m1v1r m1w r 2