人教版九年级数学上册第二十三章《图形的旋转》学案

第二十三章旋转
测试 1图形的旋转
学习要求
1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．
2．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．
课堂学习检测
一、填空题
1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O 叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．2．如果图形上的点P 经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______ ．
3．如图，△ AOB 旋转到△ A′OB ′的位置．若∠ AOA′=90 °，则旋转中心是点______．旋转角是 ______ ．点 A 的对应点是 ______．线段 AB 的对应线段是 ______ ．∠ B 的对应角
是 ______．∠ BOB′ =______．
3题图
4 ．如图，△ABC 绕着点O 旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______ ．旋转角是
______． AO=______， AB=______，∠ ACB=∠______ ．
4题图
5．如图，正三角形ABC 绕其中心O 至少旋转 ______度，可与其自身重合．
5 题图
6．一个平行四边形ABCD ，如果绕其对角线的交点O 旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．
7．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋
转轴的轴心，经过45 分钟旋转了 ______度．
8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．
二、选择题
9．下图中，不是旋转对称图形的是()．
10．有下列四个说法，其中正确说法的个数是()．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋
转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相
等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
11．如图，把菱形ABOC 绕点 O 顺时针旋转得到菱形DFOE ，则下列角中不是旋转角的为()．
A ．∠ BOF C．∠ COE
B ．∠ AOD D ．∠ COF
12．如图，若正方形
中心的点共有(DCEF 旋转后能与正方形
) 个．
ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转
A ． 1
B ． 2
C．3 D ． 4
13．下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合 ?()．
A ．①、④、⑤C．②、③、⑤
B ．①、③、⑤
D ．②、④、⑤综合、运用、诊断
14．如图，六角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?
15．如图，五角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?
16．已知：如图，四边形ABCD 及一点 P．
求作：四边形 A′ B′ C′D ′，使得它是由四边形ABCD绕 P 点顺时针旋转150°得到的．
17．如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB 成 30°角， OB 与小圆交于 C 点，若把△ ABC 每次绕 O 点逆时针旋转 30°，试画出所得的图形．
拓广、探究、思考
18．已知：如图，当半径为30cm 的转动轮按顺时针方向转过 120°角时，传送带上的物体 A 向哪个方向移动 ?移动的距离是多少 ?
19．已知：如图，F 是正方形 ABCD 中 BC 边上一点，延长 AB 到 E，使得 BE=BF，试用旋转的性质说明： AF=CE 且 AF⊥ CE．
20．已知：如图，若线段CD 是由线段AB 经过旋转变换得到的．
求作：旋转中心O 点．
21．已知：如图，P 为等边△ ABC 内一点，∠ APB=113 °，∠ APC=123°，试说明：以 AP、BP、CP 为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．
测试 2中心对称
学习要求
1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的
中心对称图形．
2．理解中心对称图形．
3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．
4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于
中心的 ______ ．
2．关于中心对称的两个图形的性质是：
(1) 关于中心对称的两个图形，对称点所连______ 都经过______ ，而且被对称中心所
______．
(2)关于中心对称的两个图形是______．
3．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的图形
______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．
4．线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．
5．平行四边形是______图形，它的对称中心是____________ ．
6．圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．
7．若线段AB、CD 关于点 P 成中心对称，则线段AB、 CD 的关系是 ______．
8．如图，若四边形ABCD 与四边形 CEFG 成中心对称，则它们的对称中心是______，点 A 的对称点是 ______， E 的对称点是 ______． BD∥ ______且 BD =______．连结 A，F 的线段经过 ______ ，且被 C 点 ______，△ ABD≌ ______．
8题图
9．若 O 点是□ABCD 对角线 AC、BD 的交点，过O 点作直线l 交 AD 于 E，交 BC 于 F．则线段 OF 与 OE 的关系是 ______ ，梯形 ABFE 与梯形 CDEF 是 ______图形．
二、选择题
10．下列图形中，不是中心对称图形的是 ()．
．．
A ．圆B．菱形C．矩形 D ．等边三角形
11．以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()．
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个12．下列图形中，是中心对称图形的有() ．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个13．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是()．
综合、运用、诊断
14．如图，已知四边形ABCD 及点 O．
求作：四边形 A′ B′ C′ D′，使得四边形 A′ B′ C′ D′与四边形 ABCD 关于 O 点中心
对称．
15．已知：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 成中心对称，试画出它们的对称中心，并
简要说明理由．
16．如下图，图(1) 和图 (2)是中心对称图形，仿照(1)和 (2) ，完成(3) ， (4) ， (5) ， (6)的中心对称图形．
17．如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹．
18．已知：三点A(－1， 1)， B(－ 3，2)， C(－ 4，－ 1)．
(1)作出与△ ABC 关于原点对称的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标；
(2)作出与△ ABC 关于 P(1，－ 2)点对称的△ A2B2C2，并写出各顶点的坐标．
拓广、探究、思考
19． (1) 到目前为止，已研究的图形变换有哪几种?这些变换的共同性质有哪些 ?
(2)如图， O 是正六边形 ABCDEF 的中心，图中可由△ OBC 旋转得到的三角形有 a 个，
可由△ OBC 平移得到的三角形有 b 个，可由△ OBC 轴对称得到的三角形有 c 个，试求 (a＋ b＋ c) a＋b－c的值．
20．已知：直线 l 的解析式为 y=2x＋ 3，若先作直线 l 关于原点的对称直线l 1，再作直线 l 1关于 y 轴的对称直线l2，最后将直线 l 2沿 y 轴向上平移 4 个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式．
21．如图，将给出的 4 张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的 1 张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的 1 张牌是哪一张吗?为什么 ?
科学家名言
对称性原理在探索自然奥秘中所起的作用，无论怎么强调也不会过分的。

因为物理学家
发现，一个对称规律打破后，会出现更高一级的对称。

——杨振宁
测试 3旋转的综合训练
一、填空题
1．如图，用等腰直角三角板画∠处后绕点M 按逆时针方向旋转AOB=45°，并将三角板沿OB
22°，则三角板的斜边与射线
方向平移到如图所示的虚线
OA 的夹角为______°．
1 题图
2．如图，把边长为 1 的正方形则它们的公共部分的面积等于ABCD 绕顶点
______．
A 逆时针旋转30°到正方形A′B′ C′ D ′，
2题图
3．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为 (1 ，0)，将点P0绕着原点O 按逆时针方向旋转 60°得到 P1，延长 OP1到点 P2，使 OP2=2OP1，再将点 P2绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°，得点 P3，则 P3的坐标是 ______．
4．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ B=90 °， AD =3， BC=5，AB=1，把线段 CD 绕点
D 逆时针旋转 90°到 D
E 位置，连结 AE，则 AE 的长为 ______．
5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边4 题图
AB 为边作等边△ABD，连结DC ，以DC为边作
等边△ DCE ，B，E 在 C，D的同侧．若AB2, 则BE =______．
6．如图，已知 D ，E 分别是正三角形的边则∠ BPD ______°．5 题图
BC 和CA上的点，且AE =CD，AD与 BE交于P，6 题图
二、选择题
7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()．
A ．等边三角形
B ．菱形
C．等腰梯形 D ．平行四边形
8．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合 ?甲同学说： 45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是()．
8 题图
A ．甲B．乙
C．丙 D ．丁
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△ DEF 为等边三角形，AB =DE，点B，C，D在x 轴上，点A， E， F 在 y 轴上，下面判断正确的是()．
A ．△ DEF 是△ ABC 绕点 O 顺时针旋转90°得到的
B ．△ DEF 是△ AB
C 绕点 O 逆时针旋转90°得到的
C．△ DEF 是△ ABC 绕点 O 顺时针旋转60°得到的
D ．△ DEF 是△ ABC 绕点 O 顺时针旋转120°得到的
10．以下图的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是()．
三、解答题
11．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ D=60 °，∠ B=30 °， AD=CD ．
222
12．已知：如图， E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点， F 是边 AD 上的点，且FB 平分∠ABE．
求证： BE=AF ＋ CE．
13．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ B＋∠ D=180°， AB=AD，E， F 分别是线段 BC， CD 上的点，且 BE＋ FD =EF ．
1
求证：EAF BAD.
2
14．已知：如图，Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°， D 为 AB 中点， DE 、DF 分别交 AC 于 E，交 BC 于 F，且 DE⊥DF．
(1)如果 CA=CB，求证： AE2＋ BF 2=EF2；
(2)如果 CA＜ CB， (1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案与提示
第二十三章旋转
测试 1
1．一点 O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角．
2．对应点．
3． O，90°，A点，A B，∠B，∠ AO A＝ 90°．
4． O 点，∠ DOA 或∠ FOC 或∠ EOB， DO， DE，∠ DFE ．
5． 120．
6． 180．
7． 270．
8．距离，旋转角，全等．
9． B ．10． D．11． D．12．C．13． A．
14．答案不唯一，如可看成正△ACE 绕其中心旋转60°得到的．
15．可看成四边形AFOJ 绕 O 点每次旋转72°，共旋转了四次得到的．
16．略．
17．略．
18．物体 A 向右平移，移动的距离是20cm．
19．△CBE 可看成由△ ABF 按顺时针旋转90°得到的，所以△ CBE≌△ ABF ，并且 CE＝ AF，AF⊥ CE．
20．分两类： (1)A 与 C 是对应点．(2)B 与 C 是对应点，对 (1) 的作法：
(1)连结 AC，作线段 AC 的垂直平分线l1；
(2)连结 BD，作线段 BD 的垂直平分线l 2，与 l 1交于 O 点，则 O 点为所求．
同理可作出 (2) 的 O′选点．
21．提示：如图1，以 C 为旋转中心，将△ APC 绕 C 点逆时针旋转60°得到△ BDC，易证
△PCD 为等边三角形，△ PBD 是以 BP，AP(＝ BD)，CP(＝ PD )为三边的三角形．∠ PBD
＝53°，∠ BPD ＝ 64°，∠ PDB ＝ 63°．
图 1
测试 2
1． 180°，重合，对称中心，对称点．
2． (1) 线段，对称中心，平分；(2)全等图形．
3． 180°，重合，对称中心．
4．中心对称，它的中点．
5．中心对称，它的两条对角线的交点．
6．中心对称，它的圆心．
7． AB＝ CD 且 AB∥ CD 或 AB 与 CD 共线．
FGE ．
8． C 点，点 F，D 点， EG， EG， C 点，平分，△
9． OF ＝ OE，全等．
10． D．11． B．12． C．13． C．
14．略．
15．作法：分别连结CG、 BF，则它们的交点O 为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、 BF 两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．
16．略．
17．
18． (1)A1(1，－ 1)、 B1(3，－ 2) 、C1(4， 1)．
(2)A2(3，－ 5)、 B2(5，－ 6)、 C2(6，－ 3)．
19． (1)平移变换、轴对称变换、旋转变换．一个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和大小都不会改变．即所得的图形与原图形全等．
(2)a＝ 5， b＝2， c＝ 5， (a＋b＋ c)a＋b－c＝ 122＝144．
20． l 1∶ y＝ 2x－ 3， l 2∶ y＝－ 2x－ 3，l 3∶ y＝－ 2x＋ 1．
21．第 2 张，是中心对称图形．
测试 3
3
1． 22．2．3
3．( 1, 3)
4．2 5.5． 1 6． 60．
7．B． 8．B． 9． A． 10．A．
11．提示：如图，以BC 为边向形外作等边△BCE，连结 AC， AE．可证△ BCD ≌△ ECA ，AE＝ BD ，∠ ABE＝ 90°，在 Rt△ ABE 中，有 AB2＋ BE2＝ AE 2，即 AB2＋ BC2＝ BD2．
11题图
12．提示：如图，延长 EC 到 M，使 CM＝ AF ，连结 BM ．易证△ AFB ≌△ CMB ，∠ 4＝∠M ．又 AD∥ BC，
∴ 4＝∠ 2＋∠ 5＝∠ 1＋∠ 5＝∠ 3＋∠ 5． ∴∠ M ＝∠ EBM ．
∴ BE ＝ EM ＝AF ＋CE ．
12 题图
13．提示：延长 FD 到 H ，使 DH ＝ BE ，易证△ ABE ≌△ ADH ．再证△ AEF ≌△ AHF ．
EAF
1
EAH
1
FAH
BAD.
2 2
14．提示：如图，
(1)连结 CD ，证△ CDE ≌△ BDF ．CE ＝BF ． ∵ CA ＝ CB ， ∴ AE ＝ CF ．
在 Rt △CEF 中， CE 2＋ CF 2＝ EF 2，∴ AE 2＋ BF 2 ＝EF 2．
(2)延长 FD 到 M ，使 DM ＝ DF ，连结 AM 、 EM ，先证△ BFD ≌△ AMD ．∴ AM ＝ BF ，
∠ DAM ＝∠ B ，再证 EM ＝ EF ．
14 题图
第二十三章
旋转全章测试
一、填空题
1．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中， BC ⊥ EC ，它们的边长为
10cm ．
1 题图
(1)正方形 ABCD 可看成是由正方形 CEFG 向 ______平移 ______cm 得到的．
(2)正方形 ABCD 又可看成是由正方形
CEFG 绕______ 点，旋转 ______角得到的， 并且它
们成 ______对称，对称中心是 ______．
2．图形的旋转是由 ______和 ______决定的，图形在旋转过程中，它的
______和 ______都不
会发生变化．
3．如图，若△ ABD 绕 A 点逆时针方向旋转60°得到△ ACE，则旋转中心是______，旋转角度是 ______，△ ABC 和△ ADE 都是 ______．
3题图
4．如图，若 O 是正方形ABCD 的中心，直角∠MON 绕 O 点旋转，则∠ MON 与正方形围成的四边形的面积是正方形ABCD 面积的 ______．
4题图
5．如图，当△AED 绕正方形ABCD 的顶点 D 旋转到与△ DCF 重合时，∠ DEF 的度数为
______．
5题图
6．若点 A(2m－ 1， 2n＋ 3)与 B(2－ m， 2－ n)关于原点 O 对称，则m＝______且 n＝ ______．
二、选择题
7．如图，四边形ABCD 是中心对称图形，对称中心为点
交于 E， F ，则图中相等的线段有()．
O，过点O 的直线与AD ，BC 分别
A．3 对C．5 对B．4 对D．6 对
8．下列关于旋转的说法不正确的是()．
A．旋转中心在旋转过程中保持不动
B．旋转中心可以是图形上的一点，也可以是图形外的一点C．旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D．旋转由旋转中心所决定
9．下列说法正确的是()．
A．中心对称图形是旋转对称图形
B．旋转对称图形是中心对称图形
C．轴对称图形是旋转对称图形
D．轴对称图形是中心对称图形
10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
三、解答题
11．如图，把一个直角三角尺ACB 绕着 30°角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合．
(1)三角尺旋转了多少度?
(2)连结 CD，试判断△ CBD 的形状；
(3)求∠ BDC 的度数．
12．已知：两点A(－2， 1)， B(－ 3，0)．
(1)把△ ABO 绕 O 点顺时针旋转90°，得到△ A1B1O，求 A1， B1点的坐标；
(2)把△ A1B1O 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到△ A2B2C，求 A2，B2， C 点的坐标；
(3)作△ A2B2C 关于原点O 的对称图形，得到△A3B3D，求 A3， B3， D 点的坐标．
13．已知：反比例函数
6 y
x
(1)若将反比例函数y 6
O 旋转 90°，求所得到的双曲线 C 的解析式的图象绕原点
x
并画图；
(2)双曲线 C 上是否存在到原点O 距离为13 的点 P，若存在，求出点P 的坐标．
14．已知：如图， P 是正方形ABCD 内一点，∠APB135 , BP 1, AP7. 求PC的长．
答案与提示
第二十三章 旋转全章测试
1． (1) 左， 10 2. (2) C ， 180°，中心， C 点．
2．旋转中心，旋转角，形状、大小． 3． A 点， 60°，正三角形．
4．
1
5． 45°． 6．－ 1， － 5．
4
7． C ． 8． D ． 9．A ． 10． B ．
11． (1)150 °； (2)等腰三角形； (3)15 °．
12． (1)A 1(1， 2)， B 1(0， 3)；
(2)A 2(3， 2)， B 2(2， 3)， C(2， 0)；
(3)A 3(－ 3，－ 2)， B 2 (－2，－ 3)， D(－ 2， 0)．
13． (1) y 6
;
x
(2)P 1(2， 3)， P 2(3， 2)， P 3 (－ 2，－ 3)， P 4(－ 3，－ 2)．
14． PC ＝ 3．提示：将△ ABP 绕 B 点顺时针旋转
90°，这时 A 点与 C 点重合， P 点的对应
点是 P ，连结 PP ′，则△ ABP ≌△ CBP ′，△ PBP ′为等腰直角三角形，∠
PP ′C ＝
90°， PCPP'2 P' C 2 ( 2)2 ( 7)2
3.。