2021年大学基础课概率论与数理统计期末考试题及答案(精华版)

2021年大学基础课概率论与数理统计期末考试题及答案（精华版）
一、单选题 1、
1X ,
2
X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是
A ）21X X = Ｂ）1
}{21==X X P C ）
2
1}{21=
=X X P Ｄ）以上都不正确
【答案】C
2、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ
且Y X ,相互独立，则
A ） 9/1,9/2==βα
B ） 9/2,9/1==βα
C ） 6/1,6/1==βα
D ） 18/1,15/8==βα 【答案】A
3、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用
（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2
χ检验法 【答案】B
4、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）
21()1F x x =+
B ） x
x F arctan 1
21)(π+=
C ）=)(x F 1(1),020,0x
e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F x
f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞
-∞=⎰
【答案】B
5、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C
6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有
A ）
()1()a f a f x dx
-=-⎰
B ） 01
()()2a F a f x dx -=-⎰
C ）)()(a F a F -=
D ） 1)(2)(-=-a F a F 【答案】B
7、设总体),(~2
σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n
i i X X n 1
2)(1是（ ）
)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计
【答案】D
8、已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨
<⎩
(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}（a>0）的值
A ）与a 无关，随λ的增大而增大
B ）与a 无关，随λ的增大而减小
C ）与λ无关，随a 的增大而增大
D ）与λ无关，随a 的增大而减小 【答案】C
9、设n X X X ,,21为来自正态总体),(2
σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记21
2
1
)(11X X n S n
i i --=∑=，2122
)(1X X n S n i i -=∑=，21
2
3)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224
1
1()n
i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是
A) 1
/1--=n S X t μ B) 1
/2--=
n S X t μ C) n
S X t /3μ-=
D) n
S X t /4μ-=
【答案】B
10、设是未知参数的一个估计量，若，则是的___ _____
(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计 【答案】D 二、填空题
ˆθθˆE θθ≠ˆ
θθ
1、用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 【答案】F (a,b)
2、设总体X ～2(,)N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，
则D （X ）＝________________________。

【答案】n
2σ
3、设
，，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设
为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则服从的分布是 。

【答案】
4、设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。

【答案】12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅
5、若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 【答案】4/5
6、设样本的频数分布为
则样本方差2s =_____________________。

【答案】2 7、设
，，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设
为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则服从的分布是 。

【答案】
8、测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是 【答案】2
2
~(,)
X X X N μσ2
~(,)Y Y Y N μσX Y 1
,,m
X X X 1,,n
Y Y Y 2X S 2Y S 22
22//X X
Y Y S S σσ(,)F m n 2
~(,)
X X X N μσ2
~(,)Y Y Y N μσX Y 1
,,m
X X X 1,,n
Y Y Y 2X S 2Y S 22
22//X X
Y
Y S S σσ(,)F m n
9、设11m i i X X m ==∑和1
1n
i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值，参数1μ，2μ未知，
两正态总体相互独立，欲检验22
012:H σσ= ，应用 检验法，其检验统计量是 。

【答案】F ，21
2
1(1)()(1)()
m
i i n
i i n X X F m Y Y ==--=
--∑∑
10、设
1234
,,,X X X X 是来自正态总体2
(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C =
时CY ～2
(2)χ。

【答案】1/8
三、解答题(难度：中等)
1、在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α，若以n X 表示
n 次称量结果的算术平均值，为使()
0.10.95n P X a -<≥成立，求n 的最小值应不小于的自然数？
【答案】16
2、设随机变量X 的密度函数为()x
f x Ae -= ()x -∞<<+∞,
求 (1）系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。

【答案】（1）A ＝1/2 ， （2）11(1)2e -- ， （3）1,02
()11,02
x
x e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
3、一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。

现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 【答案】取出产品是B 厂生产的可能性大。

4、10分）设总体在上服从均匀分布，为其一个
样本，设
X ),0(θ)0(>θn X X ,,1 }
,,max{1)(n n X X X =
(1)
的概率密度函数
(2)求
【答案】解：(1)由公式可得
的概率密度函数 （5分） 即 （2分）
(2)
（3分）
5、设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：f (x ,y)=,0x 1,0y x
0,k <<<<⎧⎨⎩
其他
求：① 常数k ， ② ()E XY 及()D XY 【答案】k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144
6、某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。

现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900=x ，样本均方差为22=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（05.0=α）
（488.2715262.6)15(2
025
.02975.0==）（，χχ）（8分） 【答案】解：统计量为：
)1(~)1(22
2
--n X S n σ
0H ：22024==σσ，1H ：202σσ≠
16=n ，22=S ，224=σ代入统计量得
875.116
2
15=⨯ 262.6)15(875.12
975.0=<χ
所以0H 不成立，即其方差有变化。

7、（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间（秒）和 腐蚀深度（毫米）的数据见下表：
5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 4
6 8 13 16 1
7 19 25 25 29 46
)
(n X ()
n p x ()[]
n E X )(n X 11
()01()0 , n n x n x p x θθ
-⎧•⎪=⎨⎪⎩，　
＜＜　其它1
01()0 , n n n n x x p x θ
-⎧⎪=⎨⎪⎩，　
＜＜　其它1
1
1()0
[]()1n n n n
n
n
E X x p x dx x x dx n θ
θ-=•=•
=
+⎰⎰X Y X Y
假设与之间符合一元线回归模型
（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平下，检验
【答案】解：(1)解：根据公式可得
其中 （2分）
（1分）
（1分）
用上述公式求得 （2分）
即得线性回方程为
(2)，
（1分）
检验假设
（1分）
的检验统计量为
（1分）
的临界值
（1分）
由前面的计算可知
（1分）
所以在显著性水平下，拒绝原假设，认为。

（1分）
Y X 01Y X ββε
=++0.01α=01:0
H β=01
ˆˆY X ββ=+011
ˆˆˆXY
XX l l
Y X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩22
2
22
111
11()()n n n
n
XX
i
i i
i i i i i l X nX X X X X n =====-=-=-∑∑∑∑11111
1()()()()
n
n
n
n
n
XY
i i i i i i i i i i i i i l X Y nXY X X Y Y X Y X Y n ======-=--=-∑∑∑∑∑01ˆ 4.375ˆ0.323ββ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ˆ
4.3750.323Y X =+11
2
1()1464.531
T i i S y y ==-=∑11
21
ˆ()1418.8744R i i S y
y ==-=∑45.6565
E T R S S S =-=0111:0,:0
H H ββ=≠0
H 1(1,2)
/(2)
R
E S
F F n S n α-=
--0
H 10.01(1,2)(1,9)10.6
F n F α--==1279.67910.6(1,2)
/(2)
R
E S
F F n S n α-=
=>=--0.01α=10
β≠。