四年级数学专题讲义第八讲 数数与计数

第九讲几何计数
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.
〖经典例题〗
例1、数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？
分析：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条．
由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条．
由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条．
由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．
例2、数出右图中总共有多少个角.
分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠
AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共
有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2
个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.
例3、用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形
的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？
分析：注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角
形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根
火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三
层用了3×3=9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．
例4、数一数，右下图中共有多少条线段？
分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”
和“集体”。

这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD
（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：“个人”：AC、BD ，2个；“集体1”：BC、BO、CO ；“集体2”：AD、AO、DO，所以共有8条线段。

〖方法总结〗
从这道例题中我发现了下面这个结论：
如果一条直线上有n个点，那么线段的条数为：
(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n× (n-1)÷2 (条).也可以说成“点数×线段数÷2”.
数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.
〖巩固练习〗
练习1：有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可
以画出几条不同长度的线段？
分析：把“0”“1”“4”“6”看成4个点；0～1：1厘米； 0～4：4厘米； 0～6：6厘米； 1～4：3厘米； 1～6：5厘米； 4～6：2厘米。

共6种不同长度的线段。

练习2：如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
分析:可以采用类似
例1数线段的两种方法来数，如图（2）：
第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：
△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.
再数以AD为一条边的三角形共有：
△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.
以AE为一条边的三角形共有：
△AEF、△AEC二个三角形.
最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.
所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.
第二种方法：先数图中小三角形共有：
△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.
再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，
以三个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABF、△ADC二个三角形，
最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.
所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.
练习3：数一数，右图中共有多少条线段？
分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。

“个人”：5条；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体，所以共5×（3+2+1）+5=35（条）。

练习4：数一数，右图中共有线段多少条？
观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.
含4个交点的集体：AG、AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)；
含3个交点的集体：EF，CD，BC，AC中共有线段：(2+1)×4=12(条)；
所以总共有线段：12+12=24(条)．
练习5：右图中共有多少个圆 ? 把紧挨在一起的两个
圆称为一对，例如圆A、B、C可以看成3对(分别是A与B，
B与C，C与A)，图中这样的圆对共有多少对？
分析：其实此题就是附加4题的变形，我们不妨添加
一些辅助线，如右下图所示，显然“圆对”数就是基本线
段的数目：（1+2+3+4+5）×3=45（个）.
〖经典例题〗
例5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析：仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出
的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角
形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问
题了.FG上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；AE上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；所以共有：10+10=20（个）三角形.
例6、右图中有多少个三角形？
分析：边长为1的正三角形，有16个；边长为2的正三角
形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个；共22个.
例7、数一数，右图中三角形共多少个？
分析：（按形状分类）类似于△ABH的三角形共有6个；类似
于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类
似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于
是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．
例8、如右图，数一数图中三角形的个数.
分析:这样的图形只能分类数，可以从边长为一条基本线段的最小三角形开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
W①上=1+2+3+4=10（个）.
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.
Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.
Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.
所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.
Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：W①下=1+2+3+4=10 W②上=1+2+3=6
W③上=1+2=3 W④上=1
所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：
W①下=1+2+3=6 W②下=1 W③下=0 W④下=0
则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）
所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：20+7=27（个）.
〖方法总结〗
例8的结论：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.
〖巩固练习〗
练习1：如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.
②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.
练习2：数一数，右图中共有多少个三角形?
分析：（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三
角形的三角形有6个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；
恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三
角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个。

图中共有三角形：6+3+6+1=16(个)。

练习3：数一数，右图中共有多少个三角形?
分析：（按大小分类）图中共有44个三角形。

其中最大的2
个、次大的6个、次小的12个、最小的24个。

练习4：数一数图中有多少个三角形.
Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：
（1）W①上=8+7+6+5+4=30
（2）W②上=7+6+5+4=22
（3）W③上=6+5+4=15
（4）W④上=5+4=9
（5）W⑤上=4
∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：
（1）W①下=3+4+5+6+7=25
（2）W②下=2+3+4+5=14
（3）W③下=1+2+3=6
（4）W④下=1
尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）.
∴所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=126（个）.
〖经典例题〗
例9、数一数，各图中长方形的个数?
分析：因为长方形是由长和宽两个因素确定的，所以数长方形的个数与数线段的条数也有着密切的联系．可以这样思考：先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．
先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段(想一想：为什么) ，其中的每一条都可与线段AD对应，唯一确定一个长方形，所以图(1)中共有(10×1)= 10个长方形．
再来看图(2)，与图(1)不同的是，在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有(10×3)= 30个长方形．
最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有(3+2+1) =6条线段，所以图(3)中共有(10×6)= 60个长方形．
(1)（4+3+2+1)×1=10 (个) ；
(2)(4+3+2+1)×(2+1)= 30(个) ；
(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)= 60(个) ．
例10、练习1：带*的长方形有多少个？
分析：长中带*的线段有8条，宽中带*的线段有
6条，长方形是由长和宽两个因素确定的，所以带*
的长方形有8×6=48个.
〖方法总结〗
我们可以得出计数与上题类似的图形中的长方
形的一般方法：当一条边上含有n条基本线段，另一边含有m条基本线段时，长方形的总数为： (n+…+3+2+1)×(m+…+3+2+1)。

如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：
nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．
〖巩固练习〗
练习1：数一数（1）图中有多少个平行四边形？（2）图中有多少个梯形？
分析：（1）含（3+2+1）×（3+2+1）=36（个）平行四边形.
（2）含（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）梯形.
练习2：右图中有多少个长方形？
分析：分类来数：以AB长为宽的长方形有：3+2+1=6（个）；
以AC长为宽的长方形有：3+2+1=6（个）；以BC长为宽的长
方形有：4+3+2+1=10（个）；所以共有长方形22个.
练习3：由35个单位小正方形组成的长方形中，如右图所示
有两个“★”．问：包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方
形(含正方形)共有多少个?
分析：含两个“★”在内的长有12条，宽有6条，那么共
有：12×6=72（个) 长方形.
练习4：如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边
形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干
个．那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？
分析：分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三
角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．
练习5：右图中各小格都是正方形，图
中共有多少个正方形？
分析：同学们都知道，正方形是长和宽
相等的长方形，所以数正方形时不能简单地
照搬计数长方形的方法．根据正方形的特点，
我们可以采用分类的方法来数正方形的个数．为了叙述的方便起见，我们把以一条基本线段的长度为边长的正方形称为基本正方形.
图中共有三类正方形，即基本正方形，由4个基本正方形组成的正方形和由9个基本正方形组成的正方形，我们分三类统计：
(1)基本正方形共有(9×3)= 27个；
(2)由4个基本正方形组成的正方形共有(8×2)= 16个；
(3)由9个基本正方形组成的正方形共有(7×1)= 7个．
所以，图中的正方形共有(27+16+7)= 50个．
练习6：下图中有多少个长方形？
〖经典例题〗
例11、数一数，下例各图中有多少个正方形？
分析：（1）数正方形要用分类的方法.
只含有1个基本正方形，也就是边长为1的正方形：3×3=9（个）；
含有4个基本正方形，也就是边长为2的正方形：2×2=4（个）；
含有9个基本正方形，也就是边长为3的正方形：1×1=1（个）.
共有3×3+2×2+1×1=14（个）.
（2）只含有1个基本正方形，也就是边长为1的正方形：4×4=16（个）；
含有4个基本正方形，也就是边长为2的正方形：3×3=9（个）；
含有9个基本正方形，也就是边长为3的正方形：2×2=4（个）；
含有16个基本正方形，也就是边长为4的正方形：1×1=1（个）。

共有4×4+3×3+2×2+1×1=30（个）
从上面两道题目你发现了什么规律吗？呵呵！要善于发现总结。

（3）依照规律可得：7×7+6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=140（个）.
例12、图中有______个正方形．
分析：5×5的正方形1个；4×4的正方形4个；3×3的正方形
5个；2×2的正方形4个；1×1的正方形13个，共27个.
〖方法总结〗
一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=2n（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=2
n-（个）…；边长为（n-1）个长度单位
(1)
的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：2222
++++（个）.
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〖巩固练习〗
练习1：下图中有多少个正方形？
练习2：下图中有多少个正方形？
〖课后作业〗
1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？
分析：可画出1～9长度的线段。

2．数数右图中有多少条线段？
分析：“个人”：AB，1条；
含3个交点的集体：BD、FD、BC中共有线段：(2+1)×3=9(条)；
含4个交点的集体：AC中有线段：3+2+1=6(条)；
所以总共有线段：1+9+6=16(条)．
3．如右图，数数有多少个三角形？
分析：（按边长分类）从上到下分成最基本的4层，共有小三角
1+3+5+7=16（个）；两层一结合，有次大三角形1+2+4=7（个）；三层一结合，有较大三角形1+2=3（个）；四层一结合，有最大三角形1个，所以共16+7+3+1=27（个）。

这个方法其实就是将三角形按边长来分类数，只不过更加强调计数时在层与层之间有序的考虑.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.
4．数一数下图中有多少个正方形？
分析：5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=55（个）。

5．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？
分析：长方形有150个，带小花的长方形有54个.
6.数一数，右图中共有多少个正方形?
分析：我们可以根据组成正方形的小三角形的个数来分类数图形：
由2个小三角形组成的正方形有4个；由4个小三角形组成的正方
形有4个；由8个小三角形组成的正方形有1个；由16个小三角形组成的正方形有1个。

这样，一共有正方形4+4+1+1=10(个)。

7．（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，下图中长方形共有 ___个
分析：“单独的”小长方形有6个；
“含有2个小长方形”的长方形有4个；
“含有3个小长方形”的长方表有2个；
“含有4个小长方形”的长方形有1个；
“含有5个小长方形”的长方形有2个；
“含有6个小长方形”的长方形有1个；
故共有6+4+2+1+2+1=16(个)．。