(公开课)《数列的概念与简单表示法》课件资料30页PPT
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1、 写出下列数列的一个通项公式： （1）1，－1，1，－1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
1
3
2
4
2.5
5
4
6
4.5
7
n
an
1
a1
2
a2
3
a3
4
a4
5
a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
28
29
谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
24
三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
每个格子里的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64 格子
1200 22 1 2 2 2 3 2 63
?18446744073709551615 3
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1,
3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
提问：这些数有什么规律吗？
16, ……
4
21
5 作出常数列4,4,4,4， 的图像
4
3
2 作出摆动数列-1,1，-1,1 的图像
1
0
1
2
3
4
5
-1 22
例1 设数列 an 满足 1 an n 写出这个数列的前五项。
例3 设数列 an 满足
an
a1 1 1 1
an1
(n 1)
写出这个数列的前五项。
（2） 1
1
1 2 ， 2 3，
1
1
3 4， 4 5。
2.若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且
n∈N*)，则a17＝( )
A．11 C. 2
B．2
D．2 2 9 7
27
2、 填空题
（ 4） 已知数列 { a n }的通项公式
an
n
n
1
,
则它的第 5项 a 5 _______;
三基能力强化
3．若数列的前四项分别为2,0,2,0，
则此数列的通项公式不能是D( )
A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ C．an＝2sin2n2π D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
20
18
16
14
an n(n1)的 图 象
12
10
8
是些孤立点
6 4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
例1 根据下面数列a n 的通项公式，
写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an1nn
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2，
3，4，5，得到数列 a n 的前5项为
1, 2, 3, 4, 5. 23456
（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，
5，那么数列 a的n 前5项为
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
2
1 ， 2， 3 ， 4， 35
－1
1
(n为奇数) (n为偶数)
，有的数列没有
通项公式．
18
三基能力强化
1．数列13，14，15，…，n1，…中第
10 项是( D)
1
1
A.10
B.8
C.111
D.112
2．已知数列{an}的通项公式是 an＝
3n2＋n 1，那么这个数列是( A)
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
16
练习：观察下面数列的特点，用适当的数填空，
并写出每个数列的一个通项公式：
(1 )2 ,4 ,(8)1 , ,6 3,2 (64)1 , 2 an8 2n,nN
(2 )1()4 ,,9 ,1,2 6,( 5 36)4 , a9 nn2,nN
(3)-11 ,,(- 1
1 11 ), ,- , ,(-
的2倍减去1，所以通项公式是：
n121 nn2
an
n1
n1
14
（3）
1, 1 ,1 , 1. 1223 3445
解：此数列的前4项的绝对值都等于序号
与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶
数项为正，所以通项公式是：
an
1n nn 1
15
思考题：
11
a11,
a2
, 2
a3
3
a4
1, 4
a5
1 5
a1 a3
a4
1, 1
1
a2 1
a2 1
a3
11 2,
3
a1 ,
2
5, 3
a5
8 5
23
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二 项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的 通项公式。
第1项 第2项第3项 第n项
1
a1 a2
120 ,221 ,
a
2
3 2
a n ,,2n1
2n1(nN*,n64)a n
2n1
2 3
1, 1 2
1, 2
, ,
1 33, , ,nn1 , {{nn1 }}((nn N N**,)nan 35)an1 n
答案：8
本节课学习的主要内容有：
1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质；
4、本节课的能力要求是： (1) 会由通项公式 求数列的任一项；
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。
26
1. 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数：
（1） 1， 3， 5， 7；
a 1 a 2 a 3 a n
1 120 ,221 , 22 ,,2n,1 ,263
1 2 1 ,2
1
,
3
,, n1
,
3 1, 2 , 3,,n,35,
4 - 1 , 1 ,- 1 , ,(- 1 ) n , 5 1 ,1 , 1 ,, 1 ,
如果数列 an 的第n项与项数之间的关系可以
－1，2， － 3，4， － 5.
13
例2. 写出数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都
是分母的平方减去1，所以通项公式是：an 2n1
（2） 221,321,421,521; 2345
解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号
各项依次叫做这个数列 有穷数列 递增数列
的第1项，第2项，······，2 1， 1， 1， 1，
第n项， ······
234
无穷数列 递减数列
数列的分类
3 1 ， 2， 3 ， 4， 35
(1)按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
有穷数列 递增数列
4 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
3
1 ， 1 ， 1 ， 1
4
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
共同特点：
1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序
6
定义：按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)
问1：数列 3 1，2 ， 3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63
三角形数：1，3，6，10，···
正方形数：1，4，9，16，···
1，2，3，4……的倒数排列成的一列数： 1，1，1，1， 234
高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：
1， 2， 3， 4， 35
1
)
23
4 56
7
an
(1)n
1,nN n
(4)1, 2,(3 )2 ,, 5,(6 ),7
an n,nN
17
基础知识梳理
数列的通项公式唯一吗？是否 每个数列都有通项公式？
【思考·提示】 不唯一，如数
列 － 1,1， － 1,1 ， …的 通 项 公 式 可
以 为 an ＝ ( － 1)n 或 an ＝
数列的概念及表示方法
1
8
7
6
5
64个格子 你想4得到
什么3 样的 OK
87
65 4 3 2
赏赐2 ？
1
陛下，赏小
1
。 人就一请请子请依子可请子在在放在次些放在放以第第8类第4第颗麦1二四颗推三颗一麦个个…麦粒个麦个粒…格格粒格粒格
子放4个格子
6
5
4
3
8 76
543
2
2 1 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
项数无限的数列叫无穷数列
无穷数列 常数列
(2)按项之间的大小关系： 5
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷数列 摆动数列
递增数列， 递减数列，
摆动数列， 常数列。 9
数列的一般形式可以 写成：a1， a2， a3， ， an ，
简记为 an
其中 a n 是数
列的第n项。
第1项 第2项 第3项 第n项
7
思考：数列与集合的概念有何区别
（1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素 不一定是数；
（2） 数列{an}中的数是有一定次序的，而集 合中的元素没有次序；
（3） 数列{an}中的数可以重复，而集合中的 元素不能重复。
8
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。
1 1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 263
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
1
3
2
4
2.5
5
4
6
4.5
7
n
an
1
a1
2
a2
3
a3
4
a4
5
a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
28
29
谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
24
三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
每个格子里的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64 格子
1200 22 1 2 2 2 3 2 63
?18446744073709551615 3
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1,
3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
提问：这些数有什么规律吗？
16, ……
4
21
5 作出常数列4,4,4,4， 的图像
4
3
2 作出摆动数列-1,1，-1,1 的图像
1
0
1
2
3
4
5
-1 22
例1 设数列 an 满足 1 an n 写出这个数列的前五项。
例3 设数列 an 满足
an
a1 1 1 1
an1
(n 1)
写出这个数列的前五项。
（2） 1
1
1 2 ， 2 3，
1
1
3 4， 4 5。
2.若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且
n∈N*)，则a17＝( )
A．11 C. 2
B．2
D．2 2 9 7
27
2、 填空题
（ 4） 已知数列 { a n }的通项公式
an
n
n
1
,
则它的第 5项 a 5 _______;
三基能力强化
3．若数列的前四项分别为2,0,2,0，
则此数列的通项公式不能是D( )
A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ C．an＝2sin2n2π D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
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18
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14
an n(n1)的 图 象
12
10
8
是些孤立点
6 4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
例1 根据下面数列a n 的通项公式，
写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an1nn
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2，
3，4，5，得到数列 a n 的前5项为
1, 2, 3, 4, 5. 23456
（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，
5，那么数列 a的n 前5项为
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
2
1 ， 2， 3 ， 4， 35
－1
1
(n为奇数) (n为偶数)
，有的数列没有
通项公式．
18
三基能力强化
1．数列13，14，15，…，n1，…中第
10 项是( D)
1
1
A.10
B.8
C.111
D.112
2．已知数列{an}的通项公式是 an＝
3n2＋n 1，那么这个数列是( A)
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
16
练习：观察下面数列的特点，用适当的数填空，
并写出每个数列的一个通项公式：
(1 )2 ,4 ,(8)1 , ,6 3,2 (64)1 , 2 an8 2n,nN
(2 )1()4 ,,9 ,1,2 6,( 5 36)4 , a9 nn2,nN
(3)-11 ,,(- 1
1 11 ), ,- , ,(-
的2倍减去1，所以通项公式是：
n121 nn2
an
n1
n1
14
（3）
1, 1 ,1 , 1. 1223 3445
解：此数列的前4项的绝对值都等于序号
与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶
数项为正，所以通项公式是：
an
1n nn 1
15
思考题：
11
a11,
a2
, 2
a3
3
a4
1, 4
a5
1 5
a1 a3
a4
1, 1
1
a2 1
a2 1
a3
11 2,
3
a1 ,
2
5, 3
a5
8 5
23
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二 项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的 通项公式。
第1项 第2项第3项 第n项
1
a1 a2
120 ,221 ,
a
2
3 2
a n ,,2n1
2n1(nN*,n64)a n
2n1
2 3
1, 1 2
1, 2
, ,
1 33, , ,nn1 , {{nn1 }}((nn N N**,)nan 35)an1 n
答案：8
本节课学习的主要内容有：
1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质；
4、本节课的能力要求是： (1) 会由通项公式 求数列的任一项；
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。
26
1. 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数：
（1） 1， 3， 5， 7；
a 1 a 2 a 3 a n
1 120 ,221 , 22 ,,2n,1 ,263
1 2 1 ,2
1
,
3
,, n1
,
3 1, 2 , 3,,n,35,
4 - 1 , 1 ,- 1 , ,(- 1 ) n , 5 1 ,1 , 1 ,, 1 ,
如果数列 an 的第n项与项数之间的关系可以
－1，2， － 3，4， － 5.
13
例2. 写出数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都
是分母的平方减去1，所以通项公式是：an 2n1
（2） 221,321,421,521; 2345
解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号
各项依次叫做这个数列 有穷数列 递增数列
的第1项，第2项，······，2 1， 1， 1， 1，
第n项， ······
234
无穷数列 递减数列
数列的分类
3 1 ， 2， 3 ， 4， 35
(1)按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
有穷数列 递增数列
4 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
3
1 ， 1 ， 1 ， 1
4
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
共同特点：
1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序
6
定义：按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)
问1：数列 3 1，2 ， 3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63
三角形数：1，3，6，10，···
正方形数：1，4，9，16，···
1，2，3，4……的倒数排列成的一列数： 1，1，1，1， 234
高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：
1， 2， 3， 4， 35
1
)
23
4 56
7
an
(1)n
1,nN n
(4)1, 2,(3 )2 ,, 5,(6 ),7
an n,nN
17
基础知识梳理
数列的通项公式唯一吗？是否 每个数列都有通项公式？
【思考·提示】 不唯一，如数
列 － 1,1， － 1,1 ， …的 通 项 公 式 可
以 为 an ＝ ( － 1)n 或 an ＝
数列的概念及表示方法
1
8
7
6
5
64个格子 你想4得到
什么3 样的 OK
87
65 4 3 2
赏赐2 ？
1
陛下，赏小
1
。 人就一请请子请依子可请子在在放在次些放在放以第第8类第4第颗麦1二四颗推三颗一麦个个…麦粒个麦个粒…格格粒格粒格
子放4个格子
6
5
4
3
8 76
543
2
2 1 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
项数无限的数列叫无穷数列
无穷数列 常数列
(2)按项之间的大小关系： 5
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷数列 摆动数列
递增数列， 递减数列，
摆动数列， 常数列。 9
数列的一般形式可以 写成：a1， a2， a3， ， an ，
简记为 an
其中 a n 是数
列的第n项。
第1项 第2项 第3项 第n项
7
思考：数列与集合的概念有何区别
（1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素 不一定是数；
（2） 数列{an}中的数是有一定次序的，而集 合中的元素没有次序；
（3） 数列{an}中的数可以重复，而集合中的 元素不能重复。
8
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。
1 1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 263