直线和圆的位置关系
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2
） 1 经过点（ − 5 （）经过点（， 5 3 2 经过点（ 15 10 （）经过点（ ，） 3 − （）斜率为 1
简单应用
y 1.如果实数 x , y满足x + y − 4 x + 1 = 0, 求 的最大值。 的最大值。 x
2 2
y
0
2
x
2. C , 已知圆 : ( x + 2)2 + y2 = 1, P( x, y)为圆上任意一点求 y−2 (1) ; 的最大值和最小值 x −1 (2) x − 2 y的最大值和最小值 .
圆心到直线的距离 d =
Aa + Bb + C A +B
2 2
d > r ⇔ 直线与圆相离； 直线与圆相离； d = r ⇔ 直线与圆相切； 直线与圆相切；
d < r ⇔ 直线与圆相交。 直线与圆相交。
例1 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = 2, 直线 y = x + b ,
为何值时， 两个公共点； 公共Fra bibliotek； 当b为何值时，圆与直线有 两个公共点；只有一个 公共点； 没有公共点。 没有公共点。
2 2 2
的切线方程。 求过圆上一点 M （ x 0 , y 0 )的切线方程。
y
P( x, y)
M（ M（x0 , y0 )
C
O
x
2
( x − a )( x0 − a ) + ( y − b )( y0 − b ) = r
练习1.写出过圆 x 2 + y 2 = 10上一点 M（2， 6 ） 的切线方程。 的切线方程。
3. 自点A(−3,3)发出的光线射到x轴上，被 轴反射， 轴上， x轴反射， l 相切， 其反射光线所在直线与 x2 + y2 − 4x − 4 y + 7 = 0相切， 圆 . l 求光线 所在直线的方程
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的 判断 代数法
联立， 直线 l的方程与圆的方程 C 联立，
消元后所得一元二次方 程的判别式 ∆ ：
直线与圆相离； 当∆ < 0时，直线与圆相离；
当∆ = 0时，直线与圆相切； 直线与圆相切；
直线与圆相交。 当∆ > 0时，直线与圆相交。
判断直线 Ax + By + C = 0与圆 x + y + Dx + Ey + F = 0的位置关系
直线与圆相切
例4.(1)已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 , 的切线方程。 求过圆上一点 M （ x 0 , y 0 )的切线方程。
y
P( x, y)
M（x0 , y0 ) （
O
x
x 0 x + y0 y = r
2
( 2 )已知圆的方程是（ x − a ) + ( y − b ) = r , 已知圆的方程是（
练习3.已知圆 C : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25, 直线 l : ( 2m + 1) x + ( m + 1) y − 7 m − 4 = 0( m ∈ R ). (1)求证 : 不论 m 取什么实数时，直线 l与圆 取什么实数时， 恒有交点 . ( 2)求直线 l被圆截得的线段的最短 长度以 及这时直线 l的方程 .
2 2
Ax + By + C = 0 可得： 可得： 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0
消y得：mx + nx + p = 0 得
2
直线与圆相离； ∆ < 0 ⇔ 直线与圆相离；
直线与圆相切； ∆ = 0 ⇔ 直线与圆相切；
直线与圆相交。 ∆ > 0 ⇔ 直线与圆相交。
又圆心在直线 x − 3 y = 0上，所以 a − 3 b = 0
圆心 C （ a , b ) 到直线 y = x 的距离为 d =
∴( a−b 3b − b + 7 = 9b 2 ) + ( 7) = r ⇒ 2 2
2 2 2 2
a−b 2
a1 = 3 a 2 = −3 解得 b1 = 1或 b2 = −1 r = 3 r = 3 1 2
(3)
方程（ ） 方程（3 的根的判别式 ∆ = 2b ) 2 − 4 × 2( b 2 − 2) （ = −4( b + 2)( b − 2)
方程（ ） 方程（3 的根的判别式 ∆ = 2b ) − 4 × 2( b − 2) （ = −4( b + 2)( b − 2)
2 2
数解， 当 ∆ > 0时， 2 < b < 2, 方程组有两组不同的实 数解， − 共点； 因此直线与圆有两个公 共点；
2 2
所截得的弦长
x + 2y = 0 2 解法1： 2 消x得 : y + 2 y − 3 = 0 2 x + y − 6 x − 2 y − 15 = 0
y1 + y2 = −2, y1 y2 = −3, y1 − y2 = ( y1 + y2 ) − 4 y1 y2 = 4
2
1 弦长 = 1 + 2 y1 − y2 = 1 + 4 × 4 = 4 5 k 圆心（ 1 ），半径 解法 2：圆心（ 3， ），半径 r = 5 , d = 5
关系： 练习1.求下列圆与直线的位置 关系：
(1)圆（ x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 = 6和直线 2 x + y − 5 = 0 ( 2 )圆 x 2 + y 2 − 8 x + 2 y − 8 = 0和直线 4 x − 3 y + 6 = 0 ( 3 )圆 x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0和直线 2 x − y + 5 = 0
直线与圆的位置关系的 判断
几何法
圆 C 的半径为 R ，圆心到直线的距离为 d :
当d > R时，直线与圆相离； 直线与圆相离；
直线与圆相切； 当d = R时，直线与圆相切；
直线与圆相交。 当d < R时，直线与圆相交。
判断直线 Ax + By + C = 0与圆 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2的位置关系
数解， 当 ∆ = 0时， b = 2或 b = −2, 方程组有两组相同的实 数解， 公共点； 因此直线与圆只有一个 公共点；
方程组没有实数解， 当 ∆ < 0时， b < −2或 b > 2, 方程组没有实数解， 因此直线与圆没有公共 点；
只有一个公共点、 解法2：圆与直线有两个公共 点、只有一个公共点、 无公共点的问题， 无公共点的问题，可以 转化为b取何值时圆心到直 线的距离小于半径、 于半径、 线的距离小于半径、等 于半径、大于半径的问 题。 b 0 圆心 O （0， 到直线 y = x + b的距离为 d = ） 2 圆的半径 r = 2
y
x − y −1 = 0
0
x
求弦长的方法： 求弦长的方法：
1 .利用弦长公式： AB = 1 + k x 1 − x 2 利用弦长公式：
2
1 = 1 + 2 y1 − y 2 k
2 .利用弦长一半、半径、 弦心距的勾股关系 利用弦长一半、半径、
1 2 2 d + ( AB ) = r 2
2
练习1 .求直线 x + 2 y = 0 被曲线 x + y − 6 x − 2 y − 15 = 0
1 d + ( AB ) 2 = r 2 ⇒ AB 2 AB = 4 5
2 2
= 4 r 2 − 4 d 2 = 80
轴相切， 练习 2 .已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x − 3 y = 0上， 的方程。 且被直线 y = x 截得的弦长为 2 7，求圆 C 的方程。
的方程为（ 解：设圆 C的方程为（ x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 由圆 C 与 y 轴相切得 a = r
的切线方程， 求经过点（ 4 练习4.求经过点（2， 的 x 2 + y 2 = 4的切线方程， ） 并求切线长。 并求切线长。
3 x − 4 y + 10 = 0或者 x = 2
练习5 .从点 A( − 2 , − 1)向圆 x + y − 4 x + 2 y + 1 = 0
2 2
引切线 , 求切线方程 .
为何值时， 解法1：所求曲线公共点问题 可转化为 b为何值时， x 2 + y 2 = 2 (1) 有两组不同实数解； 方程组 有两组不同实数解； ( 2) y = x+b 有两组相同实数解； 实数解问题。 有两组相同实数解；无 实数解问题。
( 2)代入（） 整理得 2 x 2 + 2bx + b 2 − 2 = 0 代入（ ， 1
练习4.直线 l经过点 P ( 5,5 )且和圆 C : x 2 + y 2 = 25 相交 , 截得弦长为 4 5 , 求 l的方程 .
直线与圆相离
例3. 求圆 x + y = 4上的点到直线 x − y − 4 = 0的距离
2 2
的最大值和最小值， 求相应点的坐标。 的最大值和最小值，并 求相应点的坐标。
练习6.过圆外一点 P ( x 0 , y 0 )作圆 x 2 + y 2 = r 2的两条切线 , 切点为 A、 B , 求直线 AB 的方程 .
B ( x2 , y 2 )
P ( x0 , y0 )
A( x1 , y1 )
圆 7 . 练习 .求由下列条件所决定的 x + y = 100的切线方程
04 练习3.求点P（ ， 到圆 x 2 + y 2 − 4 x − 5 = 0 ） 所引的切线长 , 并求切线方程
y
P 4
M N
−1
O
C
2
5
x
引圆的切线， 过圆外一点 M （ x 0 , y 0 )引圆的切线，切线长为
d= x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F
2 2
= ( x0 − a ) 2 + ( y0 − b ) 2 − r 2
则过点 P的直线的倾斜角 α满足 __________ __ 时直线与圆相切 ; __________ __ 时直线与圆相交 ; __________ __ 时直线与圆相离 .
直线与圆相交
的交点坐标， 例2.求圆 x 2 + y 2 = 13与直线 x − y − 1 = 0的交点坐标， 并求所得的弦的长度。 并求所得的弦的长度。
圆与直线相交， 个公共点； 当d < r时,−2 < b < 2，圆与直线相交，有两 个公共点；
圆与直线相切， 当d = r时, b = 2或b = −2时，圆与直线相切，两 个公共 点重合为一点； 点重合为一点；
圆与直线相离， 公共点； 当d > r时, b < −2或b > 2时，圆与直线相离，无公共点；
相切， 练习 2 .已知直线 y = mx + 4与圆 x + y = 4 相切，
2 2
的值和切线方程。 求 m 的值和切线方程。
练习3.求斜率为 2且与圆 x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0相切的 直线方程。 直线方程。
练习4.已知圆 x + y = 8, 定点 P (4,0),
2 2
求通过圆（ 练习2.求通过圆（ x − 3 ) + ( y − 4 ) = 25上的一点
2 2
A（6， 的圆的切线方程。 8 的圆的切线方程。 ）
过圆 x + y + Dx + Ey + F = 0上一点 M（ x 0 , y 0 )的切线
2 2
x + x0 y + y0 方程为 x 0 x + y 0 y + D +E +F =0 2 2
） 1 经过点（ − 5 （）经过点（， 5 3 2 经过点（ 15 10 （）经过点（ ，） 3 − （）斜率为 1
简单应用
y 1.如果实数 x , y满足x + y − 4 x + 1 = 0, 求 的最大值。 的最大值。 x
2 2
y
0
2
x
2. C , 已知圆 : ( x + 2)2 + y2 = 1, P( x, y)为圆上任意一点求 y−2 (1) ; 的最大值和最小值 x −1 (2) x − 2 y的最大值和最小值 .
圆心到直线的距离 d =
Aa + Bb + C A +B
2 2
d > r ⇔ 直线与圆相离； 直线与圆相离； d = r ⇔ 直线与圆相切； 直线与圆相切；
d < r ⇔ 直线与圆相交。 直线与圆相交。
例1 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = 2, 直线 y = x + b ,
为何值时， 两个公共点； 公共Fra bibliotek； 当b为何值时，圆与直线有 两个公共点；只有一个 公共点； 没有公共点。 没有公共点。
2 2 2
的切线方程。 求过圆上一点 M （ x 0 , y 0 )的切线方程。
y
P( x, y)
M（ M（x0 , y0 )
C
O
x
2
( x − a )( x0 − a ) + ( y − b )( y0 − b ) = r
练习1.写出过圆 x 2 + y 2 = 10上一点 M（2， 6 ） 的切线方程。 的切线方程。
3. 自点A(−3,3)发出的光线射到x轴上，被 轴反射， 轴上， x轴反射， l 相切， 其反射光线所在直线与 x2 + y2 − 4x − 4 y + 7 = 0相切， 圆 . l 求光线 所在直线的方程
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的 判断 代数法
联立， 直线 l的方程与圆的方程 C 联立，
消元后所得一元二次方 程的判别式 ∆ ：
直线与圆相离； 当∆ < 0时，直线与圆相离；
当∆ = 0时，直线与圆相切； 直线与圆相切；
直线与圆相交。 当∆ > 0时，直线与圆相交。
判断直线 Ax + By + C = 0与圆 x + y + Dx + Ey + F = 0的位置关系
直线与圆相切
例4.(1)已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 , 的切线方程。 求过圆上一点 M （ x 0 , y 0 )的切线方程。
y
P( x, y)
M（x0 , y0 ) （
O
x
x 0 x + y0 y = r
2
( 2 )已知圆的方程是（ x − a ) + ( y − b ) = r , 已知圆的方程是（
练习3.已知圆 C : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25, 直线 l : ( 2m + 1) x + ( m + 1) y − 7 m − 4 = 0( m ∈ R ). (1)求证 : 不论 m 取什么实数时，直线 l与圆 取什么实数时， 恒有交点 . ( 2)求直线 l被圆截得的线段的最短 长度以 及这时直线 l的方程 .
2 2
Ax + By + C = 0 可得： 可得： 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0
消y得：mx + nx + p = 0 得
2
直线与圆相离； ∆ < 0 ⇔ 直线与圆相离；
直线与圆相切； ∆ = 0 ⇔ 直线与圆相切；
直线与圆相交。 ∆ > 0 ⇔ 直线与圆相交。
又圆心在直线 x − 3 y = 0上，所以 a − 3 b = 0
圆心 C （ a , b ) 到直线 y = x 的距离为 d =
∴( a−b 3b − b + 7 = 9b 2 ) + ( 7) = r ⇒ 2 2
2 2 2 2
a−b 2
a1 = 3 a 2 = −3 解得 b1 = 1或 b2 = −1 r = 3 r = 3 1 2
(3)
方程（ ） 方程（3 的根的判别式 ∆ = 2b ) 2 − 4 × 2( b 2 − 2) （ = −4( b + 2)( b − 2)
方程（ ） 方程（3 的根的判别式 ∆ = 2b ) − 4 × 2( b − 2) （ = −4( b + 2)( b − 2)
2 2
数解， 当 ∆ > 0时， 2 < b < 2, 方程组有两组不同的实 数解， − 共点； 因此直线与圆有两个公 共点；
2 2
所截得的弦长
x + 2y = 0 2 解法1： 2 消x得 : y + 2 y − 3 = 0 2 x + y − 6 x − 2 y − 15 = 0
y1 + y2 = −2, y1 y2 = −3, y1 − y2 = ( y1 + y2 ) − 4 y1 y2 = 4
2
1 弦长 = 1 + 2 y1 − y2 = 1 + 4 × 4 = 4 5 k 圆心（ 1 ），半径 解法 2：圆心（ 3， ），半径 r = 5 , d = 5
关系： 练习1.求下列圆与直线的位置 关系：
(1)圆（ x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 = 6和直线 2 x + y − 5 = 0 ( 2 )圆 x 2 + y 2 − 8 x + 2 y − 8 = 0和直线 4 x − 3 y + 6 = 0 ( 3 )圆 x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0和直线 2 x − y + 5 = 0
直线与圆的位置关系的 判断
几何法
圆 C 的半径为 R ，圆心到直线的距离为 d :
当d > R时，直线与圆相离； 直线与圆相离；
直线与圆相切； 当d = R时，直线与圆相切；
直线与圆相交。 当d < R时，直线与圆相交。
判断直线 Ax + By + C = 0与圆 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2的位置关系
数解， 当 ∆ = 0时， b = 2或 b = −2, 方程组有两组相同的实 数解， 公共点； 因此直线与圆只有一个 公共点；
方程组没有实数解， 当 ∆ < 0时， b < −2或 b > 2, 方程组没有实数解， 因此直线与圆没有公共 点；
只有一个公共点、 解法2：圆与直线有两个公共 点、只有一个公共点、 无公共点的问题， 无公共点的问题，可以 转化为b取何值时圆心到直 线的距离小于半径、 于半径、 线的距离小于半径、等 于半径、大于半径的问 题。 b 0 圆心 O （0， 到直线 y = x + b的距离为 d = ） 2 圆的半径 r = 2
y
x − y −1 = 0
0
x
求弦长的方法： 求弦长的方法：
1 .利用弦长公式： AB = 1 + k x 1 − x 2 利用弦长公式：
2
1 = 1 + 2 y1 − y 2 k
2 .利用弦长一半、半径、 弦心距的勾股关系 利用弦长一半、半径、
1 2 2 d + ( AB ) = r 2
2
练习1 .求直线 x + 2 y = 0 被曲线 x + y − 6 x − 2 y − 15 = 0
1 d + ( AB ) 2 = r 2 ⇒ AB 2 AB = 4 5
2 2
= 4 r 2 − 4 d 2 = 80
轴相切， 练习 2 .已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x − 3 y = 0上， 的方程。 且被直线 y = x 截得的弦长为 2 7，求圆 C 的方程。
的方程为（ 解：设圆 C的方程为（ x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 由圆 C 与 y 轴相切得 a = r
的切线方程， 求经过点（ 4 练习4.求经过点（2， 的 x 2 + y 2 = 4的切线方程， ） 并求切线长。 并求切线长。
3 x − 4 y + 10 = 0或者 x = 2
练习5 .从点 A( − 2 , − 1)向圆 x + y − 4 x + 2 y + 1 = 0
2 2
引切线 , 求切线方程 .
为何值时， 解法1：所求曲线公共点问题 可转化为 b为何值时， x 2 + y 2 = 2 (1) 有两组不同实数解； 方程组 有两组不同实数解； ( 2) y = x+b 有两组相同实数解； 实数解问题。 有两组相同实数解；无 实数解问题。
( 2)代入（） 整理得 2 x 2 + 2bx + b 2 − 2 = 0 代入（ ， 1
练习4.直线 l经过点 P ( 5,5 )且和圆 C : x 2 + y 2 = 25 相交 , 截得弦长为 4 5 , 求 l的方程 .
直线与圆相离
例3. 求圆 x + y = 4上的点到直线 x − y − 4 = 0的距离
2 2
的最大值和最小值， 求相应点的坐标。 的最大值和最小值，并 求相应点的坐标。
练习6.过圆外一点 P ( x 0 , y 0 )作圆 x 2 + y 2 = r 2的两条切线 , 切点为 A、 B , 求直线 AB 的方程 .
B ( x2 , y 2 )
P ( x0 , y0 )
A( x1 , y1 )
圆 7 . 练习 .求由下列条件所决定的 x + y = 100的切线方程
04 练习3.求点P（ ， 到圆 x 2 + y 2 − 4 x − 5 = 0 ） 所引的切线长 , 并求切线方程
y
P 4
M N
−1
O
C
2
5
x
引圆的切线， 过圆外一点 M （ x 0 , y 0 )引圆的切线，切线长为
d= x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F
2 2
= ( x0 − a ) 2 + ( y0 − b ) 2 − r 2
则过点 P的直线的倾斜角 α满足 __________ __ 时直线与圆相切 ; __________ __ 时直线与圆相交 ; __________ __ 时直线与圆相离 .
直线与圆相交
的交点坐标， 例2.求圆 x 2 + y 2 = 13与直线 x − y − 1 = 0的交点坐标， 并求所得的弦的长度。 并求所得的弦的长度。
圆与直线相交， 个公共点； 当d < r时,−2 < b < 2，圆与直线相交，有两 个公共点；
圆与直线相切， 当d = r时, b = 2或b = −2时，圆与直线相切，两 个公共 点重合为一点； 点重合为一点；
圆与直线相离， 公共点； 当d > r时, b < −2或b > 2时，圆与直线相离，无公共点；
相切， 练习 2 .已知直线 y = mx + 4与圆 x + y = 4 相切，
2 2
的值和切线方程。 求 m 的值和切线方程。
练习3.求斜率为 2且与圆 x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0相切的 直线方程。 直线方程。
练习4.已知圆 x + y = 8, 定点 P (4,0),
2 2
求通过圆（ 练习2.求通过圆（ x − 3 ) + ( y − 4 ) = 25上的一点
2 2
A（6， 的圆的切线方程。 8 的圆的切线方程。 ）
过圆 x + y + Dx + Ey + F = 0上一点 M（ x 0 , y 0 )的切线
2 2
x + x0 y + y0 方程为 x 0 x + y 0 y + D +E +F =0 2 2