正弦定理知识点与典型例题

正弦定理知识点与典型例题（总4
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正弦定理
sin (A+B)=si nC, cos(A+B)=-cosCj 3.【正弦定理】
正弦定理曰：/? ：c二sin 力：sin 3 ：sin
【基础知识点】
1.三角形常用公式：A+ B+C=n ; S=丄动sin C= -bcs\nA =
2 2
_ 严sin sin (A+B)/2 二cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2
2 .三角形中的边角不等关系:A>B<oa>b,a+b>c,a-b<c ;
u _ b _ c
sin A sin B sin C
=2R (外接圆直径)
a = 2/? sin A
c = 2/?sinC
asin B=bsinA bsinC=csinB asin C=csi nA sinA=a/2R sin B=b/2R sin
C=c/2R
4・正弦定理应用范围：
①已知两角和任一边，求其他两边及一角•
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角•
③JL何作图时，存在多种情况•如已知日、b及A、求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数•
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
—解
两解 一解
(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.
也可利用正弦定理=
进行讨论•
a 如果sinB>l,则问题无解；如果sinB = l,则问题有一解；
如果求出smB<l,则可得B 的两个值，但要通过"三角形内角和定理”或"大边对大角”等三 角形有关性质进行判断
典型例题：
例1、在AABC 中，d = = = 求B 的大小。

例2、在AABC 中，已知心=丿5. b =迈,B 二45 求A 、C 及C
例 3、在 AABC 中，a 二 15,b 二 10,A 二 60° 厕 cosB 的值
a=bsin
A bsin A<a<b a > b
例6、在中,
例 4、在Z\ABC 中，3 = 30°, AB = 2® AC 二2,求ZiABC 的面积。

例5、在AABC 中已知acosB 二bcosA,试判断AABC 的形状.
(/ +b 2)sin(A-B) = (a 2 -/?2)sin(A + B),试判断△ ABC 的形状
<3+ Q
例7、社乂 ABC 中，cosj = —（a. b 、Q 分别为角力、B 、C 的对边），贝'JA/15C 的形状为 例8、在中，tarL4 = * cos3=冷学，若最长边为1,则最短边的长 例9、在△/!&?中，角力、B 、C 所对的边分别为N b 、c 、且满足co£ =羊，A&AC= 3.
例10、设的内角力、B、Q所对的边分别为＜?、b、c,且acosC十赫&
(2)求角力的大小；
⑵若护1,求的周长/的取值范围.
例11、在、ABC 中,sin(C-A)=l,sinB=-.( I )求sinA 的值；(II)设AC二& 求厶
3
ABC的面积.。