倍长中线与截长补短法
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B D E
C
补短法
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
练 习
如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E， 求证：AB＝AD+BC
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C ∴ ∠ C ＝∠4 ∴DE=CE
截长法
∴BD=CE ∵AE+EC=AC ∴ AB+BD=AC
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC 题 证明： 在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E. 讲 解
A
练习：如图，在△ABC中， AB=3，AC=5，求中线AD 的取值范围。
二、截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
补短法在射线ab截取截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长使之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明
一、倍长中线法
• 延长中线，使所延长部分与中线相等，然 后往往要连接相应的顶点。 • 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明 边之间的关系。
例1：如图，在△ABC中，AD 为BC上的中线， 求证:AB+AC＞2AD
A D
E
B
C
著名的数学家，莫斯科大学教授雅 洁卡提出：“解题就是把要解的题 转化为已经解过的题”。许多题目 我们都解过，怎样转化呢？加油吧！
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
例 题 讲 解
1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC. 求证：AB+BD=AC A
在AC上截取A E=AB，连结D E 证明：
1 2 3 4 B D C E
∵ AD平分∠BAC ∴ ∠1＝∠2, 在△ABD和 △AED中 A B=AE ∠1＝∠2 A D=AD
﹛
∴ △ABD≌ △AED ∴BD=DE, ∠B＝∠3 ∵ ∠B＝2∠C ∴ ∠3=2∠C
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
C
补短法
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
练 习
如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E， 求证：AB＝AD+BC
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C ∴ ∠ C ＝∠4 ∴DE=CE
截长法
∴BD=CE ∵AE+EC=AC ∴ AB+BD=AC
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC 题 证明： 在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E. 讲 解
A
练习：如图，在△ABC中， AB=3，AC=5，求中线AD 的取值范围。
二、截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
补短法在射线ab截取截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长使之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明
一、倍长中线法
• 延长中线，使所延长部分与中线相等，然 后往往要连接相应的顶点。 • 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明 边之间的关系。
例1：如图，在△ABC中，AD 为BC上的中线， 求证:AB+AC＞2AD
A D
E
B
C
著名的数学家，莫斯科大学教授雅 洁卡提出：“解题就是把要解的题 转化为已经解过的题”。许多题目 我们都解过，怎样转化呢？加油吧！
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
例 题 讲 解
1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC. 求证：AB+BD=AC A
在AC上截取A E=AB，连结D E 证明：
1 2 3 4 B D C E
∵ AD平分∠BAC ∴ ∠1＝∠2, 在△ABD和 △AED中 A B=AE ∠1＝∠2 A D=AD
﹛
∴ △ABD≌ △AED ∴BD=DE, ∠B＝∠3 ∵ ∠B＝2∠C ∴ ∠3=2∠C
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！