全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题03导数及其应用选择题填空题理(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：

03 导数及其应用(选择题、填空题)

（理科专用）

1．【2022年全国甲卷】已知a =31

32,b =cos 1

4,c =4sin 1

4，则（ ） A ．c >b >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．a >c >b

【答案】A 【解析】 【分析】

由c

b =4tan 1

4结合三角函数的性质可得c >b ；构造函数f(x)=cosx +1

2x 2−1,x ∈(0,+∞)，利用导数可得b >a ，即可得解. 【详解】

因为c

b =4tan 1

4,因为当x ∈(0,π2

),sinx <x <tanx

所以tan 14>14,即c

b >1,所以

c >b ； 设f(x)=cosx +1

2x 2−1,x ∈(0,+∞)，

f ′(x)=−sinx +x >0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增， 则f (1

4)>f(0)=0,所以cos 1

4−31

32>0， 所以b >a ,所以c >b >a ， 故选：A

2．【2022年新高考1卷】设a =0.1e 0.1,b =1

9，c =−ln0.9，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．a <c <b

【答案】C 【解析】 【分析】

构造函数f(x)=ln(1+x)−x ， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c 的大小. 【详解】

设f(x)=ln(1+x)−x(x >−1)，因为f ′(x)=1

1+x −1=−x

1+x ， 当x ∈(−1,0)时，f ′(x)>0，当x ∈(0,+∞)时f ′(x)<0，

所以函数f(x)=ln(1+x)−x 在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增， 所以f(1

9)<f(0)=0，所以ln

109

−19<0，故19>ln

109

=−ln0.9，即b >c ，

所以f(−110)<f(0)=0，所以ln 9

10+1

10<0，故910<e −1

10，所以110e 1

10<1

9

，

故a <b ，

设g(x)=xe x

+ln(1−x)(0<x <

1)，则g ′(x)=(x +1)e x

+

1x−1

=

(x 2−1)e x +1

x−1

,

令ℎ(x)=e x (x 2−1)+1，ℎ′(x)=e x (x 2+2x −1)，

当0<x <√2−1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)=e x (x 2−1)+1单调递减， 当√2−1<x <1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)=e x (x 2−1)+1单调递增， 又ℎ(0)=0，

所以当0<x <√2−1时，ℎ(x)<0，

所以当0<x <√2−1时，g ′(x)>0，函数g(x)=xe x +ln(1−x)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e 0.1>−ln0.9，所以a >c 故选：C.

3．【2021年新高考1卷】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<

【答案】D 【解析】 【分析】

解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】

在曲线x y e =上任取一点()

,t

P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，

所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t

y e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t

b ae t e a t e =+-=+-， 令()()1t f t a t e =+-，则()()t

f t a t e '=-.

当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，

所以，()()max a

f t f a e ==，

由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a

b f t e <=，

当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：

由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.

解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.

故选：D. 【点睛】

解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

4．【2020年新课标1卷理科】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+

【答案】B