应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
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应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
材料力学
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应力和应变分析
主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应 力。 主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截 面上正应力的极值）。 通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为 主平面。 对应的有三个主应力，相应的用
32
O C
B( y , yx)
1
a
min
max max min R半径 2 min （
x y
2
2 2 ） xy
材料力学
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应力和应变分析
例7-4-1 已知 x 1MPa， y 0.2MPa， 求此单元体在＝ xy 0.2MPa， yx 0.2MPa， 30°和 ＝-40°两斜截面上的应力。
0 1
4 , 即极值剪应力面与主面成450
材料力学
C
第七章

应力和应变分析
解：确定危险点并画其原 始单元体
例7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。
yx

M
C
xy
x y 0 xy
xy
yx
求极值应力
T WP
y
x y 2 2 max x y （ ） xy 2 2 min
§7-4 二向应力状态分析——图解法
n
x
xy
x y x y cos2 xy sin2 2 2 x y sin2 cos2 xy 2 对上述方程消去参数（2），得：
x y x y 2 2 xy 2 2
2a
A( x , xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
B( y ,yx)
材料力学
a
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应力和应变分析
1 OC R半径 3
四、在应力圆上标出极值应力
max
2a1
x
A(x , xy)
2a0
x y
2
（
x y
2
）
2
2 xy
A x A cos xy A cos sin
2
y A sin 2 yx A sin cos 0
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
x
y
xy

n
同理：
x y sin 2 xy cos2 2
平面应力状态的普遍形式：在常见的受力 构件中，在两对平面上既有正应力σ 又有 切应力τ 。可将该单元体用平面图形来表 示。
y
x xy
材料力学
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应力和应变分析
y
x xy
σ、τ正负号规定：
σ——拉为正，压为负；
τ——以对微单元体内任意一点取矩 为顺时针者为正，反之为负；
xy 和 y 、 yx ， 单元体各面上的已知应力分量 x 、 确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点 处的主应力和主平面。
x 40MPa
y 20MPa
，
xy 10MPa
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 x sin 2 26.4MPa 2 2 1 ( x y ) sin 2 x cos 2 13.66 MPa 2
材料力学
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应力和应变分析
一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正； a绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
y

y O x
n

x
xy
x
y
xy

材料力学
y
y O x
第七章
应力和应变分析
n
设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：
x
F 0
n
xy
sin 2
cos 2
纯剪切应力状态
材料力学
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应力和应变分析
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存 在应力；不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
材料力学
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应力和应变分析
应 力
指明
哪一个截面上？ 哪一点？
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一 点的应力状态。
材料力学
第七章
应力和应变分析
§7-1 应力状态概述
§7-2 二向和三向应力状态的实例
§7-3 二向应力状态分析——解析法
§7-4 二向应力状态分析——图解法
§7-5 三向应力状态
§7-8 广义胡克定律
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
§7-10 强度理论概论
§7-11 四种常用强度理论
材料力学
问题的提出:
材料力学
Fp
第七章
应力和应变分析
§7-2 二向和三向应力状态的实例
D 2
4
D 2
4
p
FN

0
D
D pl sin d plD 2
2 l plD 0
pD 2
材料力学
第七章
应力和应变分析
材料力学
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应力和应变分析
§7-3 二向应力状态分析——解析法
3
2
1
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应力和应变分析
2
3 1
1 3
2
材料力学

第七章
应力和应变分析
3
2
1
材料力学
材料力学
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应力和应变分析
( x y ) 2
（2）主应力大小
1 2 max ( x y ) x 44.1MPa 2 4 2 ( ) 1 x y 2 min ( x y ) x 15.9MPa 2 4 故，1 44.1MPa， 2 15.9MPa， 3 0MPa

2 xy
x y
0极值正应力就是主应力 ！
0
材料力学
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应力和应变分析
y
主 单元体
max在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。
2
x
d 令: d
y x 0 tg21 2 xy 1
y
xy 1
x
O
x y 2 2 max ± （ ）x y 2 min
2 xy
O
x
材料力学
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应力和应变分析
tg2 0 2 xy
1 ; 2 0; 3
x y 2 2 max （ ） xy 2 min
破坏分析
x y
0 45
x y tg21 0 10 2 xy
a
x
B( y ,yx)
以C为圆心，以AC为半 径画圆——应力圆；
材料力学
y
a xy
y
第七章
n
应力和应变分析
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )

x
面的法线
x
a
应力圆的半径
On D( x , ) a a
a
C O
-40
80°
60°
30
30
0
0.2 0.4 0.6
-40
材料力学
第七章
应力和应变分析
例7-4-2 ：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁 件受扭转时的破坏现象。
解：1．取单元体ABCD，其中
xy
T ， ，这是纯剪切应力状态。 WP
x y 0,
材料力学
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应力和应变分析
（3）主平面方位
2 x tan2 0 1 x y
0 67.5 或157.5


法线与x轴夹角为67.5º 的主平面上对应的是2。
材料力学
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应力和应变分析
（4）最大切应力
max
1 2
2
22.1MPa
材料力学
y
y O x
第七章
应力和应变分析
第七章
应力和应变分析
§7-1 应力状态概述
为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
材料力学
第七章
应力和应变分析
p cos 0 cos2 0 p sin sin 2
2
单向应力状态
材料力学
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应力和应变分析
低碳钢: s 240 MPa ; s 200MPa
灰 口 铸 铁: Lb 98 ~ 280MPa
低碳钢
yb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
铸铁
材料力学
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应力和应变分析
例7-3-2 图示应力状态（单位：Mpa），求：（1） 斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面 方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； （4）最大切应力。 解：（1）易知 30
3
O
20
2
20MPa
1
C
(MPa)
材料力学
1 120 2 20 3 0
第七章
应力和应变分析
25 3
2
主应力及主平面如图
45
B
95
A
150°
0
25 3
1
(MPa)
B A 20MPa
1
0 30
3
2
20
C
O
(MPa)
材料力学
25 3
45
x y
2 sin2 xy cos2
材料力学
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§7-5 三向应力状态
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:
材料力学
第七章
应力和应变分析
2
3 1 3 1 1 3
2
3
2
材料力学

第七章
应力和应变分析

材料力学
二、极值应力
第七章
应力和应变分析
d 令: x y sin 2 0 2 xy cos 2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、 （ 01 ）和 两 各 极 值 ： tg20
2
x y 2 m ax x y 2 ±（ ） xy 2 2 m in
应力和应变分析
例7-4-3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。 (单位：MPa)
25 3
45
150°
95
25 3
材料力学
A(95,25 3)
第七章
应力和应变分析
25 3
2
解：主应力坐标系如图
45
B
95
A
在坐标系内画出点
150°
B(45,25 3)
(MPa)
B A
0
25 3
1
AB的垂直平分线 与a 轴的交点C便 是圆心，以C为圆 心，以AC为半径 画圆——应力圆。
1 、 2 、 3 来
表示，它们按代数值的大小顺序排列，即
1 2 3
材料力学
第七章
应力和应变分析
— 单 向 应 力 状 态 （ 只 有个 一不 等 于 零 的 主 应 力 简 单 应 力 状 态 平 面 应 力 状 态 （ 有 两不 个等 于 零 的 主 应 力 ） 复杂应力状态 — 主力 都 不 等 于 零 ） 空 间 应 力 状 态 （ 三 个应