高中数学第二章2.3《等差数列的前n项和》优秀课件

上两式 :5(a 1 相 an)1 加 8 得 a 0 1 得 an36
Sn
n(a1an)234 2
数列的项n数 13, 即S13 234
a7
S1323418 13 13
例题讲解
3、如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层 放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支 铅笔？
2
5、等差数列的性质：
若 m n p q ,则 a m a n a p a q ( m 、 n 、 p 、 q N )
泰姬陵坐落于印度古都 阿格，是十七世纪莫卧儿 帝国皇帝沙杰罕为纪念其 爱妃所建，是世界七大奇 迹之一。
传说陵寝中有一个三角 形图案，以相同大小的圆 宝石镶饰而成 ，共有 100 层，奢靡之程度，可见一 斑。
〔1〕a1=5，an=95，n=10
500
〔2〕a1=100，d=－2，n=50 2550
解： 1Sn
n(a1an) 2
10
(5 2
95)
500
解 ： 2Snna1n(n21)d 5010050(501)-2 2550
2
课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
Sn= a1+a2+…+an
倒序相加法
计 1 算 2 3 ： ( n 1 ) n ①
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项
和.
2 1 2 3 ( n 1 ) n n ( n 1 )
12 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
2.3 等差数列的前n项和
复习旧知
1、等差数列的定义： an-an 1d(n2 ,n N *)
2、等差数列的通项公式：
ana1(n1)d anam(nm)d an pnq(p、q是常数)
3、几种计算公差d的方法：
dan an1
d an a1 n 1
d an am nm
4、等差中项：Aaba,A,b成等差数列
因此等差数列 -10，-6，-2，2， ……前9项和是54。
表达方程思想。
课外探索
等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
谢谢！
( 如 果 m n p q ,那 么 a m a n a p a q .)
1 2 3
s100
100 99 98
2 S 10 0 (1 1)0 100
s100
s10 0( 112 0)0 105 00
100
1
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
如何才能将
等 ，差第数n项列为｛ana，n ｝求的前首n项项和为San1等.，式化项的简数右？是边n
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；〔两个〕
Sn
n(a1 an) 2
Sn na1n(n21)d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
3.公式的应用(知三求二)；正确合理的
选择公式，注意与通项公式相结合。
作业：教材P46 A组第2、5题
课后练习
练习1、在 等 差 数 列 an中 ，
a 1 2 0 ,a n 5 4 ,S n 9 9 9 ,求 n .
1+2+3+…+100= ？
高斯的算法是：
1+100=101，
2+99=101，
3+98=101，
首尾 配对 相加
…… 50+51=101， 于是所求的和是：101 100 5050
2
法
这个问题可看成是求等差数列
1，2，3，…，n，…的前100项的和。
前n项和的定义
一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an} 前n项的和，用Sn表示，即：
3、如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层 放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支 铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差 数列，记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等 差数列前n项和的公式，得
S1
1 20
2(0 11 2
2 07)2
6
0
答：V形架上共放着 7260支铅笔.
例题讲解 例4: 在等差数列{an}中，
已知 a2 a5 a12 a15 36 求S16
( 如 果 m n p q ,那 么 a m a n a p a q .)
思考： a6=20 ,你能求出S11吗？
请观看“数学王子〞高斯小 时候的故事。
高斯〔Gauss,1777—1855〕， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光辉四射 的巨星，被誉为“数学王子〞.
1+2+3+……99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
仍是 知三 求二
答案: 27 提示： 999n20+54
2
练习2.等差数列 -10，-6，-2，2，…前多 少项和是54？
解: 由a1= -10，d= -6-(-10)=4.
n（n1)
设 得
S1n=0n 54n,(n得1)454
Snn1a 2 d
2
即 n2-6n-27=0
得 n1=9, n2=-3(舍去〕。
Sn
n(a1 an) 2
注：数列的首项、 末项与项数用此公 式
进一步探究：
在以上公 an 式 a1(中 n1)d 代 ,结入 果又如
等差数列的前n项和公式2：
n(n1) Sn n1a 2 d
怎么快速记忆 公式呢？
注：数列的首项、 公差与项数用此公 式
公式记忆方法:
a1

公式1
Sn
n(a1an) 2
n
a1
d
n
an
sn
5
10
10
95
500
20
-2
8
6
104
-38
2
15
-10 -360
例题讲解
2.有穷等差数列{an}的项数为n，前5项和为34， 后5项的和为146，Sn 234, 求a7的值.
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 34
a n a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 146
2Sn a1 an ＋a1 an ＋a1 an ＋… ＋ a1 an
2Snn(a 1an),即 Snn(a 12 an)
s21=1+ 2+3+…+20+21
S21=21+20+…+3+2+1
1
21
2
20
3
19
21
倒序相加法
获得算法：
1
s21(1221)21
等差数列的前n项和公式1：
S n a 1 a 2 a 3 a n ①
S n a n a n 1 a n 2 a 1 ②
2 S n a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
又 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
2Snn(a1an)
即Sn
n(a1 an) 2
等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n ，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a 1 a 2 a 3 a n
a 1 a 1 d a 1 2 d a 1 n 1 d ①
又 a n S n a n a n d a n a 1 n a n 2 2 d a 1 a n 各的 项等n 组差1 成数d 新列 ②
an
1)前n个正整数的和：1+2+3+…+n=
n(n 2
1)
.；
2)求正整数列中前n个偶数的和 2+4+6+…+2n= n(222n)n(n1)。.
Sn
n(a1 an) 2
n
an
a1
Sn n1an(n21)d
a1
n
a1
（n 1)d
公式应用
例1.根据以下各题中的条件，求相应的等
差数列｛an｝的Sn ：