2020-2021上海进才中学北校初二数学上期中试题附答案

2020-2021上海进才中学北校初二数学上期中试题附答案
一、选择题
1．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x 人，则所列方程为（ ）
A ．18018032x x -=-
B ．18018032x x -=+
C ．18018032x x
-=+ D ．18018032x x -=- 2．若等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10
D ．8或10 3．下列分式中，最简分式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）
A ．66°
B ．104°
C ．114°
D ．124° 5．分式
可变形为（ ） A ． B ． C ． D ．
6．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是
( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
7．要使分式
13a +有意义，则a 的取值应满足（ ） A ．3a =-
B ．3a ≠-
C ．3a >-
D ．3a ≠ 8．如图，AD ，C
E 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE
的度数是（ ）
A ．20°
B ．35°
C ．40°
D ．70°
9．如果(x +1)(2x +m )的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．0.5
D ．-0.5
10．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1<
C ．a 1<且a 2≠-
D ．a 1>且a 2≠ 11．下列说法中正确的是（ ） A ．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B ．三角形中至少有一个内角不小于60°
C ．直角三角形仅有一条高
D ．三角形的外角大于任何一个内角
12．如图，△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ）
A ．9
B ．8
C ．6
D ．12
二、填空题
13．某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40％，每件乙种商品的利润率为60％，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50％时，这个商人得到的总利润率为50％；那么当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是____．(利润率=利润÷成本)
14．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．
15．若关于x 的分式方程
111x x m +--＝2有增根，则m ＝_____． 16．关于x 的分式方程211
x a x +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 17．若4422222+6a b a a b b +=-+，则22a b +=______．
18．已知22139273m ⨯⨯=，求m =__________．
19．因式分解：2
()4()a a b a b ---＝___.
20．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC=______．
三、解答题
21．先化简，再求值：222284()24a a a a a a
+-+÷--，其中a 满足方程2410a a ++=． 22．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD 是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD ，对角线AC,BD 相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F ，求证OE=OF ；
23．解方程：
． 24．如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．
求证：（1）∠ECD=∠EDC ；
（2）OC=OD ； （3）OE 是线段CD 的垂直平分线．
25．如图，在ABC n 中，AB AC =，点D 在ABC n 内，BD BC =，DBC 60∠︒=，点E 在ABC n 外，BCE 150∠︒=，ABE 60∠︒=．
（1）求ADB ∠的度数；
（2）判断ABE n 的形状并加以证明；
（3）连接DE ，若DE BD ⊥，DE 8=，求AD 的长．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
设小组原有x 人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．
【详解】
设小组原有x 人,可得：
180180 3.2
x x -=+ 故选B.
【点睛】
考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再范围内取值使得三角形为等腰三角形，再计算周长即可得到答案；
【详解】
解：∵等腰三角形的两条边长分别为2和4，
假设第三边长为x ，
则有：4242x -<<+，
即：26x <<，
又∵三角形为等腰三角形，两条边长分别为2和4，
∴4x =，
∴三角形的周长为：44210++=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边以及等腰三角形的性质是解题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义：分子和分母中不含公分母的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案.
【详解】
解：A.，分式的分子与分母不含公因式，是最简分式；
B.，分式的分子与分母含公因式2，不是最简分式；
C. ，分式的分子与分母含公因式x-2，不是最简分式；
D. ，分式的分子与分母含公因式a，不是最简分式,
故选A.
【点睛】
本题考查了最简分式的概念.对每个分式的分子和分母分别进行因式分解是解题的关键. 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=1
2
∠1，再根据三角形内角和定
理可得.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=1
2
∠1=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行变形即可.
【详解】
=.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【详解】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，
即1＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为3+4+6=13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．7．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：要使分式
1
3
a
有意义，
则a+3≠0，解得：a≠-3．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，
∠B=∠ACB=1
2
（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出
∠ACE=1
2
∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1
2
（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=1
2
∠ACB=35°．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据乘积中不含x的一次项，求出m的值即可．【详解】
（x+1）（2x+m）=2x2+（m+2）x+m，
由乘积中不含x的一次项，得到m+2=0，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．D
解析：D
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．
【详解】
分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，
因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，
解得：a 1>且a 2≠，
故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A ；
根据三角形的内角和定理判断B ；
根据三角形的高的定义及性质判断C ；
根据三角形外角的性质判断D ．
【详解】
A 、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；
B 、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；
C 、直角三角形有三条高，故本选项错误；
D 、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；
故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据∠B ＝60°，AB ＝AC ，即可判定△ABC 为等边三角形，由BC ＝3，即可求出△ABC 的周长．
【详解】
在△ABC 中，∵∠B ＝60°，AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ＝60°，
∴∠A ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∵BC ＝3，∴△ABC 的周长为：3BC ＝9，
故选A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．
二、填空题
13．48％【解析】【分析】根据题意可设甲乙的进价甲售出的件数为未知数根据售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50时这个商人得到的总利润率为50得到甲乙进价之间的关系进而求得售出的甲乙两种商品的件数相等 解析：48％
【解析】
【分析】
根据题意可设甲，乙的进价，甲售出的件数为未知数，根据售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%得到甲乙进价之间的关系，进而求得售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率即可．
【详解】
解：设甲进价为a 元，则售出价为1.4a 元；乙的进价为b 元，则售出价为1.6b 元； 若售出甲x 件，则售出乙1.5x 件， 即有
0.40.6 1.50.51.5ax b x ax bx
+⨯=+， 解得a=1.5b ， ∴售出的甲，乙两种商品的件数相等，均为y 时，这个商人的总利润率为：
0.40.60.40.6 1.248%2.5ay by a b b ay by a b b
++===++. 故答案为：48%．
【点睛】
本题考查分式方程的应用；根据利润率得到相应的等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数并在解答过程中消去是解决本题的难点．
14．3【解析】在123处分别涂黑都可得一个轴对称图形故涂法有3种故答案为3
解析：3
【解析】
在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为3．
15．1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后产生的使原分式方程分母为0的根在本题中可确定增根是1然后代入化成整式方程的方程中求得m的值【详解】解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2由分式方程有增根得到x﹣1＝0
解析：1
【解析】
【分析】
有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，可确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．
【详解】
解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入得：m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行求解：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程的解为负数求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a由分式方程解为负数得到1-a<0且1-a≠-1解得:a＞1且
解析：12
>≠
且
a a
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x 的值再进行分析
17．3【解析】【分析】先对原式进行变形得(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0经过观察后又可变为(a2+b2-3)(a2+b2+2)=0又a2+b2≥0即可得出本题的结果【详解】由变形后(a2+b2)
解析：3
【解析】
【分析】
先对原式进行变形得(a 2+b 2) 2-(a 2+b 2)-6=0,经过观察后又可变为(a 2+b 2-3)(a 2+b 2+2)=0,又a 2+b 2≥0,即可得出本题的结果.
【详解】
由4422222+6a b a a b b +=-+变形后
(a 2+b 2) 2-(a 2+b 2)-6=0，
(a 2+b 2-3)(a 2+b 2+2)=0，
又a 2+b 2≥0,
即a 2+b 2=3,
故答案为3.
【点睛】
此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则.
18．8【解析】【分析】根据幂的乘方可得再根据同底数幂的乘法法则解答即可
【详解】∵即∴解得故答案为：8【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键
解析：8
【解析】
【分析】
根据幂的乘方可得293m m =，3273=，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】
∵22139273m ⨯⨯=，
即22321333m 创=，
∴22321m ++=，
解得8m =，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
19．【解析】分析：先提公因式再利用平方差公式因式分解即可详解：a2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2）故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）点睛：本题考查的
解析：()()()22a b a a -+-
【解析】
分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）
=（a-b ）（a 2-4）
=（a-b ）（a-2）（a+2），
故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．
点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．
20．6cm 【解析】【分析】根据∠C＝90°∠A＝30°易求∠ABC＝60°而BD 是角平分线易得∠ABD＝∠DBC＝30°根据△BCD 是含有30°角的直角三角形易求BD 然后根据等角对等边可得AD ＝BD 从而
解析：6cm
【解析】
【分析】
根据∠C ＝90°，∠A ＝30°，易求∠ABC ＝60°，而BD 是角平分线，易得∠ABD ＝∠DBC ＝30°，根据△BCD 是含有30°角的直角三角形，易求BD ，然后根据等角对等边可得AD ＝BD ，从而可求AC ．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，
∴∠ABC ＝60°，
又∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，
在Rt △BCD 中，BD ＝2CD ＝4cm ，
又∵∠A ＝∠ABD ＝30°，
∴AD ＝BD ＝4cm ，
∴AC ＝6cm ．
故答案为6cm ．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、等角对等边、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是求出BD ，难度适中．
三、解答题
21．
211443
a a =++． 【解析】 试题分析：把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同
分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a 满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．
试题解析：原式=28[](2)(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a a +-⨯--++- =2(2)8(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a a +-⨯-++- =2(2)(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a -⨯-++- =2211(2)44
a a a =+++ ∵2410a a ++=，∴241a a +=-， ∴原式=
11143=-+． 考点：分式的化简求值．
22．证明见解析.
【解析】
试题分析：欲证明OE=OF ，只需推知BD 平分∠ABC ，所以通过全等三角形
△ABD ≌△CBD （SSS ）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD ，问题就迎刃而解了． 试题解析：证明：∵在△ABD 和△CBD 中，
AB=CB ，AD=CD ，BD=BD ，
∴△ABD ≌△CBD （SSS ），
∴∠ABD=∠CBD ，
∴BD 平分∠ABC ．
又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，
∴OE=OF ．
23．无解．
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：15x-12=4x+10-3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
考点：解分式方程．
24．见解析
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线性质可证ED =EC ，从而可知△CDE 为等腰三角形，可证∠ECD =∠EDC ；
（2）由OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，OE =OE ，可证△OED ≌△OEC ，可得OC =OD ；
（3）根据ED =EC ，OC =OD ，可证OE 是线段CD 的垂直平分线．
试题解析：证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；
（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；
（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．
点睛：本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．
25．(1) 150°;(2) △ABE 是等边三角形,理由见解析;(3)4
【解析】
【分析】
（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB ≌△ADC ，推出∠ADB=∠ADC 即可解决问题．
（2）结论：△ABE 是等边三角形．只要证明△ABD ≌△EBC 即可．
（3）首先证明△DEC 是含有30度角的直角三角形，求出EC 的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵BD=BC ，∠DBC=60°，
∴△DBC 是等边三角形，∴DB=DC ，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB 和△ADC 中，
AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADB ≌△ADC ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠ADB=
12
（360°﹣60°）=150°． （2）解：结论：△ABE 是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，
在△ABD 和△EBC 中，
150AB EB ADB BCE ABD CBE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABD ≌△EBC ，∴AB=BE ，∵∠ABE=60°，∴△ABE 是等边三角形．
（3）解：连接DE ．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°， ∴∠EDC=30°，∴EC=
12DE=4，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC=4． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．。