(2020沪科版必修第一册)高一物理辅导讲义-第三节匀变速直线运动的规律三：速度与位移的关系

第三节匀变速直线运动的规律三
三．匀变速直线运动的速度与位移的关系
【考点归纳】
（1）匀变速直线运动位移与速度的关系．
由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣v02＝2ax．
匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系．
①此公式仅适用于匀变速直线运动；
②式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移；
③公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向．
（2）匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导：
前半段：v x/22﹣v02＝2a
后半段：v t2﹣v x/22＝2a
将两式相减的：v x/2＝
（3）不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速度，即：v x/2＞v t/2．
（4）
【命题方向】
例1：甲乙丙三辆汽车以相同的速度经过同一路标，从此时开始，甲做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，他们通过下一路标的速度相同，则（）
A．甲车先通过下一路标B．乙车先通过下一路标
C．丙车先通过下一路标D．三辆车同时通过下一路标
分析：我们可以定性地进行分析：因为乙先加速后减速，所以它在整个运动过程中的速度都比甲大，所以相对时间内它的位移肯定比匀速运动的甲大；而丙因先减速后加速，它在整个运动过程中都以比甲小的速度在运动，所以在相等时间内它的位移比甲小，由此可知，乙将最先到达下一个路标，丙最后一个到达下一个路标．（最终大家的速度都相等）．
解答：由于乙先加速后减速，所以它在整个运动过程中的平均速度都比甲大，经过相同的位
移，它的时间肯定比匀速运动的甲小；
而丙因先减速后加速，它在整个运动过程中的平均速度都比甲小，所以在相等位移内它的时间比甲大．
由此可知，乙将最先到达下一个路标，丙最后一个到达下一个路标．
故选：B．
点评：该题可以通过平均速度去解题，也可以通过画v﹣t图象去分析，图象与坐标轴所围成的面积即为位移．
例2：如图所示，光滑斜面AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放，下列结论中正确的是（）
A．物体到达各点的速率
B．物体到达各点所经历的时间：
C．物体从A到E的平均速度
D．物体通过每一部分时，其速度增量v B﹣v A＝v C﹣v B＝v D﹣v C＝v E﹣v D
分析：本题是同一个匀加速直线运动中不同位置的速度、时间等物理量的比较，根据选项中需要比较的物理量选择正确的公式把物理量表示出来，再进行比较．
解答：A、根据运动学公式v2﹣v02＝2ax得：
物体由A点从静止释放，所以v2＝2ax
所以物体到达各点的速率之比v B：v C：v D：v E＝1：：：2，故A正确；
B、根据运动学公式x＝v0t+得：
t＝
物体到达各点经历的时间t B：t C：t D：t E＝1：：：2
即，故B正确；
C、由于v E＝2v B
物体从A到E的平均速度v＝＝v B
故C正确；
D、v B：v C：v D：v E＝1：：：2，物体通过每一部分时其速度增量不等，故D错误．故选：ABC．
点评：本题对运动学公式要求较高，要求学生对所有的运动学公式不仅要熟悉而且要熟练，要灵活，基本方法就是平时多练并且尽可能尝试一题多解．
【课堂检测】
一．选择题（共10小题）
1．做匀加速直线运动的物体先后经过A、B、C三点，在AB段的平均速度为3m/s，在BC 段的平均速度为6m/s，且AB＝BC，则B点的瞬时速度为（）
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s
2．斜面的长度为L，一物体由静止从斜面顶端沿斜面滑下，当该物体滑到底部时的速度为v，则物体下滑到处的速度为（）
A．B．v C．v D．
3．物体由静止开始做匀加速直线运动，速度为v时位移为s，当位移为3s时，速度为（）A．v B．3v C．6v D．9v
4．一质点做匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，速度变为原来的3倍。

该质点的加速度为（）
A．B．C．D．
5．物体做方向不变的直线运动，若在任意相等的位移内速度的变化量均相等，则下列说法中正确的是（）
A．若△v＝0，则物体做匀加速直线运动
B．若△v＞0，则物体做匀加速直线运动
C．若△v＞0，则物体做加速度逐渐增大的加速直线运动
D．若△v＜0，则物体做加速度逐渐增大的减速直线运动
6．一质点做匀加速直线运动时，速度变化△v时发生位移x1，紧接着速度变化同样的△v 时发生位移x2，则该质点的加速度为（）
A．B．2
C．（△v）2（﹣）D．（△v）2（+）
7．物体的初速度为v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要它的速度增加到初速度的n 倍，则物体的位移是（）
A．B．
C．D．
8．做匀加速直线运动的物体，经过A点时的速度为v A，经过B点时的速度为v B，则经过AB中点C时的速度v C是（）
A．B．
C．D．
9．列车长为L，铁路桥长也是L，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头的速度是v1，车头过桥尾的速度是v2，则车尾通过桥尾时的速度为（）
A．v2B．2v2﹣v1
C．D．
10．做匀加速直线运动的物体，依次通过A．B．C三点，位移S AB＝S BC，已知物体在AB 段的平均速度为3m/s，在BC段的平均速度大小为6m/s，那么物体在B点时的即时速度的大小为（）
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s
二．填空题（共5小题）
11．航空母舰静止在无风的海面上，舰载机在航母甲板上允许滑行的最大距离为200m，起飞时需要的最小速度为50m/s，最大加速度为6m/s2。

根据上述信息，舰载机可获得的最大速度为m/s，在不改变舰载机及航母硬件设备的情况下要使得舰载机能达到起飞时的最小速度，你认为可采用的办法是：（写出一种办法即可）。

12．目前在我国许多省市ETC联网正式启动运行，ETC是电子不停车收费系统的简称。

汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。

假设汽车以v1＝15m/s朝收费站正常沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前10m处正好匀减速至v2＝5m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。

设汽车
加速和减速过程中的加速度大小均为lm/s2．汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为；汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间是秒。

13．如图，两光滑斜面在B处连接，小球自A处静止释放，经过B、C两点时速度大小分别为3m/s和4m/s，AB＝BC．设球经过B点前后速度大小不变，则球在AB、BC段的加速度大小之比为，球由A运动到C的过程中平均速率为m/s。

14．做匀变速直线运动的物体，在两个连续相等的2s内的平均速度分别为8m/s和4m/s，则它在4s内的位移为m，加速度为m/s2．
15．完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度V水平射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，穿透第二块后速度刚好为零，则子弹射入第二块木块时的速度为．若要穿透三木块，子弹射入的初速度至少为．
三．计算题（共7小题）
16．跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面224m高时，运动员离开飞机做自由落体运动。

运动5s后，打开降落伞，展伞后运动员匀减速下降。

若运动员落地速度为5m/s，取g＝10m/s2：
（1）求运动员展伞时，离地面的高度；
（2）求打开降落伞时速度大小；
（3）求匀减速下降过程中的加速度；
（4）求运动员在空中运动的时间。

17．我国ETC联网正式启动运行，ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以v0＝15m/s朝收费站正常沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在收费线中心线前10m处正好匀减速至v＝5m/s，匀速通过中心
线后，再匀加速至v0正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v0正常行驶．设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2，求：
（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（2）汽车过ETC通道比过人工收费通道节省的时间是多少．
18．飞机起飞时相对于静止空气的速度至少要达到55m/s才能离地，航空母舰行驶的最大速度为15m/s，飞机在航空母舰射起飞过程中的加速度为8m/s2，求航空母舰上的飞行跑道的长度至少为多少。

19．根据我国对机动车运行安全技术标准，一辆满载时总质量在3.5t﹣12t之间的大型汽车，如行驶速度为30km/h，其制动距离必须在8.0m以内．求：
（1）该车制动系统产生的加速度至少为多大？
（2）若该车制动加速度不变，当它以90km/h的速度行驶时，它的制动距离为多大？20．一列汽车车队以v1＝10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以v2＝20m/s的速度同向行驶，当它与车队最后一辆车相距S0＝40m时刹车，以a＝0.5m/s2的加速度做匀减速直线运动，摩托车从车队旁边行驶而过，设车队车辆数n足够多，问：（1）摩托车最多能与几辆汽车相遇？
（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？（结果可用根号表示）
21．一辆汽车正以15m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以5m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为5m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车的距离．
22．现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10m/s，B车在后，其速度v2＝30m/s．因大雾能见度低，B车在距A车600m时才发现前方有A车，此时B
车立即刹车做匀减速运动并同时上报调度中心，但B车要减速1800m才能够停止．（1）B车刹车后做匀减速运动的加速度大小是多少？
（2）A车不采取措施两车会不会相撞？（计算后说明）
（3）若B车刹车8s后，A车接到调度中心命令，立即以加速度a1＝0.5m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？
四．解答题（共2小题）
23．一质点从静止开始做匀加速直线运动，质点在第1s内的位移为3m，求：（1）质点运动的加速度大小？
（2）质点在前3s内的位移为多大？
（3）质点在第3s内的位移为多大？
（4）质点经过12m位移时的速度为多少？
24．摩托车在平直公路上从静止开始启动，a1大小为1.6m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a2大小为6.4m/s2，直到停止，共历时130s，行程1600m、试求：
（1）摩托车行驶的最大速度v max；
（2）若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？
（摩托车最大速度无限制）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：设加速度大小为a，经过A、B、C三点的速度分别为v A、v B、v C，AB＝BC＝x，根据匀加速直线运动的规律可得，
﹣﹣﹣﹣﹣（1）
﹣﹣﹣﹣﹣（2）
﹣﹣﹣﹣﹣（3）
﹣﹣﹣﹣﹣（4）
以上各式联立可得，。

故选：C。

2．【解答】解：根据速度与位移的关系公式v2﹣v02＝2ax
滑到底部时：v2＝2aL
下滑到处：v′2＝2a
所以＝
即v′＝，故A正确，BCD错。

故选：A。

3．【解答】解：由v2＝2ax可知，加速度为：a＝；
再对3s过程由v2＝2a•3s可知其位移为3s时的速度为：v′＝v，故A正确BCD错误；
故选：A。

4．【解答】解：设质点的初速度为v0，质点的速度为：
v＝v0+at＝3v0，
由速度位移公式得：v2﹣v02＝2as，
解得：a＝；
故选：A。

5．【解答】解：A、若△V＝0，物体的速度不变，则物体做匀速直线运动。

故A错误；
BC、△V＞0，物体做加速直线运动，通过任意相等位移的所用时间△t逐渐减小，由加速度a＝知，加速度增大。

故B错误，C正确；
D、若△V＜0，物体做减速直线运动，通过任意相等位移的所用时间△t逐渐增大，由加
速度a＝知，加速度减小，物体做加速度逐渐变小的减速直线运动。

故D错误。

故选：C。

6．【解答】解：设匀加速的加速度a，物体的速度分别为v1、v2和v3
据题得：v2﹣v1＝v3﹣v2＝△v，则v3﹣v1＝2△v
据运动学公式可知：，得（v2﹣v1）（v2+v1）＝2ax1，即△v（v2+v1）＝2ax1；①②
，得（v2﹣v1）（v3+v2）＝2ax1，即△v（v3+v2）＝2ax2；
由②﹣①解得：a＝，故A正确，BCD错误。

故选：A。

7．【解答】解：物体的初速度为v0，加速度为a，末速度为v＝nv0倍，设物体的位移是x 由于题目不涉及时间，我们可以根据位移﹣速度关系式：v2﹣v02＝2ax，
整理得：x＝＝
故选：A。

8．【解答】解：由推导式知，，联立解得V C＝，B 正确。

故选：B。

9．【解答】解：对车头上桥到车头过桥尾的过程，根据速度位移公式有：，对车头上桥到车尾过桥尾的过程，根据速度位移公式有：，
联立两式解得．故D正确，A、B、C错误。

故选：D。

10．【解答】解：（1）设加速度大小为a，经A、C的速度大小分别为v A、v C。

据匀加速直线运动规律可得：
v B2﹣v A2＝2a
v c2﹣v B2＝2a
v1＝＝3m/s
v2＝＝6m/s
联立可得：
v B＝5m/s
故选：C。

二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：舰载机做初速度为零的匀加速直线运动，其能获得的最大速度：v＝m/s＝20m/s
可以用弹射系统使舰载机获得一个初速度或使航母沿舰载机起飞方向运动，使舰载机获得一个初速度，以便使舰载机获得起飞所需的最小速度。

故答案为：20；用弹射系统使舰载机获得一个初速度。

12．【解答】解：汽车过ETC通道：
减速过程有：
加速过程与减速过程位移相等，则有：
解得：x＝210m
汽车过ETC通道的减速过程有：
总时间
汽车过人工收费通道有：
所以二者的位移差为：
则有：
故答案为：210m 27
13．【解答】解：设AB＝BC＝x，AB段时间为t1，BC段时间为t2，根据知AB 段：，BC段为＝
则t1：t2＝7：3，根据a＝＝知AB段加速度a1＝，BC段加速度a2＝，则球在AB、BC段的加速度大小之比为9：7；
根据＝知AC的平均速率＝＝＝2.1m/s．
故答案为：9：7，2.1m/s．
14．【解答】解：位移为：x＝x1+x2＝＝8×2+4×2＝24m；
匀变速直线运动中，平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故加速度为：a＝
；
故答案为：24，2．
15．【解答】解：子弹做末速度为零的匀减速直线运动，根据位移速度关系公式，有：穿过两块木块过程：v2＝2a×2L ①
穿过第二块木块过程：＝2aL ②
联立解得：v1＝v；
若要穿透三木块，有：
v＝2a×3L ③
由①③解得：v2＝
故答案为：v，．
三．计算题（共7小题）
16．【解答】解：（1）运动员做自由落体运动的位移为：
所以此时运动员离高度为：H＝224﹣125m＝99m
（2）打开降落伞时的速度为：
v1＝gt＝10×5m/s＝50m/s
（3）匀减速下降过程有：
v2﹣v02＝2aH
所以运动员下落的加速度为
（4）根据速度时间关系为：v＝v0+at
减速运动的时间为：
运动员在空中运动的时间为t″＝t′+t＝5+3.6s＝8.6s
答：（1）运动员展伞时，离地面的高度为99m；
（2）打开降落伞时速度大小为50m/s；
（3）匀减速下降过程中的加速度大小是12.5m/s2；
（4）展伞后运动员经8.6s时间落地。

17．【解答】解：（1）汽车过ETC通道：减速过程有：v2﹣v02＝﹣2ax减加速过程与减速过程位移相等，则有：x＝2x减+d
解得：x＝210 m
（2）汽车过ETC通道的减速过程有：v＝v0﹣at减
得所以总时间为：t1＝2t减+＝2+＝22S
汽车过人工收费通道有：
＝50S
＝225m
所以二者的位移差为：△s＝s2﹣s1＝225﹣210m＝15m．
则有：＝27S
答：（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移为210m；
（2）汽车过ETC通道比过人工收费通道节省的时间是27S．
18．【解答】解：航空母舰行驶的最大速度为v0＝15m/s，飞机起飞的末速度为v＝55m/s 当航空母舰以最大速度时，飞机加速的时间t＝＝s＝5s
航空母舰上的飞行跑道的长度至少为L＝t﹣＝＝×5m＝137.5m
答：航空母舰上的飞行跑道的长度至少为137.5m。

19．【解答】解（1）汽车的初速度：v0＝30km/h＝m/s，
由匀变速直线运动的速度位移公式：v2﹣v02＝2ax可知加速度为：
a＝＝＝﹣4.34m/s2，
加速度大小为：4.34m/s2；
（2）当行驶速度V1＝90km/h＝25m/s时，制动距离为：
x1＝＝＝72m；
答：（1）该车制动系统产生的加速度大小至少为4.34m/s2．
（2）若该车制动加速度不变，当它以90km/h的速度行驶时，它的制动距离为72m．20．【解答】解：（1）摩托车刹车到停止运动的时间为t0＝＝40s
当摩托车速度减为10m/s时，设用时为t，摩托车行驶的距离为x1，每辆汽车行驶的距离都为x2。

由速度公式得：v2＝v1﹣at
解得t＝20 s
由速度位移公式得：v22﹣v12＝﹣2ax1
解得x1＝300 m，x2＝v2t＝200 m
摩托车与最后一辆汽车的距离：△x＝（300﹣200﹣40）m＝60 m
故摩托车追上的汽车数n＝+1＝3.4，则追上汽车3辆。

（2）设摩托车追上最后一辆汽车的时刻为t1，最后一辆汽车超过摩托车的时刻为t2。

则：S0+v1t＝v2t﹣at2
解得：t1＝（20﹣4）s，t2＝（20﹣4）s
故摩托车从赶上车队到离开车队，共经历时间为△t＝t2﹣t1＝8s。

答：
（1）摩托车最多能与3辆汽车相遇。

（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历8s时间。

21．【解答】解：设汽车关闭发动机后离自行车的距离为x0，汽车经过t时间恰好不碰到自行车，则：
位移关系有：x汽＝x0+x自
由运动学公式有：
x汽＝v0t+at2
x自＝v自t
速度关系有：v自＝v0﹣at
得：x0＝10m
答：关闭油门时汽车离自行车的距离是10m．
22．【解答】解：（1）设B车做匀减速运动的加速度大小为a2，根据运动学公式有0﹣v22＝﹣2a2△x
解得：a2＝0.25 m/s2
（2）设经过t两车速度相等由v B＝v2﹣a2t＝v1
代入数据有30＝10﹣0.25×t，得t＝80s
这个过程中B的位移为x B＝v2t﹣a2t2＝30×80﹣×0.25×802＝1600m
A的位移x A＝v1t＝10×80m＝800m
因x B大于x A+600m，所以会相撞．
（3）以B车开始刹车开始计时，8s后，A车加速，B车减速，速度分别为
A车速度：v A＝v1+a1（t﹣t0），B车速度：v B＝v2﹣a2t．
当两车速度相等时，有v2﹣a2t＝v1+a1（t﹣t0）
代入数值解得t＝32 s，
在此过程中A车先匀速后匀加速，A车匀速位移x A1＝v1t0＝10×8m＝80m，
A车匀加速位移x A2＝v1（t﹣t0）+a1（t﹣t0）2
代入数据解得x A2＝384m
A车前进总位移为x A＝x A1+x A2＝464m
B车一直做匀减速运动，前进的位移为x B＝v2t﹣a2t2
代入数据解得x B＝832 m
因x A+x0＞x B，故不会发生撞车事故，
此时△x＝x A+x0﹣x B＝232 m．
答：
（1）B车刹车后做匀减速运动的加速度大小是0.25 m/s2．
（2）A车不采取措施两车会相撞．
（3）可以避免事故．若能够避免则两车最近时相距为232 m．
四．解答题（共2小题）
23．【解答】解：（1）根据得，质点运动的加速度a＝．（2）质点在前3s内的位移，
（3）质点在第3s内的位移．
（4）根据速度位移公式得，质点的速度v＝．
答：（1）质点运动的加速度大小为6m/s2；（2）质点在前3s内的位移为27m；（3）质点在第3s内的位移为15m；（4）质点经过12m位移时的速度为12m/s．
24．【解答】解：（1）整个运动过程分三个阶段：匀加速运动、匀速运动、匀减速运动．设所用的时间分别为：t1、t2、t3，则最大速度v m＝a1t1，
加速过程平均速度，
匀速过程速度一直为v m
减速阶段平均速度为：
所用全程的位移等于：
t1+v m t2+t3＝1600 ①
由速度时间关系v m＝a1t1＝a2t3，
解得：t1＝②
t3＝③
t2＝130﹣t1﹣t3④
由①②③④解得：v max＝12.8m/s
（2）若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间对应的过程为：先匀加速达到某一速度，接着做匀减速运动直到停止．
匀加速过程由速度时间关系：v2＝2a1x1，
匀减速过程看其逆过程：v2＝2a2x2，
又由：x1+x2＝1600
v＝a1t1，
v＝a2t2，
所以t＝t1+t2＝50s
答：（1）摩托车行驶的最大速度12.8m/s，
（2）若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为50s．。