八年级数学上册 第11章 三角形 等边三角形课后作业 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上

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等边三角形
1. 关于等边三角形的说法:
(1)等边三角形有三条对称轴;
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
(3)有两个角等于60°的三角形是等边三角形;
(4)等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等.
其中正确的说法有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图,D是等边△ABC的边AB上的一点,CD=BE,∠1=∠2,则△ADE是()
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是()
A.6
B.8
C.9
D.10
4.如图,在△ABC中,点A关于BD的对称点为点E,点B关于DE的对称点为C,∠CBD=30°,AC=9,则AD的长为()
A.5
B.4
C.3
D.2
5.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t <6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为()
A.2
B.3.5
C.3.5或4.5
D.
6.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.则四个结论:①AD=BE;②∠OED=∠EAD;③∠AOB=60°;④DE=DP中错误的是()A.①B.②C.③D.④
7.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BE⊥AC于E,延长BC到D,使CD=CE,连接DE,若△ABC的周长是24,BE=a,则△BDE的周长是
9.如图,已知O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6:5:4,在以OA、OB、OC为边的三角形中,此三边所对的角的度数是
10.如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)求证:△ODE是等边三角形.
(2)线段BD、DE、EC 三者有什么数量关系?写出你的判断过程.
11.如图,在等边△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC上.
(1)如果AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,求证:△DEF是等边三角形;
(2)如果AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,△DEF仍是等边三角形吗?
(3)直接写出D、E、F三点满足什么条件时,△DEF是等边三角形.
12.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
等边三角形课后作业
参考答案
1. 解析:根据利用等边三角形的性质分析即可
解:根据等边三角形的性质:(1)等边三角形三条边都相等,三个内角都相等,每一个角为60度;
(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一);(3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;
由此分析判定(1)(2)(3)(4)都正确,
所以正确的说法有4个,
故选D
2.解析:证明△ADE是哪一种三角形,可以从三边AD,AE,DE入手.
解:因为△ABC为等边三角形,
所以∠ABC=60°.
又因为CD=BE,∠1=∠2,且AC=AB,
所以△ADC≌△AEB,
所以AD=AE,∠EAD=∠CAB=60°,
所以△ADE为等边三角形.
故选C.
3.解析:根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案.
解:①∵∠1=∠2=22.5°,
又∵AD是高,∴∠2+∠C=∠3+∠C,∴∠1=∠3,
②∵∠1=∠2=22.5°,∴∠ABD=∠BAD,∴AD=BD,
又∵∠2=∠3,∠ADB=∠ADC,∴△BDH≌△ADC,∴DH=CD,∵AB=BC,
∴BD+DH=AB,
③无法证明,④可以证明,故选C
4. 解析作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6,DE=2,进而得出△BEM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.
解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=,
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,
∵BE=6,DE=2,
∴DM=4,
∵△BEM 为等边三角形,
∴∠EMB=60°,
∵AN ⊥BC ,
∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=30°,
∴NM=2,
∴BN=4,
∴BC=2BN=8,
故选B
5. 解析:由Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,可求得AB 的长,由D 为BC 的中点,可求得BD 的长,然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时,去分析求解即可求得答案.解:∵Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,
∴AB=2BC=4(cm ),
∵BC=2cm ,D 为BC 的中点,动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,
∴BD=2
1BC=1(cm ),BE=AB-AE=4-t (cm ), 若∠BED=90°,
当A→B 时,∵∠ABC=60°,
∴∠BDE=30°,
∴BE=21BD=2
1(cm ), ∴t=3.5,
当B→A 时,t=4+0.5=4.5.
若∠BDE=90°时,
当A→B时,∵∠ABC=60°,
∴∠BED=30°,
∴BE=2BD=2(cm),
∴t=4-2=2,
当B→A时,t=4+2=6(舍去).
综上可得:t的值为2或3.5或4.5.
故选D.
6. 解析:根据等边三角形的性质就可以得出△ACD≌△BCE,∠ACB=∠CED=60°,就有BC∥DE,∠OED=∠CBE,由∠CBE=∠CAD而得出结论,∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP >∠DCP=60°而得出DE≠DP从而得出结论.
解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC=DE,∠ACB=∠DCE=∠DEC=60°,
∴BC∥DE,∠ACB+BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠OED=∠CBE,∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE在AC=BC, ∠ACD=∠BCE, EC=DC
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE.AD=BE,故①正确;
∴∠OED=∠②正确.
∵∠AOB=∠EAD+∠AEO,
∴∠AOB=∠CBE+∠AEO.
∵∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°,
∴∠AOB=60°.故③正确
∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠BCD=60°.
∵∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP >∠DCP=60°,
∴④错误.
故选D
7.解析:根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数.解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∠ACD=120°,
∵CG=CD ,
∴∠CDG=30°,∠FDE=150°,
∵DF=DE ,
∴∠E=15°.
故答案为:15
8.解析:根据在△ABC 中,AB=AC ,∠A=60°,可得△ABC 的形状,再根据△ABC 的周长是24,可得AB=BC=AC=8,根据BE ⊥AC 于E ,可得CE 的长,∠EBC=30°,根据CD=CE ,可得∠D=∠CED ,根据∠ACB=60°,可得∠D ,根据∠D 与∠EBC ,可得BE 与DE 的关系,可得答案.解:∵在△ABC 中,AB=AC ,∠A=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∵△ABC 的周长是24,
∴AB=AC=BC=8,
∵BE ⊥AC 于E ,
∴CE=21AC=4,∠EBC=2
1∠ABC=30°, ∵CD=CE ,
∴∠D=∠CED ,
∵∠ACB 是△CDE 的一个外角,
∴∠D+∠CED=∠ACB=60°
∴∠D=30°,
∴∠D=∠EBC,
∴BE=DE=a,
∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+(8+4)=2a+12,
故答案为:2a+12.
9. 解析:求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数,将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO'B,连接OD O',证等边三角形BOO',推出△BOO'即是以OA,OB,OC为边长构成的三角形即可.
解:∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°且∠AOB:∠BOC:∠AOC=6:5:4,
∴∠AOB=144°,∠BOC=120°,∠AOC=96°,
将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B,连接OO′,
∵△AO′B≌△AOC,
∴∠AO′B=∠AOC=96°,O′B=OC,AO′=AO,
∵∠OAO′=60°(将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B),AO=AO′,
∴△AOO′是等边三角形,
∴OO′=AO,
∴△BOO′即是以OA,OB,OC为边长构成的三角形,
∵∠AOO′=∠AO′O=60°,
∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144°-60°=84°,
∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96°-60°=36°,
∠O′BO=180°-84°-36°=60°,
以OA,OB,OC为三边所构成的三角形中,
三边所对的角度分别是60°,36°,84°.
故答案为:36°或60°或84°
10. 解析:(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形;(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB,根据等角对等边可得到DB=DO,同理可证明EC=EO,因为DE=OD=OE,所以BD=DE=EC;
(3)根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠A CB=60°,
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形;
(2)BD=DE=EC,
其理由是:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,
∴∠ABO=∠OBD=30°,
∵OD∥AB,
∴∠BOD=∠ABO=30°,
∴∠DBO=∠DOB,
∴DB=DO,
同理,EC=EO,
∵DE=OD=OE,
∴BD=DE=EC;
11. 解析:(1)根据等边△ABC中AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF≌△BED≌△CFE,即可得出:△DEF是等边三角形.
(2)根据等边△ABC中AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF ≌△BED≌△CFE,即可得出:△DEF是等边三角形.
(3)根据等边△ABC中AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF ≌△BED≌△CFE,即可得出:△DEF是等边三角形.
解:(1)∵△ABC为等边三角形,且AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,
∴AD=BE=CF,AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,
∴△DEF是一个等边三角形.
(2)∵△ABC为等边三角形,且AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,
∴AD=BE=CF,AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,
∴△DEF是一个等边三角形.
(3)当AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF时,△DEF是等边三角形.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,且AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF,
∴AD=BE=CF,AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,
∴△DEF是一个等边三角形.
12.解析:(1)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数,由此即可判定△AOD的形状;
(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
解:(1)∵△OCD是等边三角形,
∴OC=CD,
而△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∵∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
在△BOC与△ADC中,
∵OC=CD, ∠BCO=∠ACD, BC=AC
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
而∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°-60°=90°,
word
∴△ADO是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,a+d=50°∠DAO=50°,∴b-d=10°,
∴(60°-a)-d=10°,
∴a+d=50°,
即∠CAO=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°-α=50°,
∴α=140°.
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形.
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