八年级数学上册 第11章 三角形 等边三角形课后作业 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上

等边三角形
1. 关于等边三角形的说法：
（1）等边三角形有三条对称轴；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等.
其中正确的说法有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（）
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）
A.6
B.8
C.9
D.10
4.如图，在△ABC中，点A关于BD的对称点为点E，点B关于DE的对称点为C，∠CBD=30°，AC=9，则AD的长为（）
A.5
B.4
C.3
D.2
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t ＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）
A.2
B.3.5
C.3.5或4.5
D.
6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.则四个结论：①AD=BE；②∠OED=∠EAD；③∠AOB=60°；④DE=DP中错误的是（）A.①B.②C.③D.④
7.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是
9.如图，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6：5：4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是
10.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）求证：△ODE是等边三角形.
（2）线段BD、DE、EC 三者有什么数量关系？写出你的判断过程.
11.如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上.
（1）如果AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如果AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，△DEF仍是等边三角形吗？
（3）直接写出D、E、F三点满足什么条件时，△DEF是等边三角形.
12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD.
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
等边三角形课后作业
参考答案
1. 解析：根据利用等边三角形的性质分析即可
解：根据等边三角形的性质：（1）等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线；
由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正确，
所以正确的说法有4个，
故选D
2.解析：证明△ADE是哪一种三角形，可以从三边AD，AE，DE入手.
解：因为△ABC为等边三角形，
所以∠ABC=60°.
又因为CD=BE，∠1=∠2，且AC=AB，
所以△ADC≌△AEB，
所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60°，
所以△ADE为等边三角形.
故选C.
3.解析：根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案.
解：①∵∠1=∠2=22.5°，
又∵AD是高，∴∠2+∠C=∠3+∠C，∴∠1=∠3，
②∵∠1=∠2=22.5°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，
又∵∠2=∠3，∠ADB=∠ADC，∴△BDH≌△ADC，∴DH=CD，∵AB=BC，
∴BD+DH=AB，
③无法证明，④可以证明，故选C
4. 解析作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM 为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN ⊥BC ，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8，
故选B
5. 解析：由Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，可求得AB 的长，由D 为BC 的中点，可求得BD 的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案.解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，
∴AB=2BC=4（cm ），
∵BC=2cm ，D 为BC 的中点，动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，
∴BD=2
1BC=1（cm ），BE=AB-AE=4-t （cm ）， 若∠BED=90°，
当A→B 时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=21BD=2
1（cm ）， ∴t=3.5，
当B→A 时，t=4+0.5=4.5.
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4-2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）.
综上可得：t的值为2或3.5或4.5.
故选D.
6. 解析：根据等边三角形的性质就可以得出△ACD≌△BCE，∠ACB=∠CED=60°，就有BC∥DE，∠OED=∠CBE，由∠CBE=∠CAD而得出结论，∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP ＞∠DCP=60°而得出DE≠DP从而得出结论.
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC=DE，∠ACB=∠DCE=∠DEC=60°，
∴BC∥DE，∠ACB+BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠OED=∠CBE，∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE在AC=BC, ∠ACD=∠BCE, EC=DC
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE.AD=BE，故①正确；
∴∠OED=∠②正确.
∵∠AOB=∠EAD+∠AEO，
∴∠AOB=∠CBE+∠AEO.
∵∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°，
∴∠AOB=60°.故③正确
∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=60°.
∵∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP ＞∠DCP=60°，
∴④错误.
故选D
7.解析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数.解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD ，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE ，
∴∠E=15°.
故答案为：15
8.解析：根据在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，可得△ABC 的形状，再根据△ABC 的周长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE ⊥AC 于E ，可得CE 的长，∠EBC=30°，根据CD=CE ，可得∠D=∠CED ，根据∠ACB=60°，可得∠D ，根据∠D 与∠EBC ，可得BE 与DE 的关系，可得答案.解：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵△ABC 的周长是24，
∴AB=AC=BC=8，
∵BE ⊥AC 于E ，
∴CE=21AC=4，∠EBC=2
1∠ABC=30°， ∵CD=CE ，
∴∠D=∠CED ，
∵∠ACB 是△CDE 的一个外角，
∴∠D+∠CED=∠ACB=60°
∴∠D=30°，
∴∠D=∠EBC，
∴BE=DE=a，
∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12，
故答案为：2a+12.
9. 解析：求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数，将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO'B，连接OD O'，证等边三角形BOO'，推出△BOO'即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形即可.
解：∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°且∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，
将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B，连接OO′，
∵△AO′B≌△AOC，
∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，
∵∠OAO′=60°（将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B），AO=AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴OO′=AO，
∴△BOO′即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，
∵∠AOO′=∠AO′O=60°，
∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144°-60°=84°，
∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96°-60°=36°，
∠O′BO=180°-84°-36°=60°，
以OA，OB，OC为三边所构成的三角形中，
三边所对的角度分别是60°，36°，84°.
故答案为：36°或60°或84°
10. 解析：（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC；
（3）根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可.
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A CB=60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE是等边三角形；
（2）BD=DE=EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC；
11. 解析：（1）根据等边△ABC中AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形.
（2）根据等边△ABC中AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF ≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形.
（3）根据等边△ABC中AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF ≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等边三角形.
解：（1）∵△ABC为等边三角形，且AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形.
（2）∵△ABC为等边三角形，且AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形.
（3）当AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF时，△DEF是等边三角形.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，且AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形.
12.解析：（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵OC=CD, ∠BCO=∠ACD, BC=AC
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
word
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b-d=10°，
∴（60°-a）-d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°.
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形.
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