最新版初中数学教案《三角形的内角》精品教案(2022年创作)

——三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定
一、新课导入
1.导入课题：
前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.
2.学习目标：
〔1〕通过经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理.
〔2〕能运用平行线的性质证明内角和定理.
〔3〕能应用三角形内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与判定.
3.学习重、难点：
重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角形的性质与判定.
难点：三角形内角和定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导：
〔1〕自学内容：探究验证三角形内角和等于180°的方法.
〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学要求：动手完成实验活动，得出三角形的内角和定理，并能证明这一定理.
〔4〕探究提纲：
①拼一拼:
在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码〔如图〕，并将它的内角剪下将顶点拼合在一起，试一试看怎么样？
拼成了一个平角.
②议一议：
从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流.
△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 从中得出：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。

③想一想：
如果我们不用剪、拼的方法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？如果有困难的话不妨先完成如下的填空，再答复.
：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如右图，过点A作直线DE，使DE∥BC
∵DE∥BC，
∴∠B=∠DAB〔两直线平行，内错角相等〕
同理∠C=∠EAC〔两直线平行，内错角相等〕
∵∠BAC、∠DAB、∠EAC组成平角，
∴∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°〔平角定义〕
∴∠BAC + ∠B + ∠C=180°〔等量代换〕
④记一记：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，添加的辅助线通常用虚线〔选“实线〞或“虚线〞〕来表示.
⑤思考：你能从拼图中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？
2.自学:同学们可结合探究提纲进行自主探究学习.
3.助学:
〔1〕师助生：
①明了学情：“三角形的内角和为180°〞在小学四年级已经接触过，学生并不陌生，但学生对添加辅助线证明内角和定理仍存在难度，
教师对此应予关注.
②差异指导：引导学生回忆前面学习过的知识之中，有哪些知识涉及到180°.
〔2〕生助生：学生相互查看拼图及论证过程,并对错误的学生进行指导.
4.强化:
〔1〕三角形内角和定理及证明方法.
〔2〕教材第16页复习稳固第1题.
1.自学指导：
〔1〕自学内容：教材第12页到第13页例1、例2.
〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学要求：认真阅读例题条件和问题，学习例题的解答过程.
〔4〕自学参考提纲：
①把例1 的条件在图形中标示出来.
②找准例2中的方位角，并在图形上标示出来.
③还有哪些角没有弄清楚，做上记号，组内交流.
④试着独立完成例2，组内评一评.
2.自学:结合自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生：
①明了学情：例1学生会很快独立地完成.例2中由于出现的方位角较多，学生容易混淆，需要重点关注.
②差异指导：帮助学习困难的学生，一句一句分析例2中所描述的方位角，并对照图形找出来.
(2)生助生：不清楚、不明白的地方互助交流.
4.强化:
〔1〕三角形内角和定理及应用.
〔2〕方位角的意义及应用.
1.自学指导：
〔1〕自学内容：教材第13页到第14页“练习〞之前的内容.
〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学要求：动手完成推导的过程，能说出得出结论的依据.
〔4〕自学参考提纲：
①如图，用符号表示以下直角三角形.
Rt△ABC Rt△PMQ
②三角形的内角和定理在直角三角形中是否适用？直角三角形两锐角之间存在什么关系？写出证明过程.
证明：因为直角三角形中有一个直角，且内角和为180°，所以另外两锐角的和为90°.
结论：直角三角形的两个锐角互余.
根据以下列图形，把上述结论改写成几何语言：
在△ABC中,∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.
③独立阅读例3 的解答过程，你知道例3中运用了直角三角形的什么性质？这个性质反过来也成立吗？
例3中运用了直角三角形两个锐角互余的性质，这个性质反过来也是成立的.
④直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
结合右图把上述语句改写成几何语言：
在△ABC中,
∵∠B+∠C=90°.
∴△ABC是直角三角形.
2.自学:结合自学指导进行自学.
3.助学:
〔1〕师助生：
①明了学情：本节内容比较容易，学生能通过自学掌握本节知识.
②差异指导：在解答例3时，引导学生寻找题目中的隐含条件.
〔2〕生助生：学生之间相互交流，帮助解决学习疑点及存在的问题.
4.强化:
〔1〕回忆直角三角形的性质及判定.
〔2〕教材第14页“练习〞.
练习1：∠ACD=∠B.∵∠BCD+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.
练习2：△ADE是直角三角形.∵∠C=90°,∴∠2+∠A=90°,又∵∠1=∠2，∴∠1+∠A=90°,∴∠ADE=90°.∴△ADE是直角三角形.
三、评价
1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：学生代表交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
〔1〕表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的缺乏进行点评.
〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价〔教学反思〕：
本课时教学思路按猜想、实验、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分表达了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，
并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.
一、根底稳固〔每题10分，共60分〕
1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,那么∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD是∠C的角平分线，图中有3个等腰三角形.
3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=50°，AD、DE分别是∠BAC、∠ADC的角平分线，那么∠DEC=〔D〕
A.45°
B.50°
C.60°
D.85°
△ABC，一腰上的高与另一腰的夹角为40°,那么这个等腰△ABC 的顶角度数为50°或130°.
∶7∶4，那么这个三角形是〔C〕
6.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，那么图中除直角外相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD.
二、综合应用〔每题10分，共20分〕
7.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,∠C=65°,BD⊥AC于D，求∠ABD,∠CBD的度数.
解：∵∠ABC=70°,∠C=65°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°.
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠CDB=90°,
∴∠ABD=90°-∠A=∠45°,∠CBD=90°-∠C=25°.
8.△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∠A=100°,求∠BDC的度数.
解：∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠DBC+∠DCB=12〔∠ABC+∠ACB〕.
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.
∴∠DBC+∠DCB=40°，
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=140°.
三、拓展延伸〔20分〕
9.如图,AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，试问：∠AEC的度数是多少？
解：∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,
∴∠EAC+∠ECA=12(∠BAC+∠ACD)=90°,
∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=90°.
第4课时
教学内容
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕及其运用．
教学目标
理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重难点、关键
1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕及其运用．
2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
〔学生活动〕请同学们完成下面三题．
1．点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕
二、探索新知
〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A 〔-3，1〕、B 〔-4，0〕、C 〔0，3〕、•D 〔2，2〕、E 〔3，-3〕、F 〔-2，-2〕，作出A 、B 、C 、D 、E 、F 点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：
这些坐标与点的坐标有什么关系？ 老师点评：画法：〔1〕连结AO 并延长AO 〔2〕在射线AO 上截取OA ′=OA
〔3〕过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点，过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″． ∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等 ∴AD ′=A ′D ″，OA=OA ′ ∴A ′〔3，-1〕
同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． 〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．
例1．如图，利用关于原点
对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． 分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作出点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可．
解：点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点为P ′〔-x ，-y 〕， 因此，线段AB 的两个端点A 〔0，-1〕，B 〔3，0〕关于原点的对称点分别为A ′〔1，0〕，B 〔-3，0〕．
连结A ′B ′．
那么就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′． 〔学生活动〕例2．△ABC ，A 〔1，2〕，B 〔-1，3〕，C 〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A 、B 、C 三点并连结组成△ABC ，要作出△ABC 关于原点O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的A 、B 、C 三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A ′B ′C ′． 三、稳固练习 教材 练习． 四、应用拓展
例3．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．
〔1〕在图中画出直线A 1B 1．
〔2〕求出线段A 1B 1中点的反比例函数解析式．
〔3〕是否存在另一条与直线AB 平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 值相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由． 分析：〔1〕只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1，连结A 1B 1． 〔2〕先求出A 1B 1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=
k
x
代入求k ． 〔3〕要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A 1B 1与双曲线是相切的，只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2，连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线． 解：〔1〕分别作出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1〔1，0〕，B 1〔2，0〕
，连
结A 1B 1，那么直线A 1B 1就是所求的． 〔2〕∵A 1B 1的中点坐标是〔1，12
〕 设所求的反比例函数为y=k x
那么
12=1k ，k=12
∴所求的反比例函数解析式为y=12x
〔3〕存在．
∵设A 1B 1：y=k′x+b′过点A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕
∴1`02b k b =⎧⎨=+⎩ ∴`1
1`2
b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩
∴y=-1
2
x+1
把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕得： A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕关于原点的对称点分别为A 2〔0，-1〕，B 2〔-2，0〕 ∵A 2B 2：y=kx+b
∴102`b k b -=⎧⎨=-+⎩ ∴121
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
∴A 2B 2：y=-1
2
x-1
下面证明y=-1
2x-1与双曲线y=1
2x
相切
1121
2
y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
-12x-1=12x ⇒x+2=-1x ⇒ x 2+2x+1=0，b 2-4ac=4-4×1×1=0
∴直线y=-1
2x-1与y=1
2x
相切
∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等
∴A 2B 2与A 1B 1平行 ∴A 2B 2：y=-
1
2
x-1为所求． 五、归纳小结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 〔x ，y 〕，•关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕，及其利用这些特点解决一些实际问题．
六、布置作业
1．教材 复习稳固3、4． 2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是〔〕 A ．y=
1
x
B ．y=2x+1
C ．y=-2x+1
D ．以上三种都不可能 2．如图，矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，那么矩形边长中较长的一边等于〔〕
A ．8cm
B ．22cm
C ．24cm
D ．11cm 二、填空题
1．如果点P 〔-3，1〕，那么点P 〔-3，1〕关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______． 2．写出函数y=-
3x 与y=3
x
具有的一个共同性质________〔用对称的观点写〕． 三、综合提高题
1．如图，在平面直角坐标系中，A 〔-3，1〕，B 〔-2，3〕，C 〔0，2〕，画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．
2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1． 〔1〕在图中画出直线A 1B 1；
〔2〕求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；
〔3〕是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由． 答案:
一、1．A 2．B 二、1．〔3，-1〕 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A ″B ″C ″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．〔1〕如右图所示，连结A 1B 1； 〔2〕A 1B 1中点P 〔1.5，-1.5〕，设反比例函数解析式为y=
k x ，那么y=-2.25
x
．
〔3〕A 1B 1：设y =k 1x+b 1113033b k =-⎧⎨=-⎩111
3
k b =⎧⎨
=-⎩ ∴y=x+3
∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25
x
相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3，
下面证明y=x+3与y=-2.25
x
相切， ⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，
∴y=x+3与y=-2.25
x
相切．。