达朗贝尔定理
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M 0 ,F h m g c F ( b c ) 0 ( 1 ) B g N A
a
A
FNA
M 0 ,F h m g b F ( b c ) 0 ( 2 ) A g N B
FNA FNB m ( gc ah ) bc m ( gb ah ) bc
y y
惯性力分别为:Fg1=m1a
Fg 2=m2a
1 2 a 1 mr mar 2 r 2
MgO
FN N
r O O
FF
gg 11
α
惯性力偶矩: MgO=JO α =
y
F 0 , F m g m g m g FF 0 N 1 2 g 1 g 2
B
O
mg
A
m ( F ) 0 ,( m g FFm g ) rM 0 1 g 1 g 2 2 g O
在任意瞬时,作用于质点系的主动力、约束力和该
点的惯性力所构成力系的主矢等于零,该力系对任 一点O的主矩也等于零。 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进 行,而不限于对整个质点系,因此,该式并不表示仅 有6个平衡方程,而是共有3n个独立的平衡方程。同 时注意,在求和过程中所有内力都将自动消去。
O
F ma mr gR O
1 2 M J mr gO O 2
注 意
•惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 •惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
惯性力系主矢: F F m a m a g gi i i C
—与简化中心选取无关
惯性力系主矩: M M F gO O gi
P
B
J ml 2 由于加速度提升重物 r 而对支座 A , B 的附加压 a J ' 力等于附加动反力分别为: F B ml 1 l1 l 2 r a l1 l 2
B
例题 如图所示,匀质圆盘的半径为
r,质量为m,可绕水平轴O转动。突 然剪断绳,求圆盘的角加速度和轴
A
l1
P
B
l2
解:以整体为研究对 象,受力如图所示, 根据动静法:
惯性力为: a M g J J r F g ma
M ( F ) 0
B
M
FA
g
。
F
B
A
a
Fg
mg
P
B
F ( l l2) F A 1 gl 2 mgl 2 Pl 3 M g 0
F 0 ,
y
F F mg P F 0 A B g
a
m2 2g
a m1 1g
F mg m g m g m a m a 0 N 1 2 1 2
a m 1 m 2 g 1 m m m 1 2 2
F
gg 22
例 电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁合重 P , 如图所示。绞盘与电机转子固结 在一起,转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。 已知重物质量为m,绞盘半径为R。求由于加速度提 升重物而对支座A,B的附加压力。 R 。
2.刚体绕定轴转动
刚体有对称面, 且转轴与对称面垂直。
n F m a m ( a a gi ii i i i)
向转轴O点简化 主矢
mac F m gR ia i
n F F gR gR
主矩 M M ( F ) gO O gi
d 2 ri ai 2 dt
第 五 章
§5–1 达朗贝尔原理 §5–2 惯性力系的简化
达 朗 贝 尔 原 理
§5–3 动静法应用举例 §5–4 定轴转动刚体对轴承的动压力 ●转子的静平衡和动平衡
§5-1 达朗贝尔原理
一、质点达朗贝尔原理 设质量为m的非自由质点 M,在主动力F和约束力 FN作用下沿曲线运动,
FN
Fg B M ma A F a
向质心简化
m aC ● 主矢 F g c
● 主矩
M JCz g C
§5-3 动静法应用举例
例题汽车连同货物的总质量是m ,其质心C离前后轮 的水平距离分别是b和c,离地面的高度是h。当汽车以 加速度a沿水平道路行驶时,求地面给前、后轮的铅 直反力。轮子的质量不计。
C
h
B
c
b
A
研究对象:汽车连同货物 汽车受到的外力: Fg C 重力 G, FNA 、 FNB 以及水平摩擦 h mg FB 力 FB (注意:前轮 c b B 一般是被动轮,当 忽略轮子质量时, FNB 其摩擦力可以不 计)。 惯性力系合成: Fg= ma
例 题 如图所示, 匀 质滑轮的半径为 r ,质量 为 m ,可绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端
O r
各挂质量为 m1 ( A )和 m2
(B)的重物,且m1 >m2 。 绳的重量不计,绳与滑轮
A
B
之间无相对滑动,轴承摩
擦忽略不计。求重物的加 速度和轴承反力。
解:系统为研究对象
受力:重力m1g,m2g,mg,轴承约束反力FN。
合力大小: 位置:
Fg2
m2 Fg1
m1
F gR
F F m a m aC gR gi i C
Fgn
a2 C aC m an
n
a1
M ( F ) M ( F ) r m a O gR O gi i i C
m r a i i c 结论:平动刚体的惯性力系可 以简化为通过质心的合 m r a c c 力,其大小等于刚体的 r m a c c 质量与加速度的乘积, rc F gR 方向与加速度方向相反。
mac
M M M ( F ) g C g O c g R
M M ( F ) g O c g R
’
2 J ( F r ) J mr z gR C z C
2 ( J mr ) z C
JC
结论:刚体绕与对称面垂直的定轴转动时,惯性力 系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于mac,方向与ac方向相反,作用在轴 (质心)上;该力偶的矩等于Jz (JC ),方向 与 相反。
例:图示均质杆AB质量为m,长 为l,绕O点作定轴转动,角 速度为,角加速度为,计 算杆上惯性力系向O点和质 心C简化的结果。 解:运动分析 l l n aC aC 2 2 2 l 4 2 a C 2 向O点简化 ml 4 2 F ma gR C 2 向质心C简化 ml 4 2 ' F ma gR C 2
3.刚体作平面运动
刚体有对称面,且平 行与对称面运动
C C
C
F m gi ia i
n m ( a a a i C iC iC )
向质心C点简化 主矢 主矩
F m gR ia i
mac
M M ( F ) gC C gi
) n [ M ( F ) M ( F M ( F )] CgC CgiC CgiC
与简化中心选取有关刚体作平面运动刚体作平面运动gccz主矩gc向质心简化向质心简化刚体作平动刚体作平动向质心简化向质心简化刚体做定轴转动刚体做定轴转动对转轴的主矩向固定轴简化向固定轴简化例题汽车连同货物的总质量是m其质心c离前后轮的水平距离分别是b和c离地面的高度是h
第五章 达朗贝尔原理
达朗贝尔原理又称为“动静法”
D 2 an 运动分析: 2 D 2 d F A d s a A ds g n 2 2
F2
y d
dFg
F1
x
D A2d 4 π
2 0
F 0 : x
F cos F 0 d g 2
2 2 D π D 2 2 2 F A sin sin 0 A Av 2 4 2 4 π
F 0 : y
2 0
F sin F 0 d g 1
2 2 D π D 2 2 2 F A cos cos 0 A Av 1 4 2 4
§ 5-2 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动
F m m gi ia i ia c
惯性力
任何物体都将给予企图改变它运 动状态的任何其他物体以阻力.
F
Fg
Fg
F
a
F Fg
Fm a
动力学问题
F m a F F 0 g
形式上的静力平衡
F m a —惯性力作用在使物体(小车)产 g
生加速度的施力物体(推车人)
例:电机护环直径D,环截面面积A,材料密度 (kg/m3),转子角速度=常数。求:护环截面张力。 解:研究对象:四分之一护环
2 M ( F ) m a r m r JC C giC i iC iC i iC
例:图示均质圆轮半径为r,质量为m,沿水平面作无 滑动的滚动,角速度为,角加速度为,计算圆 轮上惯性力系向圆心O简化的结果。
解:运动分析
aO r
向圆心O简化
—与简化中心选取有关
1. 刚体作平动
向质心简化
=- ( m a - m a ● 主矢 F g C i i) = C
● 主矩
M gC 0
2. 刚体做定轴转动
向固定轴简化
Mgo Jz
● 主矢
t n F = - m a = - m ( a a ) g o C C C
● 对转轴的主矩 3. 刚体作平面运动
F F F 0 i N i g i
M ( FM ) ( F ) M () F 0 O i O N i O g i
质点系达朗贝尔原理
F F F 0 i N i g i M ( FM ) ( F ) M () F 0 O i O N i O g i
m a F F N
F F ( m a ) 0 N
引入质点的惯性力Fg =-ma
F F F 0 N g
在质点运动的每一瞬时,作用于质点的主动力、 约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。 这就是质点的达朗贝尔原理。
质点达朗贝尔原理
F F F 0 N g
质点达朗贝尔原理的投影形式
1 2 M J ml gO O 3
1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 F ma gR C 2 1 2 M J ml gO O 3
2 1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 ' F ma gR C
F x F N x F gx 0 F y F N y F gy 0 F z F N z F gz 0
二、质点系达朗贝尔原理
对于任一质点系中每个质点有:
i 1 , 2 , 3 , n ) F F F 0 ( i Ni gi
这表明,在质点系运动的任一瞬时,作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上 构成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 对于一般质点系,有n个形式如上式的平衡方程, 根据静力学中空间任意力系的平衡条件,
ai ri
n [ M ( F ) M ( F )] O gi O gi
M ( F ) m a i i r O gi i 2 Jz r m i i
2 Jz m r ii
向质心C点简化
' F F m a gR gR i i
研究对象是动力学问题 所用的方法是静力学方法
引入惯性力 用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 引进惯性力的概念,进而应用静力学方法研究动 力学问题. 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力;另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
O
r
A
承O处的反力。
Fgt=matC= m rα
解:圆盘定轴转动,惯性力向转轴O简化。
解得: 1 FA [ mgl 2 Pl 3 ] l1 l 2
M
FA
g
。
F
B
a l1 l 2
J ml 2 r
A a
Fg
mg
' FA
1 FB [ mgl 1 P l 1 l 2 l 3 ] l1 l 2 a l1 l 2 J ml 1 r
a
A
FNA
M 0 ,F h m g b F ( b c ) 0 ( 2 ) A g N B
FNA FNB m ( gc ah ) bc m ( gb ah ) bc
y y
惯性力分别为:Fg1=m1a
Fg 2=m2a
1 2 a 1 mr mar 2 r 2
MgO
FN N
r O O
FF
gg 11
α
惯性力偶矩: MgO=JO α =
y
F 0 , F m g m g m g FF 0 N 1 2 g 1 g 2
B
O
mg
A
m ( F ) 0 ,( m g FFm g ) rM 0 1 g 1 g 2 2 g O
在任意瞬时,作用于质点系的主动力、约束力和该
点的惯性力所构成力系的主矢等于零,该力系对任 一点O的主矩也等于零。 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进 行,而不限于对整个质点系,因此,该式并不表示仅 有6个平衡方程,而是共有3n个独立的平衡方程。同 时注意,在求和过程中所有内力都将自动消去。
O
F ma mr gR O
1 2 M J mr gO O 2
注 意
•惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 •惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
惯性力系主矢: F F m a m a g gi i i C
—与简化中心选取无关
惯性力系主矩: M M F gO O gi
P
B
J ml 2 由于加速度提升重物 r 而对支座 A , B 的附加压 a J ' 力等于附加动反力分别为: F B ml 1 l1 l 2 r a l1 l 2
B
例题 如图所示,匀质圆盘的半径为
r,质量为m,可绕水平轴O转动。突 然剪断绳,求圆盘的角加速度和轴
A
l1
P
B
l2
解:以整体为研究对 象,受力如图所示, 根据动静法:
惯性力为: a M g J J r F g ma
M ( F ) 0
B
M
FA
g
。
F
B
A
a
Fg
mg
P
B
F ( l l2) F A 1 gl 2 mgl 2 Pl 3 M g 0
F 0 ,
y
F F mg P F 0 A B g
a
m2 2g
a m1 1g
F mg m g m g m a m a 0 N 1 2 1 2
a m 1 m 2 g 1 m m m 1 2 2
F
gg 22
例 电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁合重 P , 如图所示。绞盘与电机转子固结 在一起,转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。 已知重物质量为m,绞盘半径为R。求由于加速度提 升重物而对支座A,B的附加压力。 R 。
2.刚体绕定轴转动
刚体有对称面, 且转轴与对称面垂直。
n F m a m ( a a gi ii i i i)
向转轴O点简化 主矢
mac F m gR ia i
n F F gR gR
主矩 M M ( F ) gO O gi
d 2 ri ai 2 dt
第 五 章
§5–1 达朗贝尔原理 §5–2 惯性力系的简化
达 朗 贝 尔 原 理
§5–3 动静法应用举例 §5–4 定轴转动刚体对轴承的动压力 ●转子的静平衡和动平衡
§5-1 达朗贝尔原理
一、质点达朗贝尔原理 设质量为m的非自由质点 M,在主动力F和约束力 FN作用下沿曲线运动,
FN
Fg B M ma A F a
向质心简化
m aC ● 主矢 F g c
● 主矩
M JCz g C
§5-3 动静法应用举例
例题汽车连同货物的总质量是m ,其质心C离前后轮 的水平距离分别是b和c,离地面的高度是h。当汽车以 加速度a沿水平道路行驶时,求地面给前、后轮的铅 直反力。轮子的质量不计。
C
h
B
c
b
A
研究对象:汽车连同货物 汽车受到的外力: Fg C 重力 G, FNA 、 FNB 以及水平摩擦 h mg FB 力 FB (注意:前轮 c b B 一般是被动轮,当 忽略轮子质量时, FNB 其摩擦力可以不 计)。 惯性力系合成: Fg= ma
例 题 如图所示, 匀 质滑轮的半径为 r ,质量 为 m ,可绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端
O r
各挂质量为 m1 ( A )和 m2
(B)的重物,且m1 >m2 。 绳的重量不计,绳与滑轮
A
B
之间无相对滑动,轴承摩
擦忽略不计。求重物的加 速度和轴承反力。
解:系统为研究对象
受力:重力m1g,m2g,mg,轴承约束反力FN。
合力大小: 位置:
Fg2
m2 Fg1
m1
F gR
F F m a m aC gR gi i C
Fgn
a2 C aC m an
n
a1
M ( F ) M ( F ) r m a O gR O gi i i C
m r a i i c 结论:平动刚体的惯性力系可 以简化为通过质心的合 m r a c c 力,其大小等于刚体的 r m a c c 质量与加速度的乘积, rc F gR 方向与加速度方向相反。
mac
M M M ( F ) g C g O c g R
M M ( F ) g O c g R
’
2 J ( F r ) J mr z gR C z C
2 ( J mr ) z C
JC
结论:刚体绕与对称面垂直的定轴转动时,惯性力 系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于mac,方向与ac方向相反,作用在轴 (质心)上;该力偶的矩等于Jz (JC ),方向 与 相反。
例:图示均质杆AB质量为m,长 为l,绕O点作定轴转动,角 速度为,角加速度为,计 算杆上惯性力系向O点和质 心C简化的结果。 解:运动分析 l l n aC aC 2 2 2 l 4 2 a C 2 向O点简化 ml 4 2 F ma gR C 2 向质心C简化 ml 4 2 ' F ma gR C 2
3.刚体作平面运动
刚体有对称面,且平 行与对称面运动
C C
C
F m gi ia i
n m ( a a a i C iC iC )
向质心C点简化 主矢 主矩
F m gR ia i
mac
M M ( F ) gC C gi
) n [ M ( F ) M ( F M ( F )] CgC CgiC CgiC
与简化中心选取有关刚体作平面运动刚体作平面运动gccz主矩gc向质心简化向质心简化刚体作平动刚体作平动向质心简化向质心简化刚体做定轴转动刚体做定轴转动对转轴的主矩向固定轴简化向固定轴简化例题汽车连同货物的总质量是m其质心c离前后轮的水平距离分别是b和c离地面的高度是h
第五章 达朗贝尔原理
达朗贝尔原理又称为“动静法”
D 2 an 运动分析: 2 D 2 d F A d s a A ds g n 2 2
F2
y d
dFg
F1
x
D A2d 4 π
2 0
F 0 : x
F cos F 0 d g 2
2 2 D π D 2 2 2 F A sin sin 0 A Av 2 4 2 4 π
F 0 : y
2 0
F sin F 0 d g 1
2 2 D π D 2 2 2 F A cos cos 0 A Av 1 4 2 4
§ 5-2 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动
F m m gi ia i ia c
惯性力
任何物体都将给予企图改变它运 动状态的任何其他物体以阻力.
F
Fg
Fg
F
a
F Fg
Fm a
动力学问题
F m a F F 0 g
形式上的静力平衡
F m a —惯性力作用在使物体(小车)产 g
生加速度的施力物体(推车人)
例:电机护环直径D,环截面面积A,材料密度 (kg/m3),转子角速度=常数。求:护环截面张力。 解:研究对象:四分之一护环
2 M ( F ) m a r m r JC C giC i iC iC i iC
例:图示均质圆轮半径为r,质量为m,沿水平面作无 滑动的滚动,角速度为,角加速度为,计算圆 轮上惯性力系向圆心O简化的结果。
解:运动分析
aO r
向圆心O简化
—与简化中心选取有关
1. 刚体作平动
向质心简化
=- ( m a - m a ● 主矢 F g C i i) = C
● 主矩
M gC 0
2. 刚体做定轴转动
向固定轴简化
Mgo Jz
● 主矢
t n F = - m a = - m ( a a ) g o C C C
● 对转轴的主矩 3. 刚体作平面运动
F F F 0 i N i g i
M ( FM ) ( F ) M () F 0 O i O N i O g i
质点系达朗贝尔原理
F F F 0 i N i g i M ( FM ) ( F ) M () F 0 O i O N i O g i
m a F F N
F F ( m a ) 0 N
引入质点的惯性力Fg =-ma
F F F 0 N g
在质点运动的每一瞬时,作用于质点的主动力、 约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。 这就是质点的达朗贝尔原理。
质点达朗贝尔原理
F F F 0 N g
质点达朗贝尔原理的投影形式
1 2 M J ml gO O 3
1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 F ma gR C 2 1 2 M J ml gO O 3
2 1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 ' F ma gR C
F x F N x F gx 0 F y F N y F gy 0 F z F N z F gz 0
二、质点系达朗贝尔原理
对于任一质点系中每个质点有:
i 1 , 2 , 3 , n ) F F F 0 ( i Ni gi
这表明,在质点系运动的任一瞬时,作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上 构成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 对于一般质点系,有n个形式如上式的平衡方程, 根据静力学中空间任意力系的平衡条件,
ai ri
n [ M ( F ) M ( F )] O gi O gi
M ( F ) m a i i r O gi i 2 Jz r m i i
2 Jz m r ii
向质心C点简化
' F F m a gR gR i i
研究对象是动力学问题 所用的方法是静力学方法
引入惯性力 用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 引进惯性力的概念,进而应用静力学方法研究动 力学问题. 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力;另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
O
r
A
承O处的反力。
Fgt=matC= m rα
解:圆盘定轴转动,惯性力向转轴O简化。
解得: 1 FA [ mgl 2 Pl 3 ] l1 l 2
M
FA
g
。
F
B
a l1 l 2
J ml 2 r
A a
Fg
mg
' FA
1 FB [ mgl 1 P l 1 l 2 l 3 ] l1 l 2 a l1 l 2 J ml 1 r