必修4平面向量数量积考点归纳

“平面向量”误区警示
“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.
①向量此是育向线段
解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.
⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含
解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向
相同，但它们可以不重合.
⑶若AB II CD ,则筑段AB//CD
解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，
它们可能平行也可能共线.
购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线
解析:」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.
故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.
(5)若 a // b, b II 6, flja II c
解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.
当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.
⑹若|a| = |6|,则a=6无a=-b
解析：也131=1 bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.
当孑与B不共线时，a = b或d=—6都不能成立.
⑺草住向董都相等
解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.
⑻若I 3 | =0,则3 =0
解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.
故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.
平面向量数量积四大考点解析
考点一.考査概念型问题
例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )
(1)a ・ b = a - b o a lib ; (2)a,b反向o "・b = — a - b
f —> f —> f —> f f f
⑶么丄b o a + b = u — b ；(4) a = b <=>"・/? = b-c
A. 1
B.2
C. 3
D. 4
评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180°)：两向量垂直时，夹角为90° ,
因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.
考点二、考査求模问题
例2•已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是_____________
评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。

例3.(1)已知均为单位向量，它们的夹角为60。

，那么：+ 3庁=()
A.、厅
B. V10
C. y/\3
D. 4
(2)己知向虽a = (cos&,sin&),向量& = (>/5,—1)，则la-b的最大值是_________________
评注：模的问题采用平方法能使过程简化。

考点三.考査求角问题
例4•已知向量"+3&垂直于向> 7a-5h，向量a-4方垂直于向量7“ -2 b，求向量"与丘的夹角.
练习一：数量积(内积)的意义及运算
1.已知向量1方1=4, 7为单位向量，当它们之间的夹角为冬时，方在？方向上的投影与7在方方3向上的投影分别为()
A. 2命，£
B. 2 , 2
C. £,2的
D. 1 ,2
(1)求1方+力的值：(2)当m为何值时，［与d垂直?
练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.
练习二：数量积的坐标运算、模及夹角
4.直角坐标系xOy中，人了分别是与上y轴正方向同向的单位向捲.在直角三角形ABC中，
若AB = 2； + j, AC = 3i+kj，则R的可能值个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法. 5.已知向量Gl=2, I引=20 a + b = (2>/392)
求(1) \a-b\x (2) “ +厶与么一厶的夹角
练习目的：巩固平而向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.
6•设向^a.b满足01= 2,1力=1,方/的夹角为60 ,若向^2ta + lb与向^a + tb夹角为钝角, 求实数/的取值范围。

练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特別注意特殊 情况，
才能不遗漏地正确解题.
练习三.平面向量的综合应用
7. (1)已知MBC 中，AB = a,BC = b t B 是44BC 中的最大角，若方.^<0,则zUBC 的形
状为 ___________ .
练习目的：体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状. 平面向量巩固检测
L 已知 « = (cos a, sin a), Z? = (cos0、sin0),其中 0 <a</3<n.
(1) 求证：a+b 与a-b 互相垂直；
(2) 若必+T 与a-k b 的长度相等，求0-a 的值伙为非零的常数).
2.已知a 、6是两个不共线的向疑，且a 二(cosa, sina ) , b= (cos p , (I )求
证：a+b^ja — B 垂直：
fTT T TT TTTTTT 3.设m = 0]+ 2d, b = —3 2 e 2 , 其中 q 丄岂且
e, = 1.
sin0 )
(II)若兀(弓彳),
fi-—> 且 a +b =
4
求sina ・
⑴计算a+b |的值；
⑵当&为何值时ka+2与；- 3 Z 互相垂直?
4. 已矢口向= (COS ^X , sin^x), 百=(cos*. • x 、
~sin 2} ，其中 xG[0. y]
3
(1)求a • b 及a 4- b ! ： (2)若f (x) = a • b —2 X a + b 的最小值为一㊁，求X 的值
平面向量数量积四大考点解析
考点一.考査概念型问题
例1.已知方、I)、:是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(
)
(1) a • b = a- b <=>allb ;
(2)a,b 反向 o "・b = — a - b
f
—> f
—f —# f f f
⑶a 丄 b o
a + b= a-h ； (4) a -
b O a - b = b-
c A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的立义：二是向量加法与 减
法的平行四边形法则. 解：⑴ T a •乙二 I a 丨• I F I cos 0 ・••由I ：・b \ = \a 丨・帀I 及a. h 为非零向量可得I cosO I 二1 ••• 0二0或•••： 〃&且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题. (2)若a , h 反向，则G 、b 的夹有为n , :.a a 以上各步可逆，故命题(2)是真命题. “ I cos H 二一 I " I • I b | 且 (3)当：丄5时，将向量二 &的起点确泄在同一点，则以向量：，/；为邻边作平行四边形，则
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该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有丨；；+&丨=丨I •反过来，若I
a^rb \ = \ a-b |,则以二&为邻边的四边形为矩形.所以有方丄G 因此命题⑶是真命题.
反过来由丨：・丨：1 =丨&・：丨也推不出丨：丨=丨& I •故(4)是假命题.
综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).
评注：两向量同向时，夹角为0(或0° )：而反向时，夹角为"(或180° )：两向量垂直时，夹 角为
90° ,因此当两向量共线时，夹角为0或it,反过来若两向虽的夹角为0或兀，则两向量共线.
考点二、考査求模问题
例2.已知向量：=(一2,2诂=(5,灯，若a + h 不超过5,则k 的取值范用是 _______________ 。

分析：若：=(3)则p 「"+y2,或p 卜仪+于,对于求模有时还运用平方法。

解：由： + & =(3,2 + A ),又 a + b <5,由模的定义，得：9 + (2 + /: )2 <25 解得：_65k52, 故填［—
6,2］。

评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范臥 例3. (1)已知N&均为单位向量，它们的夹角为60。

，那么a + 3b =()
A. V7
B. Vio
C. V13
D. 4
<2)已知向量c = (cosO,sin&),向量& =(語,一1)，则2a-b 的最大值是.
+ 6ab cos60° +9^| =1 + 3 + 9 = 13
所以： +
= Jii,故选c 。

(2)由题意，知"=1, b = 2, a • b = 2sin — — 0 又 2a -b =4“ -4a-b + b = 8-8sin] j < 16
则2a-h 的最大值为4。

评注：模的问题采用平方法能使过程简化。

考点三、考査求角问题
例4.已知向+3b 垂直于向量7a -5b ,向虽:"-4b 垂直于向量7。

-2b ,求向量"与b 的夹角. 分析：要求方与5的夹角，首先要求出7与方的夹角的余弦值，即要求出丨：I 及"I 、：
及丨方丨中的两个用列一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得。

与b 的夹角0・
解:设：与&的夹角为0. Va+3b 垂直于向量7方-5方,a-4b 垂直于7方-2亦
一完整版学习资料分享一一
⑷当|方丨="丨但：与
的夹角和&与c 的夹角不等时.就有丨么• c I H 丨5 • c I
解：(1) a + 3b 而本题中很难求出丨a 丨、丨b 丨及a • b ,但由公式cos 0 =
a • h
— — -♦
可知，若能把a • b,丨“ I
印;
1.答案B
解答：方在2方向上的投影k/lcos- = 4x- = 2
3 2
- 一 — 龙 丨
g 在d 方向上的投影I e I cos — = 1 x —=—
3 2 2
练习目的：区别a/£e 方向上的投影与2在方方向上的投影,
2.在边长为2的等边AABC 中，而•茕的值是（
）
・
A. 2
B. 一 2
C. 2.答案B
解答：由平而向量数量积公式得: 亦.BC = \AB\.\BC\COS\20=2x2x(-^) = -2 因此AB.BC 的值为一2・
练习目的：结合图形1 ,根据投影的意义，理解AB.BC 的几何意义.
3.已知I 禹= 3,1力=2命与B 的夹角为60 , c=3a+5b y d = ma-3b.
(1)求\a + b\的值 ⑵当m 为何值时，7与d 垂直? 3・解答(l)d • b =\ a \ \-b\ cos60 =3x2x — = 3.
la+bf^af +\b\2 +2 方易=32+2?+2x3 = 19
所以\a + b\=>JT9
£ + 3可.（7方_5乙）=0
（：一4/；）.（7方一la +16幺・方-15方=0 la - 30a - h + 8/? = 0
解之得b ^2a - b a 3
=2a
..cos
_
1 72
o 二互二二二丄
2
•・・0二彳因此a 与b 的夹角为彳.
练习一：数量积（内积）的意义及运算
— 1 1T — — — —
1.已知向Mlnl=4, 0为单位向量，当它们之间的夹角为一时，"在£方向上的投影与£在〃 3
£
2
方向上的投影分别为（）A.2V3，
B ・2
C.£ ,2石
D.1 ,2
达到正确理解投影的概念.
D. —4
(2)由2与&垂直，得c-d=0,即
(3a + 5b)・(ma — 3b) = 0
3m I a I2一151 厶I’ 一9a ・ h + 5ma• /? = 0 ®
又因为I药=3,1张2肓与B的夹角为60
— f ■■—
所以a・〃 = lall・blcos60 =3x2x- = 3 2
代入①得加=一
14
29 -
因此当加=一时，c与d垂直.
14
练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.
练习二：数量积的坐标运算、模及夹角
4•直角坐标系xOy中，7,了分別是与上y轴正方向同向的单位向量•在直角三角形ABC中,
若AB = 2i+j, AC = 3i+kj，贝IJR的可能值个数是( )
A・ 1 B・ 2 C. 3 D. 4
4.答案B
提示：由题设Bg = ；+(k_l)j,
转化为坐标表示：丽= (2,1),AC = (3J), BC = (1^-1)
AA3C是直角三角形可以分为三种情况:
而丄疋丽走 = 2x3 + 1认=0得k = -6
(2)而丄応砸•说= 2xl + lx伙一1) = 0得比=一1
(3)疋丄BC.AC^BC = 3x1 +k(k-1) = 0
即k2-k + 3 = 0,无解
故R的可能有两个值一1, 一6,
练习目的：结合向量垂宜的等价关系，练刃数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.
5.已知向Sl«l=2, lSl=2>/3, a+b = (2^392)
求(1) \a-b\x (2) a+万与°一5的夹角
5・解答：由题设1丁1 = 2,1力=2馅,
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(1)由a+b = (2\f3,2)得\a + b\2= 16
即I a+b\2=(a+b)2 =a +b~ + 2a»b = 16
解得：丽=0
所以\a—b^=(a—b')2 =a +b~ —2a・b
=22 + (2y/3)2— 2a^b = 16
因此\a-bl=4
(2)设夹角为&, X(« + b>(7i-b) = a2-h =22 -(2^)2 = -8
g、i c (ci+b).(a-b)-8 1
所以cos&= __ =——=一一
\a+b\.\a-b\ 4x4 2
练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向疑的运算与实数多项式的运算的关系.
6.设向量满足la 1=2,1方1= 1 , 的夹角为60 ,若向量2/。

+ 7乙与向^La + tb夹角为钝角，求实数7的取值范围。

6.解答:由题设a-b =\ a \\-b\ cos60 = 2xlx — = 1
2
因为向2ta + lb与向^ca + th夹角为钝角，
所以(2丫 + 70)・(?+/0<°⑵匚+ 了初•(方+ /厉< o
\2ta + 7b\^\a + tb\
由2t\a\2 +lt\b I2+{2r +7)N 厶=2r+15r + 7<0
解得-7v/v-丄
2
另一方面，当夹角为兀时，也有2尸+15/ + 7<0,所以由向量2历+ 7乙与向^a + tb同方向得：
2ta+7b = 2 (a + tb)( 2<0 )
因此2/ =入7 =几/
解得：t = ±—, A = ±Vi4
2
由于2<0,所以/<0, Wr = -—
2
因此，当t = ~ —时，两向虽的夹角为0不合题意.
2
所以，若向^2ta + 7b与向量方+厉的夹角为锐角，实数/的取值范围是：
一完整版学习资料分享一一
练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注 意特殊情况，才能不遗漏地正确解题.
练习三.平面向量的综合应用 7. (1)已知MBC 中，AB = a,BC = b , B 是MBC 中的最大角，若方矗<0,则
AABC 的形状为 ___________ .
7.答案：锐角三角形
提示:由cos a = -———< 0
\a\.\b\
可得cosa<0 ,即丽与荒的夹角为钝角，所以，ZABC 为锐角,
因此44BC 为锐角三角形.
练习目的：体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状. 平面向量巩固检测 —A
L 已知 a = (cos a, sin a), /? = (cos0、sin 0).其中 0 <a</3<n.
(1)求证：a+b 与a-b 互相垂直：
证明：••• @ +b)・(N -b) = cl 2 -b 2 = (cos 2 c? + sin 2 a)-(cos' 0 + sin‘ 0) =0
：.(i+b 与&互相垂直
⑵若必+T 与a-k b 的长度相等，求0-a 的值伙为非零的常数).
T T
解析:ka+ b =(k cos a + cos p. k sin a + sin 0):
T T
a-k Z? =(cosa-kcos0,sina-&sin0)
ka+h = Jk' + l + 2Rcos(“-a)
a-kb = Jk' +1 -2k cos(0-a)
而 +1 + 2k cos(0 - a) = +l + 2kcos(0-a) cos(0_a) = O, p-a =—
2
2.已知a 、6是两个不共线的向量，且a = (cosa , sina ) , b= (cos p , sin0) (I )求证：亍+E 与丘一6垂
直： (II)若a W ( -彳冷)，0 二 f ，且矗+ 6 二｛罟，求 sina .
解：(1) V a = (4cosa ♦ 3sina ), b = (3cos p , 4sin0)
I a I = | b | =1
又 T ( a +b ) • (a—b) =a :— b := a :— b : = 0
/. (a+b )丄(a -b )
(一 7,—
V14 1
、
(2) |S + b I s = (a+b) 3 =
-- 3
乂a • b= (cosacos/? + sinorsin/7 )=-
3 /. cos(a _ 0) = _ 5
4 /.sin ( or-0 )=--
5 •: sina = sing — 0) + /?]
sin (a-0) • cos0 + cos(d -0)・sin0 乜+良返“返
2 5 2 10 3.设$ = e+ 2 e ：、 6 = —
3 e 】+ 2 e 2 ,其中弓 丄岂且 ey q = e# c （1）计算I $+ b \的值;
（2）当&为何值时ka+b 与3 &互相垂直?
解: (1) TT° T -> ? ? TT •・• I a+b |・ = (-2C]+4C2 )・=4C] ■一
I65 C2 + I6C2 - (2) T T .・・
e r e 2 = 0.
/. I a+b l 2 = 20 /. I a+bl = V20 = 2^. ・・・(ka+b)(a-3b) = ka 2+(l-3k)a b-3b 2 又 a 2=(e]+2e 2 )2 =5 T T T b ^=(-3e I +2e 2 )2 =13 T T T T T T a-b=(e I + 2e 2)(-3e 1 + 2e 2)= -3 + 4 = l /.由(k a+b ) •( a -3 b ) = 0 即 5k+(l —3k) —3x13 =
0 得k = 19・ 已知向量M=(cos 討 sin|x), E=(cos§
■- 一宀|），其中 xe[0, y] 3 ⑴求a • b 及i a + b : （2）若f （x ） = a • b —2 X a + b |的最小值为一才求入的值
4. 3 x 3 x 解：(1) a • b =cos^xcos^~sinpxsin^=cos2x, a + b ! =p2 + 2cos2x=2cosx
(2) f (x) = E • E — 2 A,卞 + E I =cos2x —4 X cosx=2cos'x~ 1—4 X cosx=2(cosx — X )2—2 X 2 —1 注意到xW[0,,故COSX GEO, 1],若X <0,当cosx=0时f (x)取最小值一 1。

不合条件，舍 3
去. 若 0 W'Wl, -I cosx= X 时，f(x)取最小值一2 X "—1,令一 2 X*—1 =—-且 0 W’XWl, 1 3 解得入=承 若X>b 当cosx=1时，f(x)取最小值1-4X,令1-4X=—且X>1,无解 综上:V 为所求. • • (兀 JT •X(F) Va_0 VO。