椭圆题型二--定点

圆锥曲线定点、定直线、定值专题
1.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭（Ⅱ）若直线l:y kx m
=+与椭圆C相交于A,B两点（A B
圆C的右顶点，求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．
解：(1）由题意设椭圆的标准方程为
由已知得a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1,
∴b2=a2—c2=3
∴椭圆的标准方程为。

（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）,联立
得
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）
∴
∴
∴
解得m1=—2k，
且均满足3+4k 2-m 2〉0
当m 1=-2k 时，l 的方程为y=k(x —2）,直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，l 的方程为
直线过定点
所以，直线l 过定点，定点坐标为。

2.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-,离心率为2
e 2
=﹒
(Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ)过点
()1,0作直线
交E 于P 、Q 两点，
试问：在x 轴上是否存在一个定点M ,MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解：（1)
， ∴所求椭圆E 的方程为：。

（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：x=ky+1，
，
把（2)代入（1）整理得：
，（3）
∴，
假设存在定点M(m ，0)，使得
为定值,
=
,
当且仅当5—4m=0，即
时，
(为定值）．这时
.
再验证当直线l 的倾斜角α=0时的情形，此时取
，
， ，
∴存在定点
使得对于经过（1，0)点的任意一条直线l 均有
（恒为定值）．
3。

已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =的焦点，离心率2
5
e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围;
（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ,使得C 、B 、N 三点共线？若
存在,求出定点N 的坐标，若不存在,请说明理由。

4。

（福建卷）已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。

(Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

解：（1))∵a 2=2，b 2=1， ∴c=1，F(-1，0），l:x=-2 ∵圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线
上
设
则圆半径
由｜OM|=r ，得
解得
∴所求圆的方程为。

（2）设直线AB 的方程为y=k(x+1）(k ≠0)， 代入
，整理得（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2—2=0
∵直线AB 过椭圆的左焦点F ， ∴方程有两个不等实根
记A （x 1，y 1)，B （x 2,y 2）,AB 中点N （x 0，y 0)，则
∴AB 的垂直平分线NG 的方程为
令y=0，得
∵k ≠0 ∴
∴点G 横坐标的取值范围为。

5。

(本小题满分13分）
如图，椭圆22
22:1x y C a b
+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,,F F
11||7A B =，1122
1122
2A B A B B F B F S
S
=
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ）设n 是过原点的直线,l 是与n 垂直相交于F 点、与椭圆相交于A ，B 亮点的直线，｜OP ｜=1，是否存在上述直线l 使1AP PB =成立?若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

解：(1）由知 ①
由
知a=2c ②
又b 2=a 2-c 2， ③
由①②③解得a 2=4，b 2=3 故椭圆C 的方程为
；
（2)设A,B 两点的坐标分别为(x 1，y 1），（x 2，y 2）
假设使成立的直线l存在
(i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得，即
∵
∴
即x
1x
2
+y
1
y
2
=0
将y=kx+m代人椭圆方程,得（3+4k2)x2+8kmx+(4m2—12）=0
由求根公式可得④
⑤
将④⑤代人上式并化简得（1+k2）（4m2—12）—8k2m2+m2（3+4k2)=0，⑥将m2=1+k2代入⑥并化简得—5（k2+1)=0，矛盾
即此时直线l不存在。

（ii）当l垂直于x轴时,满足的直线l的方程为x=1或x=—1 当x=1时,A,B，P的坐标分别为
∴
∴
当x=-1时，同理可得，矛盾
即此时直线l也不存在
综上可知，使成立的直线l不存在。

6。

(本题满分15分）已知>1m ,直线2
:02
m l x my --=， 椭圆22
2:1x C y m
+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点。

(I ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
（II ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ， 12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范
围.
解：（Ⅰ）因为直线l ：，经过，
所以,得m 2=2，
又因为m ＞1，所以，
故直线l 的方程为
.
（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2），
由，消去x 得，
则由,知，
且有，
由于F 1(-c ，0），F 2（c ，0），故O 为F 1F 2的中点，
由，可知，
，
设M 是CH 的中点，则，
由题意可知，2|MO|＜｜CH|,
即，
即
，
而，
所以，即m 2＜4，
又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2； 所以m 的取值范围是(1，2)． 7。

（本小题满分12分）
设1F ，2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两
点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为23。

（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程。

解：（1）设焦距为2c ， 由已知可得F 1到直线l 的距离，故c=2，
所以椭圆C 的焦距为4; （2)设,由题意知
， 直线l 的方程为
，
联立得，
解得，
因为
，所以
，
即
，得a=3，
又c=2，故，
故椭圆C 的方程为。

8.已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22,离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

（1）求P 点坐标;（2）求证直线AB 的斜率为定值;
解：(1）设椭圆方程为 由题意可知
方程为
设
则
∴
∵点
在曲线上
则
∴
从而
得
则点P 的坐标为。

（2）由（1）知轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数， 设PB 斜率为
，
则PB 的直线方程为：
由得
设
则
同理可得
则
所以：AB 的斜率为定值。

9。

已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3. （1）求椭圆的方程。

(2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.
解：(1）依题意可设椭圆方程为，
则右焦点，
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为。

（2）设
，
P 为弦MN 的中点,
由得 ，
∵直线与椭圆相交， ∴
，①
∴，从而，
∴
，
又|AM|=｜AN ｜，
∴AP ⊥MN ，则：，即, ②
把②代入①得
，解得
，
由②得,
解得；
综上求得的取值范围是。

10. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E 。

（I)求曲线E 的方程;
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两［点,G H （点G 在点,F H 之间)，且满足
FH FG λ=， 求λ的取值范围。

解：（1)∵
,
∴P 为AM 的中点， 又
，
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA｜=|NM|，
又,
∴，
∴动点N的轨迹是以点C（—1，0）,A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距2c=2，∴，
∴曲线E的方程为。

（2）当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为y=kx+2,
代入椭圆方程得，
由△＞0，得，
设，则,
又，，
∴，∴，
∴，
即，整理，得，
，
∴，∴,解得：，
，∴,
又当直线GH斜率不存在，方程为,
∴，
即所求λ的取值范围是.
11。

椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B,且.
（1）求椭圆方程；
(2）求m的取值范围。

解：（1）设C：（a>b〉0），
设c〉0,c2=a2-b2,
由条件知
∴a=1，
故C的方程为：.
（2)设直线l的方程为y=kx+m,且与椭圆C的交点为A（x1，y1),B(x2，y2）
由得（k2+2）x2+2kmx+（m2—1）=0
∵
∴-x 1=3x 2 ∴
消去x 2，得
整理得
时，上式不成立 时，
由（＊）式得k 2>2m 2—2 ∴ ∴或
即所求m 的取值范围为。

12.已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为 )0,32(,BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•．
（1)求椭圆m 的方程;
（2）过点),0(t M 的直线l(斜率存在且不为零时）与椭圆m 交于两点P,Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．
解：（1）∵点A 的坐标为（
，0）, ∴，椭圆方程为， ① 又∵
,且BC 过椭圆M 的中心 O （0,0）, ∴
， 又∵， ∴△AOC 是以∠C 为直角的等腰三角形，
易得C 点坐标为（，）， 将（，）代入①式得，
∴椭圆M 的方程为
. （2）当直线的斜率k=0,直线的方程为y=t ，则满足题意的t 的取值范围为-2〈t<2， 当直线的斜率k ≠0时，设直线的方程为y=kx+t ， 由，得, ∵直线与椭圆M 交于两点P 、Q ，
∴△=
， 即， ②
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2)，PQ 的中点，
则H 的横坐标
， 纵坐标， D 点的坐标为（0，—2）， 由，得DH ⊥PQ ，， 即，即， ③ ∴，∴t 〉1， ④
由②③得0<t<4,结合④得到1〈t 〈4，
综上所述，t 的取值范围是（-2,4）。

13.如图,DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时。

(I)
求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△
AOB 面积S的最大值和相应的点T的坐标。

14。

已知椭圆
1
3
4
2
2
=
+
y
x
，试确定的m取值范围，使得对于直线
m
x
y+
=4
,椭圆上总有不同
的两点关于该直线对称.
解：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0).
则
两式相减得3（x1+x2)(x1—x2)+4（y1+y2)（y1—y2）=0，
即. 所以y0=3x0。

又M（x0,y0）在直线l上，
所以
解得
因为点M(—m,—3m）在椭圆内部，
所以3(-m)2+4（-3m）2＜12，
即。

所以m的取值范围为m∈(，)。