【精品】2017年河南省漯河市高一上学期期末数学试卷

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2016-2017学年河南省漯河市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求
. 1．（5.00分）分）已知集合已知集合A={x |﹣1＜x ＜2}，B={x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于（ ） A ．（0，2） B ．（2，3） C ．（﹣1，3） D ．（﹣1，0）
2．（5.00分）已知函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣3）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
3．（5.00分）设a=log 37，b=21.1，c=0.83.1，则（，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b 4．（ 5.00分）函数，当x=3时，y ＜0则该函数的单调递减区
间是（间是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．（1，+∞）
5．（5.00分）设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题 ①m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α⇒α∥β ②m ⊥α，n ⊥α⇒m ∥n ③m ∥α，m ∥n ⇒n ∥α ④α⊥β，m ⊂α⇒m ⊥β 其中真命题的个数为（其中真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．（5.00分）拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06（0.5•{m }+1）（元）决定，其中m ＞0，{m }是大于或等于m 的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（分钟的电话费为（ ） A ．3.71元 B ．3.97元 C ．4.24元 D ．4.77元
7．（5.00分）函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x +2）是偶函数，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f （）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）
8．（5.00分）定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函）的大致图象是（
）
数y=f（x﹣1）的大致图象是（
A． B． C．
D．
9．（5.00分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（
分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A ．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
11．（5.00分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，﹣3] C．（﹣4，﹣3] D．[﹣3，+∞） 12．（5.00分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y
﹣11=0与圆C 相交于A ，B 点，且点，且||AB |=6，则圆C 的方程为（的方程为（ ） A ．x 2+（y +1）2=18 B ．（x +1）2+y 2=9 C ．（x +1）2+y 2=18 D ．x 2+（y +1）2=9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5.00分）已知集合A={x |ax +1=0}，B={﹣1，1}，若A ∩B=A ，则实数a 的所有可能取值的集合为所有可能取值的集合为 ． 14．（5.00分）log 28+lg0.01+ln
= ．
15．（5.00分）若直线l 1：ax +（1﹣a ）y=3与l 2：（a ﹣1）x +（2a +3）y=2互相垂直，则实数a 的值为的值为
． 16．（5.00分）如图所示，正方形BCDE 的边长为a ，已知
，将△ABE 沿
BE 边折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB 与DE 所成角的正切值为；
②AB ∥CE ； ③
；
④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的命题序号为．其中正确的命题序号为
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（10.00分）已知U=R ，集合A={x |a ﹣2＜x ＜a +2}，B={x |x 2﹣（a +2）x +2a=0}，a ∈R ，
（1）若a=0，求A ∪B ；
（2）若（∁U A ）∩B ≠∅，求a 的取值范围． 18．（12.00分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （﹣1，5）、B （﹣2，﹣1）、C （4，3）．
（1）求AB 边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形ABC的面积．
19．（12.00分）如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4点D是AB的中点．
（1）求证：AC1∥平面B1DC；
（2）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．
20．（12.00分）已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
21．（12.00分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且P A∥平面MQB，求实数λ的值．
22．（12.00分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．
2016-2017学年河南省漯河市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个
选项中，有且只有一项符合题目要求
. 1．（5.00分）分）已知集合已知集合A={x |﹣1＜x ＜2}，B={x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于（ ） A ．（0，2） B ．（2，3） C ．（﹣1，3） D ．（﹣1，0） 【解答】解：∵集合A={x |﹣1＜x ＜2}，B={x |0＜x ＜3}， ∴A ∪B={x |﹣1＜x ＜3}=（﹣1，3）． 故选：C ．
2．（5.00分）已知函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣3）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）， ∴f （﹣3）=﹣f （3）=﹣log 2（3+1）=﹣log 24=﹣2， 故选：B ．
3．（5.00分）设a=log 37，b=21.1，c=0.83.1，则（，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b 【解答】解：1＜log 37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1， 则c ＜a ＜b ，
故选：B ．
4．（5.00分）函数，当x=3时，y ＜0则该函数的单调递减区
间是（间是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．（1，+∞）
【解答】解：函数
，当x=3时，y ＜0，
当x=3时，2x 2﹣3x +1=10，即log a 10＜0， 可得：0＜a ＜1，
令函数2x 2﹣3x +1=u ，（u ＞0）则y=log a u 是减函数， 函数u=2x 2﹣3x +1，开口向上，对称轴为x=， ∵u ＞0，
即2x 2﹣3x +1＞0，
解得：x ＞1或x ＜．
∴函数u 在（1，+∞）单调递增，
函数u 在（﹣∞，）单调递减，
根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为（1，+∞）． 故选：D ．
5．（5.00分）设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题 ①m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α⇒α∥β ②m ⊥α，n ⊥α⇒m ∥n ③m ∥α，m ∥n ⇒n ∥α ④α⊥β，m ⊂α⇒m ⊥β 其中真命题的个数为（其中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解答】解：①根据面面平行的判定定理可知m ，n 必须是相交直线，∴①错误． ②根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，m ⊥α，n ⊥α⇒m ∥n 正确． ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α或n ⊂α，∴③错误．
④根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β不一定成立．∴④错误． 故选：B ．
6．（5.00分）拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06（0.5•{m }+1）（元）决定，其中m ＞0，{m }是大于或等于m 的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（分钟的电话费为（ ）
A ．3.71元
B ．3.97元
C ．4.24元
D ．4.77元
【解答】解：由解：由{{m }是大于或等于m 的最小整数可得的最小整数可得{{5.5}=6． 所以f （5.5）=1.06×（0.50×{5.5}+1）=1.06×4=4.24． 故选：C ．
7．（5.00分）函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x +2）是偶函数，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ）
A ．f （1）＜f （）＜f （）
B ．f （）＜f （1）＜f （）
C ．f （）＜f
（）＜f （1）
D ．f （）＜f （1）＜f （） 【解答】解：函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴函数y=f （x +2）在（﹣2，0）上是增函数； 又函数y=f （x +2）为偶函数，
∴函数y=f （x +2）在（0，2）上是减函数， 即函数y=f （x ）在（2，4）上为减函数； 则函数y=f （x ）的图象如图所示，
由图知：f （2）＞f （）＞f （1）＞f （）成立． 故选：D ．
8．（5.00分）定义一种运算：g ⊙h=，已知函数f （x ）=2x ⊙1，那么函
数y=f （x ﹣1）的大致图象是（）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：f （x ）=
∴f （x ﹣1）=
∴其图象为B 故选：B ．
9．（5.00分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2
+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣或﹣ B ．﹣或﹣ C ．﹣或﹣ D ．﹣或﹣ 【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为Aʹ（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k 2+50k +24=0， ∴k=
或﹣．
故选：D ．
10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
==10，
所以S
底
S后=，
S右==10，
S左==6．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．
故选：B．
11．（5.00分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，﹣3] C．（﹣4，﹣3] D．[﹣3，+∞）
【解答】解：作出函数的图象，如下图：
∵关于x的方程f（x）=k有三个不等的实根，
∴函数的图象与直线y=k在三个不同的交点，
结合图象，得：﹣4＜k≤﹣3．
∴实数k的取值范围是（﹣4，﹣3]．
故选：C．
12．（5.00分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y
的方程为（
）
﹣11=0与圆C相交于A，B点，且
点，且||AB|=6，则圆C的方程为（
A．x2+（y+1）2=18 B．（x+1）2+y2=9 C．（x+1）2+y2=18 D．x2+（y+1）2=9 【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，
必有，解可得，
圆心C到直线3x+4y﹣11=0的距离d==3
点，且||AB|=6，
又由直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B点，且
则其半径r2=32+32=18，
故其标准方程为：x2+（y+1）2=18，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5.00分）已知集合A={x |ax +1=0}，B={﹣1，1}，若A ∩B=A ，则实数a 的所有可能取值的集合为所有可能取值的集合为 {﹣1，0，1} } ．． 【解答】解：由于A ∩B=A ， ∴A=∅或A={﹣1}，或，或{{1}， ∴a=0或a=1或a=﹣1，
∴实数a 的所有可能取值的集合为的所有可能取值的集合为{{﹣1，0，1} 故答案为：故答案为：{{﹣1，0，1}
14．（5.00分）log 28+lg0.01+ln = 2 ．
【解答】解：log 28+lg0.01+ln
=3﹣2+++1﹣2
=2．
故答案为：2．
15．（5.00分）若直线l 1：ax +（1﹣a ）y=3与l 2：（a ﹣1）x +（2a +3）y=2互相垂直，则实数a 的值为的值为 1或﹣3 ．
【解答】解：∵直线l 1：ax +（1﹣a ）y=3与l 2：（a ﹣1）x +（2a +3）y=2互相垂直， ∴a （a ﹣1）+（1﹣a ）（2a +3）=0， 解得a=1或a=﹣3． 故答案为：1或﹣3．
16．（5.00分）如图所示，正方形BCDE 的边长为a ，已知
，将△ABE 沿
BE 边折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB 与DE 所成角的正切值为
；
②AB ∥CE ； ③
；
④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的命题序号为．其中正确的命题序号为 ①④①④ ．
【解答】解：∵正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起，
折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，
∴=，AE=，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=，
在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，
∵AB=，BC=a，AC=，∴BC⊥AC，
∴tan∠ABC=，∴AB与DE所成角的正切值为，故①正确；
在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线，故②错误；
在③中，=，故③错误；
在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面ABC，
∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ADC，又BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（10.00分）已知U=R，集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R，
（1）若a=0，求A∪B；
（2）若（∁U A）∩B≠∅，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，A={x|﹣2＜x＜2}，B={0，2}，
∴A∪B={x|﹣2＜x≤2}．
（2）∵集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R，
∴当a=2时，C U A={x|x≤0或x≥4}，B={2}，（C U A）∩B=∅，不合题意；
当a≠2时，C U A={x|x≤a﹣2或x≥a+2}，B={2，a}，
∵a﹣2＜a＜a+2，∴a∉C U A，
∴根据（C U A）∩B≠∅，得2∈C U A，
∴2≤a﹣2或2≥a+2，解得a≤0或a≥4．
综上，a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
18．（12.00分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C
（4，3）．
（1）求AB边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
∴AB边高线斜率k=，
∴AB边上的高线的点斜式方程为，
化为一般式可得x+6y﹣22=0；
（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，
∴C到直线AB的距离为d=，
又∵||AB|==，
又∵
∴三角形ABC的面积S=
19．（12.00分）如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4点D是AB的中点．
（1）求证：AC1∥平面B1DC；
（2）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．
【解答】证明：（1）设B 1C ∩BC 1=E ，
∵在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中BB 1C 1C 是矩形，∴E 是BC 1的中点， 连结DE ，∵点D 是AB 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1DC ，AC 1⊄平面B 1DC ， ∴AC 1∥平面B 1DC ．
解：（2）在△ABC 中，过C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， 由面ABB 1A 1
⊥面ABC ，知CF ⊥面ABB
1A 1
，
∴=
，
∵
==
，
=．
三棱锥A 1﹣B 1CD 的体积
=
=
．
20．（12.00分）已知以点C 为圆心的圆经过点A （﹣1，0）和B （3，4），且圆心在直线x +3y ﹣15=0上． （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y ﹣15=0的交点，
∵AB 中点为（1，2）斜率为1，
∴AB 垂直平分线方程为y ﹣2=（x ﹣1）即y=﹣x +3…（2分）
联立，解得，即圆心（﹣3，6），
半径…（6分）
∴所求圆方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40…（7分）
（Ⅱ），…（8分）
圆心到AB的距离为…（9分）
∵P到AB距离的最大值为…（11分）
∴△PAB面积的最大值为…（12分）
21．（12.00分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且P A∥平面MQB，求实数λ的值．
【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°， ∴△ABD为正三角形，
又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，
∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．
解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，
∵AQ∥BC，∴，
∵PN∥平面MQB，P A⊂平面PAC，
平面MQB∩平面PAC=MN，
∴根据线面平行的性质定理得MN∥P A，
∴，
综上，得，∴MC=2PM，
∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．
22．（12.00分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立
即log2（4x
+1）﹣2x﹣kx=log2（4
x
+1）+kx恒成立
解得k=﹣1
（2）∵a＞0
∴函数的定义域为（，+∞）
即满足
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解 即：方程在上只有一解
令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在
上只有一解
当a=1时，解得，不合题意；
当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴
∴函数在（0，+∞）上递减，而h （0）=﹣1 ∴方程（*）在无解
当a ＞1时，记，其图象的对称轴
所以，只需
，即
，此恒成立
∴此时a 的范围为a ＞1
综上所述，所求a 的取值范围为a ＞1．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】 几何最值模型： 图形特征：
l
P A'
A
B
l C P
A
B D
运用举例：
1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为的最小值为
M
F
E
A
C
B
P
2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

E C
D
A B
F
3.在Rt △POQ 中，OP =OQ =4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
M
P
O Q
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是的最小值是
.
D
A
B
C
M
N
5.如图，△ABC 中，°=Ð60BAC ，°=Ð45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为长度的最小值为。

F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标.
x
y x
y
D
C
B
A O
D C
B
A
O
E。