高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的概念、图象及性质
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4.4 对数函数
学习目标
1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习,培养数学抽象、直观想象素养.
2.通过对数函数图象和性质的应用,培养逻辑推理、数学运算素养.
第1课时对数函数的概念、图象及性质
1.对数函数的概念
一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
2.对数函数的图象与性质
我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:
对数函数的概念
[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )
A.y=lg 10x
B.y=log3x2
C.y=ln x
D.y=lo g1
3
(x-1)
(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义,得y=log a x(a>0,a≠1)是对数函数,由此得到y=ln x是对数函数.故选C.
(2)由对数函数的定义可知,{
a2-4a-5=0,
a>0,
a≠1,
解得a=5.
答案:(1)C (2)5
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0,且a ≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1.
(2)底数为大于0,且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.
针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数,则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为 .
解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数,所以{a 2-3a +2=0,
a >0,
a ≠1,
解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0,a>0,且a ≠1),
因为对数函数的图象过点M(9,2),所以2=log a 9,所以a 2=9,又a>0, 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x
对数型函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0,且a ≠1); (2)f(x)=
1
log 12
(2x+1)
.
解:(1)由{3-x >0,
3+x >0,得-3<x<3,
所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.
(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-1
2,且x ≠0,
则函数的定义域为(-1
2,0)∪(0,+∞).
(1)求解含对数式的函数定义域,若自变量在底数和真数上,要保证真数大于0,底数大于0,且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0,+∞).
(3)形如y=log g(x)f(x)的函数,定义域由{f (x )>0,
g (x )>0,g (x )≠1来确定.
(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义.
针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0,5
3) B.[0,5
3]
C.[1,53
) D.[1,53
]
解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,
lgx ≥0,5-3x >0},即{x|1
≤x<5
3}.故选C.
对数函数的图象
类型一 对数型函数图象过定点问题
[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是(
)
A.(4,1)
B.(3,1)
C.(4,0)
D.(3,0)
(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0,且a ≠1)的图象过定点P ,且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上,则f(1
2) = .
解析:(1)令x-3=1,求得x=4,y=1, 可得它的图象恒过定点P(4,1).故选A. (2)令x-1=1,解得x=2,
此时y=8,此函数图象过定点P(2,8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知, 2α=8,解得α=3,所以f(x)=x 3, 所以f(1
2
)=( 1
2
) 3=1
8
.
答案:(1)A (2)1
8
涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0,且a ≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m ,b).
针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1
C.y=a x-3+1(a>0,a ≠1)
D.y=log a (2-x)+1(a>0,a ≠1)
(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n 的值是.
(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.
解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2,令x=1,可得y=2,故该函数经过定点(1,2),
由于函数y=x a-2+1,令x=1,可得y=2,故该函数经过定点(1,2),由于y=a x-3+1(a>0,a≠1),令x-3=0,
求得x=3,y=2,故该函数经过定点(3,2),
由于y=log a(2-x)+1(a>0,a≠1),令2-x=1,求得x=1,y=1,故该函数经过定点(1,1).故选AB.
(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m,n),
又函数f(x)的图象恒过定点(3,5),
故1+m=3,n=5,即m=2,n=5,
所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.
(3)令2x-1=1,得x=1,y=3,所以函数的图象恒过定点P(1,3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1,3)
类型二对数型函数图象的识别
[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )
解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除A,C;当x=1时,y=-lg 2<0,显然只有D符合题意.故选D.
法二y=-lg |x+1|
={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,
又x∈(-1,+∞)时,y=-lg(x+1)是减函数.故选D.
对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域,注意利用对数型函数图象所过定点,同时结合单调性进行判断,也可以利用函数图象的变换进行判断.
针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )
(2)如图,①②③④中不属于函数y=log2x,y=log0.5x,y=-log3x的一个是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
解析:(1)函数的定义域为(-1,+∞),图象与x轴的交点是(0,0).故选A.
(2)根据函数的图象,函数y=log a x(a>0,且a≠1)的底数决定函数的单调性,
当底数a>1时,函数单调递增,当0<a<1时,函数单调递减,
当底数a>1,x>1时,满足底数越大函数的图象越靠近x轴,
故①对应函数y=log2x的图象,
根据对称性,④对应函数y=log0.5x的图象,
③对应函数y=-log3x的图象,
②与函数的图象相矛盾,故②不符合题意.故选B.
类型三根据图象求解析式中的参数的范围
[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数.其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
解析:因为函数单调递减,所以0<a<1.
当x=1时,log a(x+c)=log a(1+c)<0,
即1+c>1,所以c>0,
当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,
所以0<c<1.故选D.
根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的,也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.
针对训练5:(1)如图,若C1,C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象,则( )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0<1
a <1
b
<1 B.0<1
b
<a<1
C.0<b<1
a <1 D.0<1
a
<b<1
解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0,且a≠1),画一条直线y=1,如图所示,由图可知0<b<a<1.故选B.
(2)由函数单调性可知,
a>1,f(0)=log2(1-b+1),
故0<log2(1-b+1)<1,解得0<b<1,
由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b,
所以0<1
a
<b<1.故选D.
典例探究:如图,直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A,B,若函数y=f(x)的图象上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则t的值为( )
A.√3+22
B.3√3+32
C.
3√3+3
4
D.3√3+3
解析:由题意A(t ,log 3t),B(t ,log 3t-1),|AB|=1, 设C(x ,log 3x),因为△ABC 是等边三角形,
所以点C 到直线AB 的距离为√32
,所以t-x=√32
,x=t-√32
,所以C(t-√32
,log 3(t-√32
)), 根据中点坐标公式可得
log 3(t-√3
2) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3
,
所以t-√32=√3,解得t=
3√3+3
4
.故选C.
应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36,BC 平行于x 轴,顶点A ,B 和C 分别在函数y=3log a x ,y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上,则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36
D.√63
解析:设B(x ,2log a x),因为BC 平行于x 轴,所以C(x ′,2log a x),即log a x ′=2log a x ,所以x ′=x 2,所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6,解得x=3.
由已知,AB 垂直于x 轴,所以A(x ,3log a x),正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6,即log a 3=6,a 6=3,a=√36
.故选C.
1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪[3,+∞)
解析:由3+2x-x 2>0,得-1<x<3,所以f(x)的定义域为(-1,3).故选C.
2.已知对数函数f(x)的图象过点(4,1
2),则f(x)等于( A )
A.log 16x
B.log 8x
C.log 2x
D.lo g 116
x
解析:由题意设f(x)=log a x(a>0,且a ≠1),由函数图象过点(4,1
2
)
可得f(4)=12
,即log a 4=1
2
,所以4=a 12
,解得a=16,故f(x)=log 16x.故
选A.
3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ,y=log b x ,y=log c x ,y=log d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系为 .
解析:由题图可知函数y=log a x ,y=log b x 的底数a>1,b>1,函数y=log c x ,y=log d x 的底数0<c<1,0<d<1.
过点(0,1)作平行于x 轴的直线l(图略),则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ,d ,a ,b ,显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c
4.已知函数y=log a (x+3)+8
9
(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 也
在函数f(x)=3x -b 的图象上,则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+8
9,
令x+3=1,得x=-2,则y=8
9
,
所以函数y=log a (x+3)+89
(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A(-2,8
9
),
又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上, 则8
9
=3-2-b ,求得b=-7
9
.
答案:-7
9
[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)
的定
义域是( )
A.(-1,-9
10)∪(-9
10,√2]
B.(-1,√2]
C.(-1,-910)
D.(-9
10
,√2)
解析:依题意,{0≤x 2≤2,
x +1>0,1+lg (x +1)≠0,
解得-1<x<-9
10
或-9
10<x ≤√2.故选A.
[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),且线段AB 的中点在x 轴上,则x 1·x 2= .
解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 所以y 1=log 3x 1,y 2=log 3x 2.
根据中点坐标公式得y1+y2=0,
即log3x1+log3x2=0,
所以log3(x1x2)=0,x1·x2=1.
答案:1
[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1)的定义域;
(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.
解:(1)由a x-1>0,即a x>1,
当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞),
当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)由题意(a-1)x-1>0,且a>0,a≠1,
当a>1时,x>1
;
a-1
.
当0<a<1时,x<1
a-1
所以当a>1时,f(x)的定义域为(1
,+∞);
a-1
当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,1
).
a-1
[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)证明f(x)是增函数;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值?
(1)解:要使函数有意义,
必有a x-b x>0,a>1>b>0,
可得(a
) x>1,解得x>0,
b
函数的定义域为(0,+∞).
(2)证明:设g(x)=a x-b x,再设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,且x1<x2,
则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1),
对于函数y=a x为增函数,y=b x为减函数,
所以a x1-a x2<0,b x2-b x1<0,
所以g(x1)-g(x2)<0,
所以g(x)在(0,+∞)上为增函数,
因为y=lg x在(0,+∞)上为增函数,
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(3)解:因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以命题f(x)恰在(1,+∞)取正值等价于
f(1)≥0,所以a-b≥1.
选题明细表
基础巩固
1.函数f(x)=ln(x+2)+
的定义域为( B )
√2-x
A.(2,+∞)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,2)
解析:由题意可知{x +2>0,
2-x >0,
解得-2<x<2.故选B.
2.已知f(x)=a -x ,g(x)=log a x ,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( D )
解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.
3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0,且a ≠1,b>0,且b ≠1),则f(x)的图象过定点( C ) A.(0,1) B.(1,1) C.(1,0) D.(0,0)
解析:当x=1时,f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0,所以f(x)的图象过定点(1,0).故选C.
4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.
5.已知f(x)为对数函数,f(1
2)=-2,则f(√43
)= .
解析:设f(x)=log a x(a>0,且a ≠1), 则log a 1
2=-2,
所以1a
2=1
2
,即a=√2,所以f(x)=lo g √2x ,
所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43
)2
=log 224
3
=4
3
.
答案:4
3
6.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a= ,b= .
解析:由图象得{log a (0+b )=2,
log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.
答案:√3 3
能力提升
7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ,y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ,则( D ) A.A ∩B= B.A=B
C.A ⫋B
D.B ⫋A
解析:由x 2-3x+2>0,解得x<1或x>2, 所以A=(-∞,1)∪(2,+∞);由{x -1>0,
x -2>0,
解得x>2,所以B=(2,+∞).
故B ⫋A.故选D.
8.已知等式log 2m=log 3n ,m ,n ∈(0,+∞)成立,那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤
解析:当m=n=1时,有log 2m=log 3n ,故①可能成立;当m=1
4
,n=1
9
时,
有log 2m=log 3n=-2,故②可能成立;当m=4,n=9时,有log 2m=log 3n=2,此时1<m<n ,故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图,四边形OABC 是面积为8的平行四边形,OC ⊥AC ,AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)的图象经过点E 和点B ,则a= .
解析:设点E(b ,c),则C(b ,0),A(b ,2c),B(2b ,2c), 则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2,a=√2.
答案:√2
10.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;
(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,
-log 3x ,0<x <1,
函数f(x)的图象如图所示.
(2)设函数y=|log 3x|和y=a ,
当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个. 当a=0时,两图象只有1个交点,即原方程只有1个解. 当a>0时,两图象有2个交点,即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+1
4].
(1)若定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ,求实数a 的取值范围.
解:(1)要使f(x)的定义域为R ,则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+
14
>0恒成立.
当a=0时,不合题意;
当a ≠0时,由二次函数图象(图略)可知
{a >0,
Δ=(a -1)2
-a <0,
解得
3-√52
<a<
3+√52
.
故所求实数a 的取值范围为(3-√52
,
3+√52
).
(2)要使f(x)的值域为R ,则有t=ax 2+(a-1)x+14
的值域必须包含(0,
+∞).当a=0时,显然成立;当a ≠0时,由二次函数图象(图略)可知,其图象必须与x 轴相交,且开口向上, 所以{a >0,Δ=(a -1)2
-a ≥0, 解得0<a ≤
3-√52
或a ≥
3+√52
.
故所求a 的取值范围为[0,3-√52
]∪[
3+√52
,+∞).
应用创新
12.已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m ,n 满足m<n ,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知,0<m<1<n ,所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知,当x=m 2时函数f(x)取得最大值,所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1,解得m=1
2.再结合f(m)=f(n)求得n=2,所
以n+m=5
2
.
答案:5
2。