新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件

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(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.
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提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2) ×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
1 2
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为 {x|x＜ 1 或x＞1} .
2
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为 . 答案:
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为 ( )
A. 1 ,-5
2
B.- 1 ,5
2
C.2,- 1
5
D.-2, 1
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元 二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.
(2)若一元二次不等式ax2+x-1>0(a≠0)的解集为R,则实数a应满足什么条件?
(2)若a≠0,则函数为二次函数,
若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根.故判别式Δ=1+4a=0,得
a=- 1 .
4
综上所述,当a=0或a=- 1 时,函数仅有一个零点.
4
【解题策略】 已知二次函数的零点或零点的个数求参数的解题策略 1.已知函数的零点求参数时,只要把零点代入相应的方程,解出参数值即可. 2.已知函数零点的个数求参数时,先求判别式,再根据判别式符号情况解不等式 或方程,便可得参数的值或范围.
【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗? 提示:不是,二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0) 的根、二次函数y=ax2+bx+c (a 0) 的图象、二 次函数y=ax2+bx+c (a 0) 的零点之间的关系 (1)关系(当a>0时)
本例若把二次函数变为:y= 1 x2+ax+a- 1 (a R) ,则函数零点的个数为________.
2
2
【解析】考察方程 1 x2+ax+a- 1 =0,因为Δ=a2-4× 1 (a 1)=a2-2a+1= (a 1)2≥0,
2
2
22
所以方程 1 x2+ax+a- 1 =0有两个相等的实数根或两个不相等的实数根,所以二
2
所以 1 是函数y=4x2-4x+1的零点.
2
2.选C.解方程2x2-6=0,得x=± 3,所以± 3是函数y=2x2-6的零点.
3.由图象可知,函数图象与x轴交点的横坐标分别为0.3,2,即为函数的零点.
答案: 0.3,2
【解题策略】 求二次函数零点的方法 (1)解相应的一元二次方程,方程的根即为零点; (2)画二次函数的图象,与x轴交点的横坐标即为零点.
5
【解析】选B.因为方程(2x+1)(x-5)=0的两个根为x1=- 1 ,x2=5,所以二次函数
2
y =(2x+1)(x-5)的零点为- 1 ,5.
2
3.二次函数y=x2-2的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1)
B.(1, 2)
C.(2,3)
D.(3, 4)
【解析】选B.解方程x2-2=0得,x=± 2, 其中1< 2 <2.
【补偿训练】
求证:二次函数y=x2-3x+1有两个零点,且在区间 (2,3) 上存在零点. 【证明】考察一元二次方程x2-3x+1=0.
因为Δ= (3-)42 ×1×1=5>0, 所以方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根,
因此二次函数y=x2-3x+1有两个零点.
又因为方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为:
x1= 3
2
5 ,x2
3 2
5 ，其中2 3 2
5
3，
因此二次函数y=x2-3x+1在区间(2,3) 上存在零点.
类型三 二次函数零点的应用(逻辑推理,数学运算)
【典例】若函数y=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的值.
【思路导引】先讨论该函数是否为二次函数,再分别求参数a的值.
【解析】(1)若a=0,则y=-x-1为一次函数,易知函数只有一个零点.
(3)×.当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2},否则不成立.
2.(教材二次开发:练习改编)不等式(2x+1)(x-1)>0的解集是 ( )
A. {x| 1＜x＜1}
2
B.{x|x>1}
C.{x|x<1或x>2}
D.{x|x＜ 1 或x＞1}
2
【解析】选D.因为方程(2x+1)(x-1)=0的解为x1=-
【跟踪训练】 已知二次函数y=2ax2+a2x+1(a≠0)的一个零点为1,则a=________. 【解析】由题意,x=1是方程2ax2+a2x+1=0的根,所以2a+a2+1=0,解得a=-1. 答案:-1
1.若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的个数为
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A.0个
(2)本质:方程ax2+bx+c=0(a≠0)和不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0) 是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时, 函数y=ax2+bx+c(a≠0)就转化为方程,当y>0或y<0时就转化为一元二次不等式. (3)应用:①解一元二次不等式,②已知一元二次不等式的解集求参数,③一元二 次不等式的应用问题.
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的_整__式__不__等__式__叫作一元二次不等式.
【思考】
不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
x
提示:不是,一元二次不等式一定是整式不等式.
2.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系 (1)关系:(a>0)
4.已知二次函数的图象如图所示,则此函数的零点为______.
【解析】因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,1,所以此函数的零 点为-1,1. 答案:-1,1
5.二次函数y=x2-ax的一个零点为2,则a=________. 【解析】由题意,x=2是方程x2-ax=0的根,所以4-2a=0,解得a=2. 答案:2
类型一 求二次函数的零点(数学运算)
【题组训练】
1.函数y=4x2-4x+1的零点为 ( )
A.( 1 ,0)
B.(1 ,0)
C. 1
D. 1
2
2
2
2
2.函数y=2x2-6的零点为 ( )
A.±3
B.±6
C.± 3
D.± 6
3.已知某函数的图象如图所示,则此函数的零点为______.
【解析】1.选D.解方程4x2-4x+1=0,得x= 1 ,
x1=2- 21 ,x2=2+ 21 ,
3
3
因为 4 21 5，所以 5 21 4，
333
333
故2- 5 2 21 2 4，2 4 2 21 2 5，
3
3
33
3
3
所以0<x1<1,3<x2<4.
【解题策略】 二次函数零点判断的关注点 1.二次函数的零点的个数取决于相应的一元二次方程判别式的符号,即Δ>0时, 两个零点,Δ=0时,一个零点,Δ<0时没有零点. 2.判断二次函数零点的范围时,如果求出的一元二次方程的根是无理数,一般结 合不等式的基本性质,判断出大致的范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)a>0时二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
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(2)如果二次函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点,则此二次函数没有零点. ( )
提示:(1)×.Δ>0时二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
(2)√.根据二次函数零点的概念可得.
【补偿训练】
函数y=3x2-2x的零点为________.
【解析】解方程3x2-2x=0,得x=0或x= 2 .
3
答案:0,2
3
类型二 二次函数零点的判断(逻辑推理)
角度1 二次函数零点个数的判断
【典例】二次函数y= 1 x2-ax+a-1 (a R) 零点的个数为 ( )
2
A.0个
B.1个
C.2个
2
2
次函数有一个或两个零点.
答案:1或2
角度2 二次函数零点范围的判断
【典例】(多选题)二次函数y=3x2-12x+5的零点所在的区间为 ( )
A.(1, 0)
B.(0,1)
C.(2,3)
D.(3, 4)
【思路导引】解相应一元二次方程,判断其根所在的区间.
【解析】选BD.由求根公式可得一元二次方程3x2-12x+5=0的两个根分别是
A.y=(x 1)(x-3)
B.y=x2-2x
C.y=2x2+2x+1
D.y=x2-2x-1
【解析】选D.因为方程 (x 1)(x-3)=0的两个实数根分别为x1=-1,x2=3,方程x2-2x= 0的两个实数根分别为x1=0,x2=2,方程2x2+2x+1=0没有实数根,故A,B,C选项均不 正确;方程x2-2x-1=0的实数根为x=1± 2 ,其中-1<1- 2<0,D选项正确.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中若b2>4ac,则函数零点的个数为 ( )A.0B.1C.2D.不能确定
【解析】选C.因为b2>4ac,
所以Δ=b2-4ac>0,所以函数有2个零点.
3.(教材二次开发:练习改编)函数y= (x 2)(x 1)的零点是________. 【解析】令 (x 2)(x 1) =0,解得x=-2或x=-1,所以函数的零点是-2,-1. 答案:-2,-1
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象 与x轴交点和二次函数零点的情况. (3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零 点所在的区间.
【思考】 当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函 数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是怎样的? 提示:当a<0时
【题组训练】 1.二次函数y=-x2+3x-4零点的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法判断 【解析】选A.考察方程-x2+3x-4=0,因为Δ=32-4× (1)(4=) -7<0,所以方程-x2+ 3x-4=0没有实数根,所以二次函数无零点.
2.下列二次函数在区间 (1,0) 上存在零点的是 ( )
类型一 解一元二次不等式(数学运算、直观想象) 【题组训练】 1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N= ( ) A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程 3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 P31
1.二次函数的零点 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0) 的根就是二次函数y=ax2+bx+c (a 0)当函 数值取零时_自__变__量__x_的__值__,即二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象与_x_轴__交__点__的__横__ _坐__标__,也称为二次函数y=ax2+bx+c (a 0) 的零点.
D.无法判断
【思路导引】考察相应的一元二次方程,根据判别式的符号情况判断.
【解析】选C.考察方程 1x2-ax+a-1=0,因为Δ= (a)2 -4× 1 (a 1=) a2-2a+2= (a 1)2
2
2
+1>0,所以方程 1 x2-ax+a-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数有两个零点.
2
【变式探究】
提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0(a≠0)的解集为R,则
a＞0， 1 4a＜0，
解得a∈
,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式 ( )
(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解