高中数学高考第1节 绝对值不等式 课件

两招解不等式问题中的含参问题
自
主 回
(1)问题转化
课
顾
①把存在性问题转化为求最值问题，即 f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a.
后 限
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
时 集
课
训
堂 考
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问
点
探 究
题都可转化为最值问题，即 f(x)＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成
课
.
后
限
2 [由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
时 集
训
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]
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15
4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是
．
课
前
自 主 回 顾
{x|x≥1}
－3，x≤－1，
[令 f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1＜x＜2， 3，x≥2.
当课 后 限
时
课 －1＜x＜2 时，
集 训
堂
考 点
由 2x－1≥1，解得 1≤x＜2.又当 x≥2 时，f(x)＝3＞1 恒成立．所
探
究 以不等式的解集为{x|x≥1}．]
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16
课
前
自 主 回
课堂考点探究
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
17
课
前 自
考点 1 绝对值不等式的常用解法
主
回
解绝对值不等式的常用方法
前
自
主 回
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法： 课
顾
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
后
限
②利用零点分段法求解；
时 集
课
训
堂 考
③构造函数，利用函数的图象求解．
点
探
究
返 首 页
11
课
前 自
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
主
回
(1)若|x|＞c 的解集为 R，则 c≤0.
课
顾
(1)解关于 x 的不等式 f(x)－f(x＋1)≤1；
后 限
(2)若关于 x 的不等式 f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求 m 的
后
限
当 x>1 时，Hale Waihona Puke 式化为 x2＋x－4≤0，时
集
课
堂 考 点
从而 1＜x≤－1＋2
17 .
训
探
究
所以 f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋2
17
.
返 首
页
26
课 前
(2)当 x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
自
主 回
所以 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当 x∈[－1,1]时， 课
探
究
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30
[逆向问题]
课
前 自
若|x－1＋a|＋|x－a|≥3，求 a 的取值范围．
主
回
课
顾
[解] ∵|x－1＋a|＋|x－a|≥|2a－1|，
后
限
∴|2a－1|≥3，
时 集
课
训
堂 考
∴2a－1≥3 或 2a－1≤－3，
点
探
∴a≥2 或 a≤－1，
究
即 a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 返 首 页
顾
f(x)≥2.
后 限
又 f(x)在[－1,1]的最小值必为 f(－1)与 f(1)之一，
时 集
课
训
堂 考
所以 f(－1)≥2 且 f(1)≥2，得－1≤a≤1.
点
探 究
所以 a 的取值范围为[－1,1]．
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27
考点 2 绝对值三角不等式的应用
课
前 自
利用绝对值三角不等式求最值(或证明)
主
1
课
前
自
主
回
课
顾
第十三章 选修4-5不等式选讲
后 限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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2
全国卷五年考情图解
课
前
自
主
回
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
3
高考命题规律把握
课
前 自
1.考查形式
主
回 顾
本章在高考中考查 1 道解答题，分值 10 分.
课 后
2.考查内容
限
时
课 高考对本章内容的考查主要体现在以下两个方面：
后 限
时，等号成立．
课
堂 考
定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|
时 集 训
，当
点
探 究
且仅当
(a－b)(b－c)≥0
时，等号成立．
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9
2．绝对值不等式的解法
课 前
(1)|x|<a 与|x|>a 型不等式的解法：
自
主 回
不等式
a>0
a＝0 a<0
课
顾
|x|<a _{x_|_－__a_＜__x_＜__a_}
自
主 回
－1|<1 成立．
课
顾
后
若 a≤0，则当 x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
限
时
课 堂 考
若 a>0，|ax－1|<1 的解集为 x0<x<2a ，所以2a≥1，故 0<a≤2.
集 训
点 探
综上，a 的取值范围为(0,2]．
究
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23
课
前
自
主
回 顾
解 答 例 (2) 第 ② 问 时 ， 求 出 |ax － 1| ＜ 1
时 集
课
训
堂 考
②若 x∈(0,1)时，不等式 f(x)>x 成立，求 a 的取值范围．
点
探
究
返 首 页
20
课
前 自 主
[解] (1)原不等式可化为x＜－32， 或x≥－32，
回 顾
－x－3≥2 3x＋3≥2.
课 后
限
课
解得 x≤－5 或 x≥－13.
时 集 训
堂
考 点 探
综上，原不等式的解集是xx≤－5或x≥－13
返
首
页
34
课
前
自
主 回
(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y 课
顾
后
＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56＜1.
限 时
集
课
堂
故不等式 f(x)＜1 得证．
训
考
点
探
究
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35
考点 3 绝对值不等式的综合应用
课 前
回 顾
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立 课 后
的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
限 时
集
课 堂
(2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利 训
考
点 用绝对值三角不等式更方便．形如 y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小
时 集
训
点
探 究
所以|2x＋3y＋1|的最大值为 7.
返 首 页
29
课
前
自
主
(2)若 a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
回
课
顾
后
[证明] 因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|， 限 时
课
又 a≥2，故|2a－1|≥3，
集 训
堂
考 点
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3 成立．
二、教材改编
课
前
1．不等式 1<|x＋1|<3 的解集为( )
自
主
回
A．(0,2)
顾
C．(－4,0)
B．(－2,0)∪(2,4)
课
后
D．(－4，－2)∪(0,2)
限
时
集
课 堂
D [原不等式等价于 1<x＋1<3 或－3<x＋1<－1，
训
考
点
∴0<x<2 或－4<x<－2，
探
究
∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选 D.]
后 限
－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的
时 集
课
训
堂 考
不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
点
探
究
返 首 页
7
课
前
自 主 回
课前自主回顾
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
8
课
前
自
主 回
1．绝对值三角不等式
课
顾
定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅当__a_b_≥_0___
顾
( )课
后
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.
( )限 时
课
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立．
(
)
集 训
堂
考 点
(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤0 时等号成立．
()
探
究
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
返 首 页
12
后
的不等式(组)求解
限
时
课
数形结
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，
集 训
堂
考 点
合法 利用函数图象求解
探
究
返 首 页
19
课
前
自
主 回
(1)解不等式 x＋|2x＋3|≥2.
课
顾
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
后 限
①当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集；
集 训
堂
考 点
(1)绝对值不等式的求解及绝对值不等式与函数问题的综合；
探
究 (2)绝对值不等式的恒成立问题及与不等式的证明相结合.
返 首 页
4
3.备考策略
课
前
自 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律
主
回 顾
①含绝对值不等式的解法问题；
课 后
②利用绝对值三角不等式求最值问题；
限 时
集
课 ③不等式的解集与参数问题；
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13
课
前
自 主
2．函数 y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )
回
顾
A．2
B．4
课 后
限
C．6
D．10
时
集
课
训
堂 考
A [由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2，故选 A.]
点
探
究
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14
课 前 自 主 回
顾＝
课 堂 考 点 探 究
3 ． 若 不 等 式 |kx － 4|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤3} ， 则 实 数 k
训
堂
考
点 ④证明不等式问题.
探
究 (2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
返 首 页
5
课
前
自
主
回
课
顾
后
第一节 绝对值不等式
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
6
课
前
自
主 回
[最新考纲] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立 课
顾
的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a
31
课
前
自
主
回
课
顾
本例(2)的证明使用了放缩法，即先证明|x－1＋a|＋|x－
后 限
a|≥|2a－1|，然后再证明|2a－1|≥3.
时 集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
32
课
前
自
主
回
已知函数 f(x)＝|2x－1|，x∈R.
课
顾
后
(1)解不等式 f(x)＜|x|＋1；
限
时
课 堂
(2)若对 x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)＜1.
的解集
课 后
限
课 x0＜x＜a2 后，易错误的认为2a＜1，导致解题错误．
时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
24
课
前
自
主 回
(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x 课
顾
＋1|＋|x－1|.
后 限
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；
时 集
课
训
堂 考
∅
∅
后 限
|x|>a {_x_|x_＞__a_或__x_＜__－__a_} {x∈R|x≠0} R
时 集
课
训
堂 考
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
点 探 究
①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ；
②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c
.
返
首
页
10
课
立⇔a＜f(x)min.
返
首
页
36
课
前 自
(2)求最值
主
回 顾
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
课 后
①利用绝对值的几何意义；
限 时
集
课 堂
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
训
考
点
③利用零点分区间法．
探
究
返 首 页
37
课
前
自
主 回
(2019·合肥模拟)已知函数 f(x)＝|2x－1|.
探
究 值，形如 y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．
返 首 页
28
课
前 自
(1)若对于实数 x，y 有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y
主
回 顾
＋1|的最大值．
课 后
限