内蒙古阿拉善盟阿拉善左旗高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

阿左旗高级中学2017-2018年度第二学期期末试卷
高二理数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )
A. 将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B. 某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C. 电视机的使用寿命
D. 从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
【答案】C
【解析】分析：直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.
详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.
点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.
2. 对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据
(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
图①图②
A. 变量x与y正相关，u与v正相关
B. 变量x与y正相关，u与v负相关
C. 变量x与y负相关，u与v正相关
D. 变量x与y负相关，u与v负相关
【答案】C
【解析】试题分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，y与x负相关；u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关.
故选C．
考点：散点图.
视频
3. 已知A(2，－5, 1)，B(2，－4，2)，C(1，－4, 1)，则与的夹角为（）
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
【答案】B
【解析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由
，可得结论.
详解：，
，
，
并且，
，
与的夹角为，故选B.
点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.
4. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为( )
A. ＝1.23x＋4
B. ＝1.23x＋5
C. ＝1.23x＋0.08
D. ＝0.08x＋1.23
【答案】C
【解析】分析：根据线性回归方程一定过样本中心点，选择验证法或排除法即可，具体方法就是将点的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求.
详解：由线性回归的斜率的估计值为，可排除，
由线性回归直线方程样本点的中心为，
将分别代入，其值依次为，排除，故选C.
点睛：本题考查了线性回归直线方程的应用问题，是基础题目.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
5. 若，则m等于( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】C
【解析】分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.
详解：，
，
即，解得，故选C.
点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.
6. 已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( )
A. 0.477
B. 0.628
C. 0.954
D. 0.977
【答案】C
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），
∴正态曲线关于x=0对称，
∵P（ξ＞2）=0.023，
∴P（ξ＜-2）=0.023
∴P（-2≤ξ≤2）=1-0.023-0.023=0.954，
故答案为：0.954
视频
7. 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，恰有2天准时到站的概率为，故选择B。

8. 用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A. 243
B. 252
C. 261
D. 279
【答案】B
【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．
视频
9. 设随机变量ξ服从二项分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则( )
A. n＝8，p＝0.2
B. n＝4，p＝0.4
C. n＝5，p＝0.32
D. n＝7，p＝0.45
【答案】A
【解析】列方程组，解得......................
10. 从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班1位班主任),要求这3位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( )
A. 210
B. 420
C. 630
D. 840
【答案】B
【解析】试题分析：题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意就，需要从总数中去掉．解：∵共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，∴满足条件的方案有A93-（A53+A43）=420，故选B．
考点：排列与组合问题
点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题
11. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( )
A. 7
B. －7
C. 21
D. －21
【答案】C
【解析】分析：给二项式中的赋值1，求出展开式的各项系数和，列出方程求出；将的值代入二项式，利用二项式展开式的通项公式求出通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项，可求出展开式的系数.
详解：令得展开式的各项系数之和，
，解得；
展开式的通项为，
令，解得，
展开式的系数是，故选C.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
12. 在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过
B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝( )
A. 1 006
B. 1 007
C. 1 008
D. 1 009
【答案】D
【解析】分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.
详解：由直角坐标系可知，
，
即，
由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，
且都等于所在的项数除以2，
则，
每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，
每组的第一个数为其组数，
每组的第一个数和第三个数是互为相反数，
因为，
则，
，故选D.
点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 曲线在点处的切线方程为________________________．
【答案】
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
详解：
点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
14. 若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_____________．
【答案】2π
【解析】分析：由的几何意义可知，点的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，由圆的面积公式可得结论.
详解：，
在复平面内对应点的的轨迹是以为圆心，
为半径的实心圆，
该圆的面积为，故答案为.
点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.
15. 已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=______________
【答案】-1
【解析】分析：展开式的系数为的二次项系数，加上与展开式中的系数乘积的和，由此列方程求得的值.
详解：，
其展开式中含项的系数，
解得，故答案为.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求某一项的系数，是常见的题目.
16. 某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为_______．
【答案】(1). (2).
【解析】分析：根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式可得任取此公司的一件产品为不良品的概率；利用条件概率公式可得在已知此产品为不良品前提下此产品由所生产出的概率.
详解：，
，故答案为.
点睛：本题主要考查独立事件的概率公式与互斥事件的概率公式以及条件概率公式，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(2)全体站成一排，女生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生互不相邻．
【答案】（1）3600（2）576（3）1440
【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．
(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．
(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种方法．
点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
18. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且
DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.
详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则
D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝.
故点E到平面ACF的距离为.
点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（Ⅰ）由已知，有
所以事件发生的概率为.
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望
考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.
视频
20. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为. (1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
参考公式：K 2
＝
【答案】（1）见解析（2）有
【解析】分析：（1）由全部人抽到随机抽取1人为优秀的概率为，可以计算出优秀人数为30，从而可得到表中各项数据的值；（2）根据列联表中的数据，代入公式
，计算出的值，与临界值比较即可得到结论.
详解：(1)
(2)根据列联表中的数据，得到
K2＝≈6.109>3.841，
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
21. 设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
当x<－时，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，∴x<－7；
当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，∴<x<4；
当x≥4时，由f(x)＝x＋5>2，得x>－3，∴x≥4.
故原不等式的解集为.
(2)画出f(x)的图象如图：
∴f(x)min＝－.
22. 已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）当时，等价于．设函数，利用导数研究函数的单调性可得在单调递减，从而，即；（2）设函数，在
只有一个零点，当且仅当在只有一个零点，当时，，没有零点；，在
没有零点；，在只有一个零点；，由于，根据零点存在定理可得在
有两个零点，综上可得结果.
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。