高数辅导之专题五：间断点

专题五
基础知识
如果)(x f 在点0x 处有下列三种情况之一，则点0x 是)(x f 的一个间断点：
（1）在点0x 处，)(x f 没有定义
（2）)(lim 0
x f x x →不存在 （3）虽然)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00
x f x f x x ≠→ 简单地说，不连续的点即为间断点。

间断点的分类：
（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。

（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。

例题
1. 0=x 是函数x y 1arctan
=的 间断点。

解：x y 1arctan =在0=x 处没有定义，故0=x 是x
y 1arctan =的间断点，且 x
x x x 1arctan lim 221arctan lim 00+-→→=≠-=ππ 从而0=x 是函数x
y 1arctan =的跳跃间断点。

2. 0=x 是函数121
21
1+-=x x y 的 间断点。

解：121
21
1+-=x x y 在0=x 处没有定义，故0=x 是12121
1+-=x x y 的间断点，且
110101
21
2lim 110-=+-=+--→x x x 10
1012121lim 121
2lim 1101
10=+-=+-=+---→→++x x x x x x
从而0=x 是函数121
21
1+-=x x y 的跳跃间断点。

3. 函数)
1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为 。

解：)1(1)(2--=x x e x f x 在0=x 和1处没有定义，故0和1是)
1(1)(2--=x x e x f x 的间断点，且是仅有的两个间断点（因为)(x f 是一个初等函数，)(x f 在它的定义域内都是连续的）。

下面分别0和1的间断点类型：
)
1(2lim )1(1lim 020-=--→→x x x x x e x x x 1
2lim 0-=→x x 2-=
11lim 1lim )1(1lim 12121-⋅-=--→→→x x
e x x e x x x x x ∞⋅-=)1(2
e
∞= 从而0=x 是函数)
1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点，1=x 是第二类间断点。

4. 函数||ln |
1|)(x x x x f -=的可去间断点为 。

解：||ln |1|)(x x x x f -=在0=x 和1处没有定义，故0和1是||ln |
1|)(x x x x f -=的间断点，且是仅有的两个间断点。

下面分别0和1的间断点类型： ||ln lim ||ln |1|lim 0
0x x x x x x x →→=- x
x x 1
||ln lim 0→=
2011
lim x
x x -=→ )(lim 0
x x -=→ 0=
x x
x x x x x x ln 1lim ||ln |1|lim 11-=---→→ x
x x -=-
→1ln lim 1 1
1
lim 1-=-→x x 1-= x x x x x x x x ln 1lim ||ln |
1|lim 11-=-++→→ 1
ln lim 1-=+
→x x x 1
1
lim 1x x +→= 1= 从而0=x 是函数||ln |
1|)(x x x x f -=的可去间断点，1=x 是跳跃间断点。

5. 讨论函数1
)1(lim )(22+-=∞→n n n x x x x f 的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。

解：1
]2)1[(lim 1)1(lim )(2222+-+=+-=∞→∞→n n n n n n x x x x x x x f )]1
21([lim 2+-⋅=∞→n n x x )1
)(2lim 1(2+-⋅=∞→n n x x )1)(lim 21(2+-
⋅=∞
→n n x x 分三种情形说明：
（1）当102<≤x 时，
x x x f -=+-
⋅=)1021()( （2）当12=x 时，
0)1121()(=+-
⋅=x x f （3）当12>x 时，
x x x f =+∞-
⋅=)1
21()( 亦即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<<---=-<=1
,1,011,1,01,)(x x x x x x x x x f
故定义域为),(+∞-∞，1±=x 为仅有的两个（跳跃）间断点，在其它点处连续。

习题
1. 讨论函数23)
2)(1()(-+-=x x x x x x f 的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。

2. 讨论函数)1arctan(lim )(n
n x x f +=∞→的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。

3. 设n
n x x f 211lim )(+=∞→，则在),(+∞-∞内)(x f 是 （ ） A ．初等函数 B ．处处有定义的函数
C ．处处有极限的函数
D ．处处连续的函数
4. 试确定常数a ，b ，使函数1
lim )(2212+++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数。

努力就有收获!。