江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷【有答案】

江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z⋅（1+i）＝2﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝（）
A．2B．3C．4D．5
2．满足{1}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为（）
A．5B．6C．7D．8
3．下列选项正确的是（）
A．sin103°＜sin164°
B．
C．sin508°＜sin144°
D．
4．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米
A．B．C．D．
5．过双曲线的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．4
6．已知f（x）＝|x+3|+|x﹣3|，则不等式f（2x）≤f（x﹣1）的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．
7．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＞0，对定义域内任意的x1，x2，当x1＜x2时，x2f（x1）＜x1f（x2），若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
8．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B．例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{1，3}，则A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，A×C＝{（1，1），（1，3），（2，1），（2，3）}．现已知M＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A，B是M的子集，若（a，b）∈A×B，（b，a）∉A×B，
则A×B内元素最多有（）个
A．20个B．25个C．50个D．75个
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．若函数，则下列命题正确的是（）
A．函数y＝f（x）的图象与的图象重合
B．
C．
D．存在唯一的，使得
10．用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（）
A．五边形B．直角三角形C．直角梯形D．钝角三角形
11．已知函数f（x）＝x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为y＝f'（x），下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的单调减区间为
B．函数y＝f（x）的极小值是﹣15
C．当a＞2时，对于任意的x＞a，都有f（x）＜f（a）+f'（a）（x﹣a）
D．函数y＝f（x）的图像有条切线方程为y＝3x﹣1
12．已知圆C：x2+y2＝1直线l：x+y﹣2＝0，下列说法正确的是（）
A．直线l上存在点P，过P向圆引两切线，切点为A，B，使得
B．直线l上存在点P，过点P向圆引割线与圆交于A，B，使得|P A||PB|＝2
C．与圆C内切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．与圆C外切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，，则＝．
14．若数列{a n}第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列{a n}为二阶等差数列，已知数列{a n}是一个二阶等差数列，且a1＝3，a2＝7，a3＝13，则a n＝．
15．已知直线x＝my+4与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若S△AOB＝20（O为坐标原点），则实数m的值为．
16．已知正实数x，y满足x+y＝m，函数的最小值为，则实数m取值的集合为．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中b＝2c，a＝2，且．（1）求A的大小；
（2）求△ABC的面积．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，O是AD的中点，AD∥BC，且AD＝4，AB＝BC＝CD＝2，P A＝PD ＝PB＝PC＝2．
（1）求证：AC⊥平面POB；
（2）求点B到面P AC的距离．
19．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．
（1）求S n；
（2）求数列的前n项的和T n．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝90°，（0＜λ＜1）．
（1）证明：MN∥平面ABC；
（2）当MN最短时，求二面角A1﹣MN﹣C1的余弦值．
21．（12分）已知直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，线段AB的两个端点分别在直线l1与l2上滑动，且|AB|＝4．（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；
（2）直线l3：y＝2x+b，l4：y＝﹣2x+b与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）求函数g（x）＝（x+1）f（x）的单调区间；
（2）若直线l与函数y＝f（x）的图象相切于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜0＜x2，求直线AB的方程．
江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷
【参考答案】
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z⋅（1+i）＝2﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，再根据复数的模的公式即可得解．
【解答】解：∵z（1+i）＝2﹣2i，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的模的定义，属基础题．
2．满足{1}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为（）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据{1}⊆A⊆{1，2，3，4}分析出集合A的所有结果即可．
【解答】解：因为{1}⊆A⊆{1，2，3，4}，所以A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，是基础题．
3．下列选项正确的是（）
A．sin103°＜sin164°
B．
C．sin508°＜sin144°
D．
【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断．
【解答】解：对A选项，∵y＝sin x在上单调递减，
∴sin103°＞sin164°，∴A选项错误；
对B选项，∵，
，
又，且y＝cos x在上单调递减，
∴，∴，∴B选项错误；
对C选项，∵sin508°＝sin（360°+148°）＝sin148°，且y＝sin x在上单调递减，
∴sin148°＜sin144°，∴sin508°＜sin144°，∴C选项正确；
对D选项，∵，且y＝tan x在上单调递增，
∴，∴，∴D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属基础题．
4．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米
A．B．C．D．
【分析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，根据圆锥体积公式即可得到答案．
【解答】解：根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，
根据圆锥体积公式得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
5．过双曲线的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．4
【分析】由双曲线的方程求出渐近线方程，由题意令x＝a，求出y，依题意由等边三角形的性质得到＝，将两边平方，即可求出a、c的关系，从而求出离心率．
【解答】解：双曲线的渐近线为，令x＝a，解得y＝±b，
不妨取A（a，﹣b），B（a，b），左焦点为F1（﹣c，0），
又△ABF1为正三角形，
∴＝，而b2＝c2﹣a2，两边平方整理可得c2﹣ac﹣2a2＝0，可得c＝2a或c＝﹣a，可得离心率e＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
6．已知f（x）＝|x+3|+|x﹣3|，则不等式f（2x）≤f（x﹣1）的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．
【分析】作出函数f（x）＝|x+3|+|x﹣3|的图象，结合对称性以及单调性即可得解．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，
当|x﹣1|≤3，即﹣2≤x≤4，不等式等价于f（2x）＝f（x﹣1），﹣3≤2x≤3，解得，
当|x﹣1|＞3，即x＞4或x＜﹣2，
因为f（2x）≤f（x﹣1），所以|2x|≤|x﹣1|，解得．
综上，不等式f（2x）≤f（x﹣1）的解集为．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
7．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＞0，对定义域内任意的x1，x2，当x1＜x2时，x2f（x1）＜x1f（x2），若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【分析】变形得到确定为（0，+∞）上的增函数，构造g（x）＝xf（x），确定函数为增函数计算函数值得到答案．
【解答】解：当0＜x1＜x2时，x2f（x1）＜x1f（x2），即，
所以为（0，+∞）上的增函数．
令g（x）＝xf（x），因为f（x）＞0，所以为（0，+∞）上的增函数．
因为，故，所以b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性的运用，考查构造函数思想以及运算求解能力，属于中档题．
8．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B．例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{1，3}，则A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，A×C＝{（1，1），（1，3），（2，1），（2，3）}．现已知M＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A，B是M的子集，若（a，b）∈A×B，（b，a）∉A×B，则A×B内元素最多有（）个
A．20个B．25个C．50个D．75个
【分析】根据新定义可得m+n≤10，结合基本不等式即可得结果．
【解答】解：设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，
若（a，b）∈A×B，（b，a）∉A×B，即a≠b，则m+n≤10．
所以．当且仅当m＝n＝5时取等号
即A×B内元素最多有25个，
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．若函数，则下列命题正确的是（）
A．函数y＝f（x）的图象与的图象重合
B．
C．
D．存在唯一的，使得
【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果．
【解答】解：对A选项，∵，∴A选项正确；
对B选项，∵，
，
∴，∴B选项错误；
对C选项，∵，
，∴C选项正确；
对D选项，∵，∴，
①当，即时，，
∴，使得；
②当，即时，，
∴，使得，
综合①②可得有两解，∴D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
10．用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（）
A．五边形B．直角三角形C．直角梯形D．钝角三角形
【分析】根据正方体的几何特征，可分别画出一个平面去截正方体，然后与选项中的四个答案进行对比，即可得到答案．
【解答】解：如图所示，截面△ABC，
设AD＝a，BD＝b，CD＝c，∴AC2＝a2+c2，BC2＝b2+c2，AB2＝a2+b2，
cos∠BAC＝＝＝＞0，
同理可得cos∠ABC＞0，cos∠ACB＞0，∵0＜∠BAC＜π，0＜∠∠ABC＜π，0＜∠ACB＜π，
∴∠BAC，∠BCA，∠ABC为锐角，∴△ABC为锐角三角形，B，D都不可能，B，D都要选；
如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选，
如图截面MNPQ可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选．
故选：BCD．
【点评】本题考查了空间几何体几何特征的理解和应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属基础题．11．已知函数f（x）＝x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为y＝f'（x），下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的单调减区间为
B．函数y＝f（x）的极小值是﹣15
C．当a＞2时，对于任意的x＞a，都有f（x）＜f（a）+f'（a）（x﹣a）
D．函数y＝f（x）的图像有条切线方程为y＝3x﹣1
【分析】对函数f（x）＝x3﹣2x2﹣4x﹣7进行求导，对A令f'（x）＜0即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案．
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2﹣4x﹣7，
所以f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＜0，，
所以f（x）的单调减区间为，
故A正确．
令f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＞0，
则或x＞2，
所以f（x）在，（2，+∞）单调递增，在单调递减，
所以函数的极小值为f（2）＝﹣15，
故选项B正确；
由f'（a）＝3a2﹣4a﹣4，
若f（x）＜f（a）+f'（a）（x﹣a），
即x3﹣a3﹣2（x2﹣a2）﹣4（x﹣a）＜（3a2﹣4a﹣4）（x﹣a）⇔x2+a2+ax﹣2（x+a）﹣4＜3a2﹣4a﹣4⇔（x ﹣a）[x+2（a﹣1）]＜0⇔x+2（a﹣1）＜0矛盾，
故选项C错误．
f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＝3，
解的x＝﹣1或，
当x＝﹣1时切点（﹣1，﹣6）不在y＝3x﹣1上，
当时切点不在y＝3x﹣1上，
故选项D错误，
故选：AB．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12．已知圆C：x2+y2＝1直线l：x+y﹣2＝0，下列说法正确的是（）
A．直线l上存在点P，过P向圆引两切线，切点为A，B，使得
B．直线l上存在点P，过点P向圆引割线与圆交于A，B，使得|P A||PB|＝2
C．与圆C内切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．与圆C外切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
【分析】由，可得∠APO＝∠AOP＝45°，进而可得存在点P（1，1）在直线x+y﹣2＝0上，满足条件判断A；过点P作圆O的割线，交圆O与A，B两点，过点P作圆O的切线，切点为C，从而可得|PO|＝，求得点P可判断B；设动圆圆心设为A，半径设为r，可得A到定直线l2与到定点O距离相等，判断C；A到定点O的距离等于到定直线l1的距离，可判断D．
【解答】解：对于A：∵，∴∠APB＝90°，又P A，PB为圆的两条切线，∴|AP|＝|PB|，且|PO|＝|PO|，
则△APO≅△BPO，∴∠APO＝∠AOP＝45°，∴，
又点O到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，
故存在点P满足，故A正确．
对于B：过点P作圆O的一条割线，交圆O与A，B两点，过点P作圆O的切线，切点为C，
∵PC为圆O的切线，∴∠PCA＝∠PBC，又∵∠CP A＝∠BPC，∴△PCA∽△PBC，
∴，则可得P A⋅PB＝PC2，PC2＝PO2﹣r2＝PO2﹣1＝2，∴，
∴点P满足条件，故B正确．
对于C：∵动圆与圆C内切，且与直线l相切，设动圆圆心设为A，半径设为r，
如图所示AO＝r﹣1，AB＝r，作l的平行线l2与l的距离为1，则A到直线l2的距离为r﹣1，
故A到定直线l2与到定点O距离相等，由抛物线的定义知A点的轨迹为抛物线．故C正确；
对于D：设动圆圆心设为A，半径设为r，∵动圆与圆C外切，且与直线l相切，
如图所示：AO＝r+1，AB＝r，作l的平行线l1与l的距离为1，则A到直线l1的距离为r+1，
则A到定点O的距离等于到定直线l1的距离．∴由抛物线的定义知A点的轨迹为抛物线，故D正确．故选：ABCD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查定义法判断点的轨迹，属中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，，则＝﹣4．
【分析】利用向量数量积的转化求解即可．
【解答】解：M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，，
取MN中点E，
∴，
∴，∴．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基础题．
14．若数列{a n}第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列{a n}为二阶等差数列，已知数列{a n}是一个二阶等差数列，且a1＝3，a2＝7，a3＝13，则a n＝n2+n+1．
【分析】利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列{a n}的通项公式．
【解答】解：∵a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，且数列{a n}是一个二阶等差数列，
∴a n+1﹣a n＝4+（n﹣1）⋅2＝2n+2，∴，
由累加法得，
∴．
而a1＝3也符合上式，
所以a n＝n2+n+1．
故答案为：n2+n+1．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，累加法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．已知直线x＝my+4与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若S△AOB＝20（O为坐标原点），则实数m的值为．
【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线的距离，即可得到关系式．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线的方程，消x可得y2﹣4my﹣16＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，
所以
＝，
又O点到直线的距离，
则S△AOB＝，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16．已知正实数x，y满足x+y＝m，函数的最小值为，则实数m取值的集合为．
【分析】根据基本不等式求得xy的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果．
【解答】解：，
∴，，
令xy＝t，，，
当时，g（t）min＝4，与已知矛盾；
当时，g（t）在单调递减，
∴，
解得或（舍去），
∴m的取值集合．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中b＝2c，a＝2，且．（1）求A的大小；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵0＜A＜π，
∴，
∴，解得A＝．
（2）b＝2c，a＝2，，
在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝4c2+c2﹣2c2＝3c2＝4，解得，
故△ABC的面积为＝．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，O是AD的中点，AD∥BC，且AD＝4，AB＝BC＝CD＝2，P A＝PD ＝PB＝PC＝2．
（1）求证：AC⊥平面POB；
（2）求点B到面P AC的距离．
【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明直线AC垂直于平面POB内两条相交直线即可；
（2）利用等体积法求点到平面的距离．
【解答】证明：（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC，如下图所示：
由题意AD∥BC，AD＝2BC，故AO∥BC，又因为AO＝BC，故四边形ABCO为平行四边形，
又因为AB＝BC，故平行四边形ABCO为菱形，
易知AC⊥BO，并且AM＝MC，
在△P AC中，因为P A＝PC，AM＝MC，故AC⊥PM，
由于AC⊥BO，AC⊥PM，BO∩PM＝M，BO⊂面POB，PM⊂面POB，
故AC⊥面POB．
解：（2）由（1）知四边形ABCO为菱形，所以CO＝BC＝BO＝2，
易得∠ABC＝120°，AC＝2，
在△P AD中，因为P A＝PD＝2，且O为AD的中点，故PO⊥AD，
可以求得PO＝＝2，
同理可得，PM＝，
又因为AC⊥面POB，PO⊂面POB，所以AC⊥PO．
因为PO⊥AD，AC⊥PO，AD∩AC＝A，AD⊂面ABCD，AC⊂面ABCD，
所以PO⊥面ABCD，
所以V P﹣ABC＝．
所以点B到面P AC的距离d＝．
【点评】本题主要考查点到平面的距离，属于中档题．
19．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．
（1）求S n；
（2）求数列的前n项的和T n．
【分析】（1）对﹣S n＝+a n+1移项，因式分解可得S n﹣a n+1＝1，再利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），可证数列{a n}从第2项起，是首项为1，公比为2的等比数列，然后求和，即可；
（2）写出数列{a n}的通项公式后，采用错位相减法，即可得解．
【解答】解：（1）由﹣S n＝+a n+1，知﹣＝（S n+a n+1）（S n﹣a n+1）＝S n+a n+1，
因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n+a n+1≠0，所以S n﹣a n+1＝1，
所以S n﹣1﹣a n＝1（n≥2），
两式相减得，a n﹣a n+1+a n＝0，即a n+1＝2a n（n≥2），
在S n﹣a n+1＝1中，令n＝1，则a2＝a1﹣1＝1，不满足上式，
所以数列{a n}从第2项起，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以S n＝2+＝2n﹣1+1．
（2）由（1）知，a n＝，
所以T n＝+++…++＝+++…++，
所以T n＝+++…++，
两式相减得，T n＝+2+++…+﹣＝+﹣＝﹣，
所以T n＝﹣．
【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）处理问题的方法，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝90°，（0＜λ＜1）．
（1）证明：MN∥平面ABC；
（2）当MN最短时，求二面角A1﹣MN﹣C1的余弦值．
【分析】（1）根据题意，以为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出和平面ABC的法向量，求两向量的数量积可得结论；
（2）先求出的最小值，从而可得M，N，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，
以为正交基底如图建立空间直角坐标系，
设AB＝AC＝AA1＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），
所以．
因为，
所以M（1﹣λ，λ，λ），N（0，﹣λ+1，λ），
所以．
因为AA1⊥平面ABC，
所以平面ABC的一个法向量为．
因为，MN⊄平面ABC，
所以MN∥平面ABC．
（2）解：由（1）得，．当时，MN最短，所以，．
所以，，
设平面A1MN的一个法向量为，
则，
令y＝﹣2，则x＝1，z＝﹣2，
所以平面A1MN的一个法向量为．
设平面C1MN的一个法向量为，
则，令a＝1，则，
设二面角A1﹣MN﹣C1的平面角为θ（0≤θ≤π），
则，
由图可知二面角A1﹣MN﹣C1为钝角，
所以二面角A1﹣MN﹣C1的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）已知直线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，线段AB的两个端点分别在直线l1与l2上滑动，且|AB|＝4．（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；
（2）直线l3：y＝2x+b，l4：y＝﹣2x+b与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值．【分析】（1）利用相关点法即可得到轨迹方程；
（2）分T（0，b）在椭圆内部和椭圆外部进行讨论，直线l3与轨迹C进行联立，可得到二次方程，并写出对应韦达定理和根的判别式，利用四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）设A（x1，2x1），B（x2，﹣2x2），P（x，y），则，
因为，
所以，
所以P的轨迹C的方程为；
（2）设直线y＝﹣2x+b与直线y＝2x+b相交于点T（0，b），
①当点T（0，b）在椭圆内部时，
设直线y＝2x+b与椭圆相交于M（x3，y3），P（x4，y4）
由图象的对称性可知，直线y＝﹣2x+b与椭圆相交于N（﹣x4，y4），Q（﹣x3，y3），
所以四边形MNPQ为一个梯形，
联立，消去y可得20x2+4bx+b2﹣16＝0，
因为直线l3：y＝2x+b与轨迹C有交点，且点T（0，b）在椭圆内部，
所以，解得0≤b2＜16，
所以，，
所以＝
，
当b＝0时，S MNPQ取最大值为；
②当点T（0，b）在椭圆外部时，
设直线y＝2x+b与椭圆相交于D（x5，y5），E（x6，y6）
由图象的对称性可知，直线y＝﹣2x+b与椭圆相交于F（﹣x6，y6），G（﹣x5，y5），
所以四边形DEFG为一个梯形，
联立，消去y可得20x2+4bx+b2﹣16＝0，
因为直线l3：y＝2x+b与轨迹C有交点，且点T（0，b）在椭圆外部，
所以，解得16＜b2＜20，
所以，，
所以＝
，
令t＝b2（16＜t＜20），则在区间（16，20）上单调递减，
于是，
综上所述，当b＝0时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）求函数g（x）＝（x+1）f（x）的单调区间；
（2）若直线l与函数y＝f（x）的图象相切于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜0＜x2，求直线AB的方程．【分析】（1）分x＜0和x≥0两种情况讨论，分别求出导数，再根据导数的符号求出单调区间即可；
（2）根据导数的集合意义分别求出在A（x1，y1）和B（x2，y2）处的切线方程，再根据切线为同一条，可得x1，x2的关系，从而可求得切点，即可得解．
【解答】（1）解：因为函数f（x ）＝．
所以g（x）＝（x+1）f（x ）＝，
当x＜0时，，
因为函数在（﹣∞，0）上单调递减，
所以函数g'（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且g'（﹣1）＝0，
令g'（x）＞0，则x＜﹣1，令g'（x）＜0，则﹣1＜x＜0，
所以函数在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，
当x≥0时，g'（x）＝3x2﹣4x﹣3，
令g'（x）＞0，则，令g'（x）＜0，则，
所以函数在上递增，在上递减，
综上，g（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），，减区间为（﹣1，0），；
（2）解：直线l与函数y＝f（x）图像的两个切点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），x1＜0＜x2，
则当x＜0时，，
当x＞0时，f'（x）＝2x﹣3，
所以l 的方程为，
所以①，②，
将①代入②得，即，
令φ（x）＝ln（3﹣2x）﹣x2+1，，
则φ（1）＝0，，
所以φ（x ）在上单调递减，所以x2＝1，
则直线AB的方程为y＝﹣（x﹣1）﹣2，即x+y+1＝0．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的求法，是难题．
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