数字信号处理课后答案+第1章(高西全丁美玉第三版)
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(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得 到什么结论？
解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二） 所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
题4解图（一）
题4解图（二）
题4解图（三）
(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序 列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可 以用题中(3)的公式计算。 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分 别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n) n0为整常数
（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。
（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。
n + n0 k = n − n0
∑|x(k)|≤|2n0+1|M， 因
此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出 还和x(n)的将来值有关。
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只 和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此 系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n) 的未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统 是稳定的。 7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列 x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=
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第1章 习题与上机题解答 章 习题与上机题解答
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
=
m = −4
∑ (2m + 5)δ (n − m) + ∑ 6δ (n − m)
m=0
−1
4
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画 出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出 图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴 为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图 （四）所示。
m = −∞
∑
∞
x(m)h(n－m)
题7图
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
解法（二） 的表达式分别为
采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 1 h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 2 由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故
y(n)=x(n)*h(n)
1 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ 2 1 =2x(n)+x(n－1)+ x(n－2) 2
将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别 有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
n
③ 4≤n≤7时， y(n)=
m=n−4
④ n>7时， y(n)=0
最后结果为 0 y(n)= n+1 8－n n<0或n>7 0≤n≤3 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如题8解图（二）所示
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证 明。 令输入为 x(n－n1) 输出为 y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(－n+n0) y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系统是线性系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系统是非时变系统。
∑
n
［ax1(m)+bx2(m)］
（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。
m = −∞
∑
∞
R4(m)R5(n－m)
先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0≤m≤3 －4≤m≤n
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)=
m =0 3
∑ 1=n+1 ∑1=8－n
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果 稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=
N −1 k =0
1 N
∑
x(n－k)
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n + n0
（3） y(n)=
k = n − n0
∑ x(k)
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
（7） y(n)=
令输入为 输出为
m =0
∑
n
x(m) x(n－n0)
y′(n)=
m =0 n − n0
m =0
∑=0[DD)]x(m-n0) ∑
x(m)≠y′(n)
n
y(n－n0)=
故系统是时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= 故系统是线性系统。
m =0 =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
m=0
∑
n
0 .5 − m
1 − 0.5 − n −1 = 1 − 0.5 −1
=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n ③ n≥5时
4
y ( n ) = 0 .5 n
m =0
∑
0 .5 − m
1 − 0.5 −5 n = 0.5 = 31 × 0.5 n 1 − 0.5 −1
题8解图（一）
题8解图（二）
(3) y(n)=x(n)*h(n) =
m = −∞
∑
∞
R5(m)0.5n－mu(n－m) R5(m)0.5－mu(n－m)
=0.5n
m = −∞
∑
∞
y（n）对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时， m≤n
y (n) = 0.5 n
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤
（2） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。
π, 所以
2π
2π
数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为ω= 此是非周期序列。 , 所以
ωω=ຫໍສະໝຸດ 14 , 这是有理 3=16π, 这是无理数， 因
4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形；
1 (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 2 1 (3) 计算xo(n)= ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; 2
题1图
解： x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) +2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1 0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)=
m=0
m) ∑ x(
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
题2解图（一）
题2解图（二）
题2解图（三）
题2解图（四）
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其 周期。
π 3 (1) x(n) = A cos πn − 8 7
A是常数
(2)
x ( n) =
1 j( n −π ) e 8
解： （1） 因为ω=
1 8
3 7
解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二） 所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
题4解图（一）
题4解图（二）
题4解图（三）
(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序 列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可 以用题中(3)的公式计算。 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分 别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n) n0为整常数
（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。
（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。
n + n0 k = n − n0
∑|x(k)|≤|2n0+1|M， 因
此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出 还和x(n)的将来值有关。
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只 和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此 系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n) 的未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统 是稳定的。 7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列 x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=
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第1章 习题与上机题解答 章 习题与上机题解答
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
=
m = −4
∑ (2m + 5)δ (n − m) + ∑ 6δ (n − m)
m=0
−1
4
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画 出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出 图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴 为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图 （四）所示。
m = −∞
∑
∞
x(m)h(n－m)
题7图
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
解法（二） 的表达式分别为
采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 1 h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 2 由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故
y(n)=x(n)*h(n)
1 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ 2 1 =2x(n)+x(n－1)+ x(n－2) 2
将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别 有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
n
③ 4≤n≤7时， y(n)=
m=n−4
④ n>7时， y(n)=0
最后结果为 0 y(n)= n+1 8－n n<0或n>7 0≤n≤3 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如题8解图（二）所示
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证 明。 令输入为 x(n－n1) 输出为 y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(－n+n0) y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系统是线性系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系统是非时变系统。
∑
n
［ax1(m)+bx2(m)］
（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。
m = −∞
∑
∞
R4(m)R5(n－m)
先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0≤m≤3 －4≤m≤n
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)=
m =0 3
∑ 1=n+1 ∑1=8－n
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果 稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=
N −1 k =0
1 N
∑
x(n－k)
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n + n0
（3） y(n)=
k = n − n0
∑ x(k)
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
（7） y(n)=
令输入为 输出为
m =0
∑
n
x(m) x(n－n0)
y′(n)=
m =0 n − n0
m =0
∑=0[DD)]x(m-n0) ∑
x(m)≠y′(n)
n
y(n－n0)=
故系统是时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= 故系统是线性系统。
m =0 =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
m=0
∑
n
0 .5 − m
1 − 0.5 − n −1 = 1 − 0.5 −1
=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n ③ n≥5时
4
y ( n ) = 0 .5 n
m =0
∑
0 .5 − m
1 − 0.5 −5 n = 0.5 = 31 × 0.5 n 1 − 0.5 −1
题8解图（一）
题8解图（二）
(3) y(n)=x(n)*h(n) =
m = −∞
∑
∞
R5(m)0.5n－mu(n－m) R5(m)0.5－mu(n－m)
=0.5n
m = −∞
∑
∞
y（n）对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时， m≤n
y (n) = 0.5 n
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤
（2） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。
π, 所以
2π
2π
数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为ω= 此是非周期序列。 , 所以
ωω=ຫໍສະໝຸດ 14 , 这是有理 3=16π, 这是无理数， 因
4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形；
1 (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 2 1 (3) 计算xo(n)= ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; 2
题1图
解： x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) +2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1 0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)=
m=0
m) ∑ x(
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
题2解图（一）
题2解图（二）
题2解图（三）
题2解图（四）
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其 周期。
π 3 (1) x(n) = A cos πn − 8 7
A是常数
(2)
x ( n) =
1 j( n −π ) e 8
解： （1） 因为ω=
1 8
3 7