台州市书生中学2020-2021学年高一上学期数学周练九含答案

高一上学期数学周练九
一、选择题（每小题4分共48分） 1. 已知α终边在第四象限，则
2
α
所在的象限为( ) A ．第一、四象限 B ．第二、四象限 C ． 第二、三象限 D ．第一、三象限
2.已知函数f （x ）sin （2x+φ）,若f （a ）,则f （a+23π）与f （a+12
π） 的大小关系是（ ）
A.与a 、φ的取值有关
B. f （a+
23π）＞f （a+12
π
） C. f （a+
23π）=f （a+12π） D. f （a+23π）＜f （a+12
π
） 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A.2
B.
2
sin1
C. 2sin1
D. sin2 4.若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)的符号（ ）
A.正
B.负
C. 正或负
D. 无法判断 5.
的值（ ）
A ．小于0
B ．大于 0
C ．等于0
D ．不存在
6.若则= ( )
A ．
B ．2
C ．
D ．
7.若，则（ ）
A ．
B ．
C ．或1
D ．或-1
8.若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A. a b c << B. c a b << C. c b a << D. b a c <<
9．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°
D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
10.若实数x 、y 满足2cos 1x y -=，则2
cos x y +的取值范围是（ ）
A. [)1,-+∞
B. []1,10-
C. 9,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D. 9
,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
11．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ D ）． A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ>
D.(sin )(cos )f f αβ<
12.若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“部分奇函数”，若
12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“部分奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．
A. 11m ≤
B. 1m ≤
C. m -≤1m -≤二、填空题（各小题单空每空4分，双空每空3分，共28分））
13. 已知，计算：（1）= ．（2）= ．
14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≤时，()1
x
f x x =-，则函数()f x 的解析式为 ；若有
(2)(2)f a f a >-，则a 的取值范围为 ．
15．已知偶函数f （x ）满足f （x ）=x 3﹣8（x ≥0），则f （x ﹣2）＞0的解集为 ．
16.已知()[)
[]
e 1,0,22,2,6x x
f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()21x f x 的取值范围
为 ． 17．已知函数
，则实数t 的取值范围是 ．
18.已知集合{
}
2
10A x Z x =∈->，{
}
2
210B x x tx =--≤，若{}12,A B x x =，则t 的取值范
围 ． 三、解答题
19（本题14分）.已知集合{}
2|21A x a x a =≤≤+，()(){}
2
|312310B x x a x a =-+++≤，其中
a R ∈．（1）若4A ∈，3A ∉，求实数a 的取值范围；
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
20（本题15分）.(1) 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
将用tan α表示出来，并求其值．
（2） 已知若是第三象限角，且
，求的值.
21（本题15分）.已知函数1())(-=->x x f x a a a .
（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若对于任意的[1,3]x ∈，(
)
2
1(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值.
22（本题15分).已知函数()2log 11a f x x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]
1log ,1log a a n m ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
23（本题15分).已知函数()2
3f x x x a =--.
（1）若函数()y f x =为偶函数，求实数a 的值；
（2）若1
3
a =
，求函数()y f x =的单调递减区间； （3）当01a <≤时，若对任意的[
),x a ∈+∞，不等式()()12f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.
高一数学周练九参考答案
一、选择题（每小题4分共48分）
1—4BDBB,2—8ABAB,9—12CDDB
四、填空题（各小题单空每空4分，双空每空3分，共28分））
13. 已知，计算：（1）
= ．（2）
= ．
【答案】 （1）；（2）.
14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≤时，()1
x
f x x =-，则函数()f x 的解析式为______；若有
(2)(2)f a f a >-，则a 的取值范围为________．
【答案】 (1). ,0,1(),0.
1
x
x x f x x x x ⎧>⎪⎪+=⎨⎪≤⎪-⎩ (2). 2
(,2)(,)3-∞-+∞
15．已知偶函数f （x ）满足f （x ）=x 3﹣8（x ≥0），则f （x ﹣2）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
16.已知()[)
[]
e 1,0,22,2,6x
x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()21x f x 的取值范围
为______．【答案】[8,24] 17．已知函数
R ，则实数t 的取值范围是[，+∞）．
18.已知集合{
}
2
10A x Z x =∈->，{
}
2
210B x x tx =--≤，若{}12,A B x x =，则t 的取值范
围________．
【答案】154415,,8
338⎛⎤
⎡⎫
-- ⎪⎥
⎢⎝⎦⎣⎭
五、解答题
19（本题12分）.已知集合{}
2|21A x a x a =≤≤+，()(){}
2
|312310B x x a x a =-+++≤，其中
a R ∈．（1）若4A ∈，3A ∉，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
解（1）因为4A ∈，3A ∉，所以224132a a a ⎧≤≤+⎨<⎩或22
241
31a a a ⎧≤≤+⎨>+⎩
，
2a ≤≤，所以a 的取值范围是：2⎤⎦；---------5分
（2）因为()2
21210a a a +-=-≥，所以A ≠∅，
当()()2
312310x a x a -+++=时，()()()
2310x x a --+=，所以2x =或31a +，
当312a +>时，1
3
a >
，[]2,31B a =+， 因为A B ⊆，所以2
22
131
a a a ≥⎧⎨
+≤+⎩，解得：13a ≤≤，所以[]1,3a ∈； 当312a +=时，13a =
，所以210,39A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，{}2B =，此时A B ⊆不满足； 当312a +<时，1
3
a <
，[]31,2B a =+， 因为A B ⊆，所以2
231
12a a a ≥+⎧⎨
+≤⎩
，解得：1a =-； 综上可知：a 的取值范围是{}[]11,3--------14分
20（本题15分）.(1) 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝
.
将用tan α表示出来，并求其值．
（2） 已知
若是第三象限角，且，求的值；若，求的值. 解：(1)(解法1)联立方程由①得cosα＝－sinα，
将其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α是三角形内角，∴∴tanα＝－.
(解法2)∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∵sinαcosα＝－<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0.
------------7分
（2）
-------------------15分
21（本题15分).已知函数1())(-=->x
x
f x a a a .
（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若对于任意的[1,3]x ∈，(
)
2
1(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. 解：（1）()f x 在R 上是增函数，证明如下.
取任意的12,x x R ∈，且12x x <则
()()()()()11221122
2111x x x x x x x x f x f x a a a a a a a --+⎛
⎫
-=---=-+ ⎪⎝⎭
，又1a >，12x x <，则120x x a a ->，12
110x x a ++
>，则()()210f x f x ->，故()f x 在R 上是增函数；---6分
（2）注意到()()f x f x =-，则()f x 为奇函数，则
()()221(5)01(5)f x f mx f x f mx -+-≥⇒-≥-，
由（1）可知，()f x 在R 上是增函数，则()
2
2
1(5)15f x f mx x mx -≥-⇒-≥-，
则原问题等价于对于任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-恒成立，求实数m 的最大值，
即[1,3]x ∈，4m x x ≤+恒成立，易知当[1,3]x ∈时，min 44x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，故m 的最大值为4. --------15分
22（本题15分).已知函数()2log 11a f x x ⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭
（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）由2101
->+x 解得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 又()21log 1log 11
-⎛
⎫=-= ⎪++⎝⎭a a x f x x x ， 所以()22121log 1log 1log log 1111-+-+⎛
⎫⎛⎫-=-=-== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭
a a a a x x f x x x x x ， 因此()()log 10+-==a f x f x ，所以()()f x f x -=-，
所以函数()f x 为奇函数；--------4分
（2）令2()11
=-+g x x ，任取121x x <<， 则12121221212222()()111111(1)(1)
⎛
⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭x x g x g x x x x x x x ，
因为120x x -<，110x +>，210x +>，所以121221()()0(1)(1)
--=<++x x g x g x x x ， 即函数2()11
=-+g x x 在()1,+∞上单调递增； 又01a <<，所以log a y x =单调递减，
根据同增异减的原则，可得：()2log 11a f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
在()1,+∞上单调递减；------9分 （3）假设存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]
1log ,1log a a n m ++，由m n <，1log 1log +<+a a n m 可得01a <<；
所以()1log ()1log a a f n n f m m =+⎧⎨=+⎩
， 因此,m n 是方程2log 11log 1⎛
⎫-=+ ⎪+⎝⎭a a x x 两根，
即2
(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解， 设2()(1)1=+-+h x ax a x ，则(1)01120
h a a >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆>⎪⎩
，解得03a <<-
所以存在(0,3∈-a ，使得当()f x 定义域为[]
,m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++.-------15分
23（本题15分).已知函数()23f x x x a =--.
（1）若函数()y f x =为偶函数，求实数a 的值；
（2）若13a =，求函数()y f x =的单调递减区间；
（3）当01a <≤时，若对任意的[
),x a ∈+∞，不等式()()12f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.
解：（1）因为函数()23f x x x a =--为偶函数， 所以()()f x f x -=，即22
33---=--x x a x x a ，即--=-x a x a ，因此0a =； ---------------4分
（2）因为13a =，所以()222131,1331331,3x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩
， 因为函数()231=-+f x x x 的对称轴为32
x =，开口向上； 所以当1332
≤<x 时，函数()231=-+f x x x 单调递减；当32x ≥时，函数()231=-+f x x x 单调递增；
又函数()231=+-f x x x 的对称轴为32
x =-，开口向上； 所以当3123-≤<x 时，函数()231=+-f x x x 单调递增；当32
x <-时，函数()231=+-f x x x 单调递减；
因此，函数()y f x =的单调递减区间为：3,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭和13,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；------9分 （3）由题意，不等式()()12f x f x -≤可化为22(1)3126----≤--x x a x x a ， 即2
4613(1)0-+-+-+≥x x a x a 在[
),x a ∈+∞上恒成立， 令2()4613(1)=-+-+-+g x x x a x a ，则只需min ()0g x ≥即可； 因为01a <≤，所以112<+≤a ，
因此22
2792,1()4613(1)34,1x x a a x a g x x x a x a x x a x a ⎧-++≤≤+=-+-+-+=⎨-+->+⎩，
当1a x a ≤≤+时，函数2()792=-++g x x x a 开口向上，对称轴为：712
=>+x a ， 所以函数()g x 在[]
,1a a +上单调递减； 当1x a >+时，函数2()34=-+-g x x x a 开口向上，对称轴为112
=
<+x a ； 所以函数()g x 在[)1,++∞a 上单调递增； 因此2min ()(1)44=+=+-g x g a a a ，
由min ()0g x ≥得2440+-≥a a ，解得2≥-+a 2≤--a ，
因为01a <≤，所以21-+≤≤a .
即实数a 的取值范围为2⎡⎤-+⎣⎦.--------15分。