人教版数学九年级下册《反比例函数的图象和性质》(第2课时)教学设计

反比例函数性质的应用
(续表)
活动一：创设情境导入新课【课堂引入】
出示问题：
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变
化？
(2)点B(3，4)，C(－2.5，－4.8)，D(2，5)是否在这个函
数的图象上？
师生活动：教师引导学生利用反比例函数的性质进行解答，
学生先独立思考后，再小组内讨论，最后书写解题过程.
通过问题的设置，引
导学生对反比例函数
性质的复习，激发学
生的学习兴趣，引入
课题.
活动二：实践探究交流新知【活动1】教师引导学生解答例题：
教师活动：教师引导学生分析得出解答本题的关键是求出反
比例函数的解析式，对于问题(2)的解决方法要突出反比例
函数的特点，图象上的点的横、纵坐标之积等于比例系数k
的值，强调这种判断方法更简便.
学生活动：教师指定一生板演，其他学生在练习本上书写解
题过程.
【活动2】反比例函数性质的应用：
如图26－1－15是反比例函数y＝
m－5
x
的
图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什
么？图26－1－30
(2)在这个函数图象的某一支上取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系呢？
师生活动：教师先组织学生分析图象，确定图象的另一支的
位置，再根据性质得出m的取值范围，师
生共同根据增减性分析，可得出函数值的
大小关系.
【活动3】探究反比例函数的几何意义：
问题1：如图26－1－30，在一个反比例函
数图象上任取两点P，Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线，
与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q 图26－1－30
分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为
S2，请问S1和S2之间有什么关系？为什么？
师生活动：教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨
论，并进行解析.
S1＝|x1|·|y1|＝|x1y1|＝k，同理，S2＝
|x2|·|y2|＝|x2y2|＝k，所以S1＝S2.
问题2：若点P，Q分别在不同的分支上
呢？或反比例函数的图象在第二、四象限
内时呢？师生共同总结：S矩形＝|k|.
问题3：如图26－1－31，从反比例函数y＝
k
x
的图象上任取
1.在分析反比例函数
的增减性时，一定要
注意强调图象所在的
象限，由“形”到
“数”，目的是提高
学生从图象中获取信
息的能力，加深对反
比例函数图象和性质
的理解.
2.通过探索矩形面积
和比例系数之间的数
量关系，用类比的方
法得出三角形面积与
比例系数之间的数量
关系，使知识得到升
华．建构知识框架，
培养学生的数形结合
思想.
一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？ 图26－1－31
师生解答，归纳总结得：S △A OB ＝S △COD ＝1
2
|k |.
(续表)
活动三：开放训练体现应用【应用举例】
例1 已知反比例函数y＝－
2
x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，若y1<y2，则x1－x2的值是( D)
A.正数B．负数C．非正数D．不能确定
分析：因为k＝－2<0，所以函数图象在第二、四象限，所以点A，
B的位置不能确定，因而两自变量的取值大小无法确定.
通过例题的解答，
巩固加深对反比
例函数图象的性
质的应用，实现由
知识向能力的转
化.
【拓展提升】
例2 如图26－1－32，M为反
比例函数y＝
k
x
的图象上的一
点，MA⊥y轴于点A，△MAO的
面积为2，则k的值为__4__.
教师重点关注：学生对反比例函数性图26－1－32
质的理解与把握；学生能否理解反比例函数系数的几何意义及其
应用.
例3 已知：如图26－1－33，反比例函
数y＝
k
x
的图象与一次函数y＝x＋b的图象
相交于点A(1，4)，B(－4，n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；图26－1
－33
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范
围.
例2和例3是中考
常考题型，这类问
题的补充，有助于
提升学生综合运
用知识的能力.
活动三：开放训练体现应用【达标测评】
练习：教材第8页练习第1，2题.
补充练习：
1.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交
点坐标是(2，3)，则另一个交点坐标为(D)
A.(2，3) B．(3，2)
C.(－2，3) D．(－2，－3)
2.如图26－1－34，正方形ABOC的边长为2，反
比例函数y＝
k
x
的图象过点A，则k的值是(D)
A.2 B．－2 图26
－1－34
C.4 D．－4
3.反比例函数y＝
n＋7
x
的图象的一支在第一象限，A(－1，a)，B(－
3，b)两点均在这个函数的图象上.
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
(2)请比较a，b的大小；
通过设置达标测
评，进一步巩固所
学新知，同时检测
学习效果，做到
“堂堂清”.
(续表)
活动四：课堂总结反思1.课堂总结：
教师与学生一起回顾所学主要内容：
(1)本课时学习的反比例函数性质的运用，主要体现在哪几个方
面？
(2)已知反比例函数图象及其图象上两点横坐标的大小，如何比
较纵坐标的大小？
(3)反比例函数的系数k的几何意义是什么？
2.布置作业：
教材第9页习题26.1第6，9题.
注重课堂小结，激发
学生参与的主动性，
为每一个学生的发
展与表现创造机会. 【知识网络】
提纲挈领，重点突
出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在回顾过程中，让学生复习了反比例函数的图象和性质，为新
课的学习打好基础；在探究新知过程中，利用问题的形式对反
比例函数的性质和图象进行探讨，引导学生有目的地解答问题，
使学生接受能力得以提升.
②[讲授效果反思]
讲解重点问题时，注意：(1)k的几何意义是反比例函数的重点
内容，体现数形结合思想；(2)关于面积的计算问题，指导学生
注意求反比例函数解析式这一基础. 由于课本例题比较基础，
可作为本课引入探究，同时补充中考常考的系数k与面积的关
系、反比例函数与一次函数综合的题目，有效加强学生对本课
知识的理解及运用能力.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教
师表现，进一步提升
操作流程和自身素
质.
典案二 导学设计 【学习目标】
知识技能
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象及性质；
2．结合函数图象，能用待定系数法求函数解析式，并能比较大小． 3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．
数学思考 通过观察反比例函数的图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力，体会数形结合的思想和分类讨论的思想． 解决问题
经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力，结合数形结合思想、类比思想理解并应用反比例函数的性质． 情感态度
通过利用反比例函数的图象及性质解决实际问题，提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求，培养了学生学习数学的兴趣，同时也增加了学生学习的信心.
【学习重难点】
1. 重点：灵活运用反比例函数的性质．
2. 难点：利用数形结合思想比较大小及求函数解析式． 课前延伸 【知识梳理】
(1)反比例函数y ＝－4
x
的图象在第__二、四__象限，在每个象限内，y 随x 的增大而__增大__；
(2)已知反比例函数y ＝－
m －1
x
的图象位于第一、三象限，则m 的取值范围是__m ＜1__； (3)已知点(2，－3)在双曲线上，则双曲线对应的函数解析式为__y ＝－6
x
__． 预习思考题
已知反比例函数的图象过点(3，5)．
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？在每个象限内，y 随x 的减小如何变化？ (2)点A (－3，4)，B (5，3)，C (2，8)是否在函数图象上？ 自主学习记录卡
1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？
2．你有哪些问题要提交小组讨论？
课内探究
一、课堂探究1(问题探究，自主学习)
1．点A (－2，y 1)与点B (－1，y 2)都在反比例函数y ＝－2
x
的图象上，则y 1与y 2
的大小关系为( A )
A ．y 1＜y 2
B ．y 1＞y 2
C ．y 1＝y 2
D ．无法确定
2.已知反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)与一次函数y ＝x 的图象有交点，则k 的取值范围是__k ＞0__． 3．若ab ＜0，则函数y ＝ax 与y ＝b x
在同一平面直角坐标系中的图象大致是( B )
A B C D 二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)
1．在函数y ＝－k 2
－1
x
的图象上有三点 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3) 其中x 1＜0＜x 2＜x 3，则
y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 1＞y 3＞y 2__．
2．已知反比例函数y ＝－2
x
，当x ＝－2时，y ＝__1__；当－2<x <0时，y 的取值范围是__y ＞
1__；当y ≤1时，x 的取值范围是__x ＜－2或x ＞0__．
3．如图26－1－35，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x
的图象交于A (－2，1)，
B (1，n )两点．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围．
图26－1－35 图26－1－36
4．如图26－1－36，A ，B 是反比例函数y ＝1
x
的图象上关于原点O 对称的两点，AC 平行于y
轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是__2__．
5．已知一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数的图象交于C ，D 两点，如果点A 坐标为(2，0)，点C ，D 分别在第一、三象限内，且OA ＝OB ＝AC ＝BD ，试求一次函数和反比例函数的解析式． 三、反馈训练
1．已知反比例函数y ＝3m －2x ，当m __＜23__时，其图象在第二、四象限内；当__＞2
3__时，其
图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
2．已知点P (1，m 2
＋1)在双曲线y ＝k x
上，则双曲线在第__一、三__象限，在每个象限内，y 随x 的增大而__减小__．
3．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( D )
A ．y ＝2－3x
B ．y ＝2x
C ．y ＝－2x －1
D ．y ＝－1
2x
4．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则反比例 函数y ＝kb x
的图象在( C )
A ．第一、二象限
B ．第三、四象限
C ．第一、三象限
D ．第二、四象限
5．下列函数中，图象大致为如图26－1－37所示的是( D )
图26－1－37
A ．y ＝－1x (x <0)
B ．y ＝1
x (x >0)
C ．y ＝－1
x (x >0) D ．y ＝1
x
(x <0) 6．已知圆柱体的侧面积为80 π cm 2
，若圆柱底面半径为r (cm)，高线长为 h (cm)，则 h 关
于r 的函数图象大致是( )
7．反比例函数的图象过点(2，－2)，求函数y 与自变量x 之间的解析式，它的图象在第几象限内？在每一象限内，y 随x 的减小如何变化？请画出函数图象，并判断点(－3，0)，(－3，－3)是否在图象上．
8．如图26－1－38所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A 是函数图象上的任意一点，AM ⊥x 轴于点M ，O 是坐标原点，若S △AOM ＝3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
图26－1－38 课后提升
1．已知反比例函数y ＝k x
的图象与直线y ＝2x 和y ＝x ＋1经过同一点． (1)求该反比例函数的解析式；
(2)当x ＞0时，反比例函数值y 随x 的增大如何变化？
2．如图26－1－39，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝－8
x
的图象交于A ，B
两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是－2. 求：(1)一次函数的解析式； (2)△AOB 的面积．
图26－1－39。