二次型及其标准型

都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
第五节 二次型及其标准型
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
11
1
1
0 1 2
2
A E ( 1)
0 2 1 2
00
0
( 1)2 1 2 2 1
1
( 1)2(2 2 3) ( 3)( 1)3.
于是A的特征值为1 3, 2 3 4 1.
当1 3时,解方程( A 3E)x 0,
1
1
得基础解系 1
11,
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,Hale Waihona Puke x1 xx2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
于是正交变换为
x1 1 2
x2
x3 x4
1 2 1 2 12
12 12
0 0
0 0 12 12
1 2 y1
1 2 y2
12 1 2
y3 y4
且有
f
3 y12
y22
y
2 3
y42 .
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
( x1,
xn (an1 x1
x2 ,, xn)
an2 x2 a11 x1 a12 x2
annxn)
a21 x1 a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A,总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
定理2
任给二次型 f
n
aij xi x j aij a ji
, 总有
i , j1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3
2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn ,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
1
x1 x2 x3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f
4
y
2 2
9
y
2 3
.
可知f ( x1 , x2 , x3) 1表示椭圆柱面.
1
单位化即得
p1
1 2
111.
当 2 3 4 1时,解方程( A E )x 0,
可得正交的基础解系
1 0 1
2
10 ,
3
0 1
,
2
11,
0
1
1
1 2
0
1 2
单位化即得
p2
1
0 0
2
,
p3
1 1
0
2 2
,
p4
1 2 12 1 2
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )