高中数学2.2《直接证明与间接证明》素材3苏教版选修1-2

联立分析法、综合法

分析法和综合法是两种常用的解题方法，有时候我们会把这两种方法结合起来使用．

一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程

例１ 已知a b c >>，求证：1140

a b b c c a ++---≥．

分析：本题用综合法不容易找到证明思路，因此用分析法探路．要证原不等式成立，由

a b c >>得000a b b c c a ->->-<，，，因此移项，只需证114a b b c a c +---≥．

通分得()()4()()

b c a b a b b c a c -+----≥，即证4()()a c a b b c a c ----≥． 只需证

2()4()()a c a b b c ---≥成立．思路找到． 证明：∵a b c >>，

∴0a b ->，0b c ->，0a c ->．

∴224()()[()()]()a b b c a b b c a c ---+-=-≤．

∴4()()

a c a

b b

c a c ----≥， 即()()40()()b c a b a b b c a c -+-----≥．

∴1140a b b c c a ++---≥．

点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．

二、分析法与综合法联合使用

对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：

综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析综合法． 例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数， 求证：lg

lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++．

证明：要证

lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++， 只需证lg lg()222a b b c c a a b c +++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 只需证222a b b c c a abc +++>．

但是，02a b +>，02b c +>，02c a +>．

且上述三式中的等号不全成立， 所以222a b b c c a abc +++>．

因此lg

lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++．

点评：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．

反证法知识点睛

反证法是一种重要的间接证明方法，在数学中使用相当普遍．下面加以系统归纳，供参考．

一、反证法的基本内容

①定义；②思考过程、特点；③解题步骤；④推出矛盾情形．

二、注意事项

注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．

否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否

定上述结论．

注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．

注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．

注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．

三、何时运用反证法

1．正面繁琐或困难时宜用反证法；

2．惟一性命题可考虑用反证法；

3．当命题的结论涉及“至少”、“至多”、“无限”时，可考虑用反证法；

4．当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，可考虑用反证法；

5．当反面结论比原结论表述更明确时，可考虑用反证法．

四、典例剖析

例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a 、b ，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．

证明：假设存在两个不等实数

12x x ，，使得12()()0f x f x ==．（※） 不妨设12x x <，由条件可得12()()f x f x <，与（※）式矛盾．

故至多有一个实数x 使得()0f x =．

点评：此命题中出现“至多”，宜用反证法．欲证“至多有一个”，可从反面假设存在“两个”，证明过程中出现矛盾，即证得原命题成立．

例2 已知

332p q +=，求证：2p q +≤． 分析：本题已知为关于p 、q 的三次幂等式，而结论中只有p 、q 的一次幂，应考虑求其立方根，同时用到放缩法，但很难得证．这时可考虑反证法．

证明：假设2p q +>，则2p q >-．

将其两边立方，得3323(2)8126p q q q q >-=-+-．

将332p q +=代入上式，得

261260q q -+<， 即26(1)0q -<，与2(1)0q -≥矛盾．故2p q +≤．

点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法．本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就可达到证明目的．

反证法中的“特殊化”