(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理

[70分] 8＋6标准练4
1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D
解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．
2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i
1＋i ，则z 的共轭复数为( )
A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝
i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋1
2
， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－1
2
i.
3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )
A ．30
B ．25
C ．22
D ．20 答案 D
解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.83
B.163
C.20
3 D ．8 答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．
∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163
.
5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 答案 C
解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝1
2；i ＝2，
S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝1
32，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.
6．在△ABC 中，tan A ＋B
2
＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )
A ．(2,22]
B ．(22，4]
C ．(4,2＋22]
D ．(2＋22，6]
答案 C
解析 由题意可得
tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－C 2＝cos
C
2sin
C 2
＝2sin C 2cos C
2
，
则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π
2
.
据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2
＋b 2
＝(a ＋b )2
－2ab ≥(a ＋b )2
－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，
据此有a ＋b ≤22，
∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.
综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．
7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *
且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )
A.
24143
B.1143
C.2413
D.613
答案 D
解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，
a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，
又∵数列{a n }为等差数列，
∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
(m －1)a 1
＋(m －1)(m －2)
2×(－2)＝13，ma 1
＋m (m －1)
2
×(－2)＝0，
解得a 1＝13，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴
1
a n a n ＋1＝1
(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
13－2n －115－2n
∴数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为
12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－1
9＋…＋1－13 ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，
且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)
x 1x 2
的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)
答案 A
解析 函数的图象如图所示，
∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，
x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，
∴
(x 3－2)(x 4－2)
x 1x 2
＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4
＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2
＋16， ∵2<x 3<4， ∴
(x 3－2)(x 4－2)
x 1x 2
的取值范围是(0,12)．
9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案
22
解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，
∴a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝0，即a 2
－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝
22
， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝
22
. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1
2
，
则ω的最小值为________． 答案 2
3
解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π
2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，
当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π
6，k 2∈Z ，
两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π
6，k 1，k 2∈Z ，
即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－10
3，k 1，k 2∈Z ，
又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝2
3
.
方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π
6，
解得ω＝2
3
.
11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，
Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．
答案 2 3
解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，
BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP
2
≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．
12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x
2
和y ＝1－x 2
－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
答案
8＋3π
24
解析 y ＝x 2
与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1
x 2d x ＝2－
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
31－1
＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，
则y ＝1－x 2
－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×12
2＝π
2
，
故质点落在图中阴影区域的概率是43＋
π
24＝8＋3π
24.
13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，
y ≥1，
则u ＝(x ＋y )
2
xy
的取值范围为________．
答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4，163
解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
令t ＝y x
，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，
由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2
xy ＝x 2
＋2xy ＋y 2
xy
＝x y ＋y x
＋2＝t ＋1
t
＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．
当t ＝13时，u ＝16
3；当t ＝1时，u ＝4；
当t ＝2时，u ＝92
，
所以u ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4，163.
14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]
解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3
b
2≤1，
两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2
， 由于b 2
＝c 2
－a 2
＝4－a 2
，
所以上式化为4－a 2
－3a 2
≤a 2
()4－a 2
，
解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋1
2，
故1<c
a ≤3＋1.。