重庆大学硕士课程——齿轮啮合原理.

硕士学位课程考试试卷
考试科目：齿轮啮合原理
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学院：专业：
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任课老师(签名)
考试日期：2012 年6月日至月日
一、基本概念（每题4分，共计32分）
1．解释齿轮的瞬心线？
答：两个构件1和2相对于一个固定参考标架f做平面运动（如图1），在固定坐标系中，两构件在某点的相对速度等于零，该点就是瞬时回转中心I，而瞬时回转中心I在坐标系（i =1,2）中的轨迹就是齿轮的瞬心线。

图1.1
即绕转动时，点I（它沿运动，或处于静止状态）会描绘出瞬心线传动比，当是常数时，两瞬心线是半径分别为和的两个圆，当不是常数时，瞬心线是非圆形曲线，成封闭的或不封闭的。

2．解释齿轮的瞬时回转轴？
答：瞬时回转轴是齿轮对另一齿轮相对运动中的角速度的作用线。

如图1.2所示瞬时回转轴（OI）是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度的作用线，有
同理
图1.2
3．解释齿轮的瞬轴面？
答：齿轮的瞬轴面是指瞬时回转轴在与回转齿轮刚性固接的动参考标架中的轨迹。

在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为和的圆锥（如图1.3）.这两个圆锥称作节锥，它们的切触线是OI，并且其相对运动是纯滚动——绕
OI运动。

当节锥2处于静止时，角速度表示绕OI转动的节锥1的角速度。

图1.3
4．解释平面曲线的曲率？
答：如图1.4，在平面曲线上的两点M、N，当点N趋近于点M时，比值的极限称为平面曲线在点M处的曲率（记为K）。

即。

图1.4
5．解释共轭齿形？
答：共轭齿形是两齿轮在接触点处的公法线与回转中心线相交(如图1.5)，并且该线分为和两线段有如下的关系式：
=()
这里，；（1）对于非圆齿形是规定的齿轮传动比函数，（2）对于圆形齿轮是常数。

图1.5
常用共轭齿形是渐开线齿形。

6．解释啮合面？
答：啮合面是表示在与机架刚性固接的固定坐标系中的瞬时接触线族。

啮合面用如
下方程表示：
式中，描述从到的坐标变换。

7．解释齿廓渐屈线？
答：如图1.6所示，假定平面曲线I是给定的。

各线段（i=1,2，…，n）是曲线I在点的曲率半径，而点是曲率中心。

曲率中心的轨迹是曲线I的渐屈线E。

图1.6
8．写出Euler的方程式？
答：Euler方程式为：
式中q是由矢量和单位矢量构成的夹角（如图5）。

矢量表示曲面的切面上
选取的方向，而是曲面在这个方向上的法曲率。

单位矢量和沿着这两个主方
向，而和是主曲率。

Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系。

图1.5
二、 采用数学软件推导微分的方法（16分）
要求：举实例详细说明，并作图及列出程序。

MATLAB 是许多学科的解题工具，将MATLAB 融入其它课程的学习中，可以大大提高运算效率和准确性。

随着计算机的普及和国民整体素质的提高，科学计算将会更加的普及。

MATLAB 在矩阵及数值计算、多项式和线形代数、符号数学的基本方法等方面都有较好的应用，下面的例子为运用MATLAB 求解微分方程。

实例：已知一个二阶线性系统的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==>=+1)0(,0)0(0
,0'22x x a ax dt x d
其中a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。

解：令 ，则得到系统的状态方程： ⎪⎩⎪
⎨⎧==-==1
)0(,0)0(12
2
'11'
2x x ax x x x 建立一个函数文件sys.m ：
function xdot=sys(t,x) %建立函数文件 xdot=[-2*x(2);x(1)]; % xdot 的表达式 取t0=0,tf=20,求微分方程;
t0=0;tf=20; %确定t 的值 [t,x]=ode45('sys',[t0,tf],[1,0]); %求数值解
[t,x] %输出结果 subplot(1,2,1);plot(t,x(:,2)); %以子图形式绘出解的曲线
subplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1)); %以子图形式绘出相平面曲线
axis equal
运行结果为：
ans =
0 1.0000 0
0.0001 1.0000 0.0001
0.0001 1.0000 0.0001
0.0002 1.0000 0.0002
0.0002 1.0000 0.0002
0.0005 1.0000 0.0005
0.0007 1.0000 0.0007
0.0010 1.0000 0.0010
0.0012 1.0000 0.0012
…
19.1332 -0.3498 0.6618
19.2670 -0.5196 0.6036
19.4007 -0.6708 0.5238
19.5344 -0.7980 0.4253
19.6681 -0.8968 0.3116
19.7511 -0.9422 0.2352
19.8340 -0.9747 0.1556
19.9170 -0.9937 0.0738
20.0000 -0.9991 -0.0090
方程的时间相应及相平面曲线如图2.1所示。

三、推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）
1. 坐标系和刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图1）。

齿轮的两回转角和用方程:
联系着，式中和是两瞬线的半径。

E是两转动轴线之间的最短距离。

固定坐标系刚性固接到齿轮箱体上。

是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。

图3.1
推导：
1)从S2到S1的坐标变换方程。

2)从S1到S2的坐标变换方程。

解：1）从到的坐标变换
从到的坐标变换基于矩阵方程
(3.1.1) 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。

（3.1.2）=
从方程（3.1.2）可导出
(3.1.3) 利用方程（3.1.1）和（3.1.2），则可以得到
2) 从S1到S2的坐标变换方程
逆矩阵可以通过的各元素表达如下
(3.1.4) 逆坐标变换基于矩阵方程
从该方程可导出
2. 坐标系,和分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接
（图2）。

齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程
（）
表示在中。

这里，a是齿形角（压力角）；u是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M，；对于点，）。

瞬时回转中心为。

齿
轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与轴重合（图2）。

齿条刀具的位移和齿轮的转角有如下关系式
图3.2
求：1）推导啮合方程。

2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。

3）导出被加工齿轮的齿形方程。

4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。

解：
（1）由于曲面和在其切触点处的公法线通过瞬时回转轴线，则有方程：
（3.2.1）式中，=r=0
是表示在中的I的坐标。

==（3.2.2）
式中和是产形齿形的切线矢量和法线矢量，是轴的单位矢量。

由式3.2.1和3.2.2可以导出啮合方程的下列表达式
(3.2.3)
（2）由（1）的条件可得，啮合线方程
(3.2.4) 表示。

这样可以得到
(3.2.5)
从方程(3.2.5)可导出
(3.2.6)
啮合线LK（如图3.2.2）是通过I的一条直线，并且与轴构成夹角（）。

线段IK上的个高点对应于0；线段IL上的各个点对应于0。

图3.2.1
（3）利用（1）的条件，利用微分几何中提出的方法导出被加工尺形的方程
①利用矩阵方程
(3.2.7)
将被加工齿形族的方程表示在坐标系中。

从方程（3.2.7）和题中条件可以导出
(3.2.8)
②导出啮合方程
(3.2.9) 矢积表示中的产形齿形的法线矢量，并且与共线。

经变换后，方程（3.2.8）和（3.2.9）将给出啮合方程
被加工齿形方程
（3.2.10）
（4）齿条刀具齿形的界限点在齿轮的齿形上形成奇异点。

齿条刀具的界限点可以用啮合方程
（3.2.11）
和根切方程
（3.2.12）
确定，后一方方程可以用方程
(3.2.13) 由题中条件和方程(3.2.11)、(3.2.13)可以导出
（3.2.14）则可以得到u的界限值为
（3.2.15）
同理可得
（3.2.16）图3.2.2图解说明了齿条刀具的极限安装位置，此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。

图3.2.2
四、综述及分析？（16分）
采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际或列举实例，综合、分析齿轮啮合原理的应用及说明其意义。

答：齿轮机构是在各种机构中应用最为广泛的一种传动机构。

它依靠齿轮齿廓直接传递空间任意两轴间的运动和动力，并具有传递功率范围大、传动效率高、使用寿命长、工作可靠，那么采用齿轮啮合原理的基本理论和方法对其研究有着实际的意义，下面以生成面齿轮齿面为例说明齿轮啮合的运用及其意义。

面齿轮传动是一种新型齿轮传动，具有许多独特的优点：1)小齿轮为渐开线齿轮时，其轴向移动产生的误差对传动性能几乎没有影响。

2)面齿轮传动比普通锥齿轮传动具有较大的重合度。

3)小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用。

4)对于点接触面齿轮传动，在理论上仍然能保证定传动比传动。

5)面齿轮用于传动装置时传动振动小和噪音低。

生成面齿轮齿面首先要建立坐标系（如图4.1、4.2）
图4.1 图4.2
在推导面齿轮齿面时，选择了四个坐标系:两个固定坐标系(，)和(，，两个动坐标系(，和(，。

固定坐标系和分别建立在刀具齿轮支架和面齿轮支架上，它们的坐标原点重合在刀具轴线和面齿轮轴线的交点上，如图4.1所示为固定坐标系之间的位置关系，它们的x轴重合。

动坐标系和分别与刀具齿轮和面齿轮固连，它们坐标原点也在两轴线的交点上，如图 4.2所示((和(轴重合，图中分开为便于表示)，和轴交角为
，初始时坐标系和、和，重合，动坐标系，各绕其:轴转
动，转角分别为。

面齿轮和刀具齿轮的传动比为：
…………………………………………………………..(4.1)
图4.3
如图4.3所示面齿轮齿面可以分为两部分，工作齿面和齿根过渡区域，它们
中间的交线为过渡曲线，下面介绍如何得出这样一个完整的齿面
设面齿轮和传动直齿轮啮合时啮合点为P，在刀具坐标系中，点P的矢
量为，刀具的回转角速度矢为)，因此点P在中的速度矢为
(4.2)设为
(4.3)
同样在面齿轮坐标系中，点P的矢量为，面齿轮的回转角速度矢为
)，点P在中的速度矢为
(4.4) 设为
(4.5) 其中
=（4.6）
将转换到刀具坐标系中为
（4.7）其中为从面齿轮坐标系到刀具坐标系的转换矩阵，为
（4.8）并且
=（4.9）
因此可得在刀具坐标系中啮合点P处两齿面的相对运动速度为
（4.10）
其中，:和分别为刀具齿面在刀具坐标系中的各坐标分量。

根据啮合原理在啮合点处齿面相对运动速度矢在公法线上的投影为零，得到
啮合方程为
=
+（4.11）
由此得到了啮合方程，再根据坐标变换，将啮合点从刀具坐标系转换到
面齿轮坐标系中，得到面齿轮工作齿面方程为
(4.12)
五、学习心得体会？（16分）
学习本门课程的具体详细收获及体会。

答：尽管齿轮啮合原理课程即将要结束，但它带给了我很多的收获与思考。

（一）、本门课程给予的收获。

（1）齿轮传动是机器和仪器中用得最广的一种机械传动。

齿轮机构可以传递平行轴、相交轴和相错轴之间的回转运动，换句话说，它可以传递机器设计中已经应用的、任意配置的、两轴间的回转运动。

正因为齿轮传动的应用的广泛性，研究齿轮啮合具有重要的意义。

（2）齿轮啮合原理这门课主要内容有：坐标、曲面和曲线的曲率的详细研究；齿轮运动学、齿轮分析和研究；各种齿轮的啮合分析和加工研究；飞刀的设计加工；利用计算机数控机床加工齿面的研究；滚针（滚珠）测量法；齿轮实际齿面的坐标测量和偏差的最小化。

（3）齿轮啮合原理是一门对数学要求很高的课，在学习好数学方面的知识的同时，
也应努力掌握一两款数学分析软件才能提高数学分析能力，解决问题的能力。

因此如果学好了这能门课必然会使我们从事其他对于数学要求较高的专业也会得心应手。

（4）对于自我的震撼，也许以前接触的比较少吧，还有很少去关注这方面的知识吧，没有多深印象。

通过这段时间的学习，开阔了我的视野，转变了自己的思维，当然还有老师的对我们为人处事方面的建议教导，使我获益匪浅，有所触动，有所感悟。

（二）、本门课程带来的思考。

在完成这门课程的作业时，自己查阅了相关的文献，从中能够了解一些该学科的最新动态，促进了自己的更多思考。

首先，其实对于知识，当前并不一定能学会些什么能拿来用的知识，更多的是开阔自己的视野，主动去关注一些前沿的东西不致于坐井观天没有收获。

其次，要静下心来去关注一件事情，欲速则不达，贪多必失，有所积累了要概括。

最后，以后我多去看看文献资料，努力学好数学软件，学会用数学的方法解决工程问题，用心关注自己爱好的方向的知识。

相信水滴石穿，绳锯木断，坚持中会有所收获。

参考文献
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上海：上海科学技术出版社，2008
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