第一节二重积分的概念及性质教案

第九章 重积分
第一节 二重积分的概念及性质
一．二重积分的概念 1．引例
引例1 曲顶柱体的体积
设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =
所表示的曲面，
如图9—1所示，
这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9—3
解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下
(1)分割
把区域D 任意划分成n 个小闭区域n
σσσ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i
σ∆表示第i 个小闭区域，
也表示它的面积。

在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。

这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。

(2)近似
在每一个小闭区域i
σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i
σ∆为底的平顶柱体
的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ∆≈∆),(
(3)求和
这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值
∑=∆≈∆=n
i i i i f V V 1),(σηξ
(4)取极限
将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。

即
∑=→∆=n
i i i i f V 10
),(lim σηξλ
其中λ表示这n 个小闭区域i
σ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区
域中任意两点间的距离）。

引例2 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数
),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。

解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下
(1)分割
将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n
σσσ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i
σ∆表示第i 个
小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。

(2)近似
在每一个小薄片i
σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i
σ∆很小时，认
为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ∆),(近似代替第i 个小薄片的质量。

即
i i i m σηξρ∆≈∆),(
(3)求和
这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
∑=∆≈∆=n
i i i i m m 1
),(σηξρ
(4)取极限
将薄片D 无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。

即
∑=→∆=n
i i i i m 10
),(lim σηξρλ
其中λ表示这n 个小薄片i
σ∆直径中最大值的直径。

2．二重积分的概念
定积分与曲边梯形的面积有关。

上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。

定义 设),(y x f z =是有界闭区域D 上的有界函数
（1）将闭区域D 任意分成n 个小闭区域n
σσσ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i
σ∆表示第i 个小闭
区域，也表示它的面积。

（2）在每个i
σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积i
i i f σηξ∆),(（i =1，2，…，n ）
（3）并作和∑=∆n
i i
i
i
f 1
),(σηξ
（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记作
⎰⎰D
d y x f σ),(
即
=⎰⎰D
d y x f σ),(∑=→∆n
i i
i
i
f 1
),(lim σηξλ
. 其中),(y x f 叫做被积函数，σd y x f ),(叫做被积表达式，σd 叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，∑=∆n
i i
i
i
f 1
),(σηξ叫做积分和。

【注意】在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域i
σ∆的边长j x ∆和k y ∆，则=∆i σj x ∆k
y ∆，因此在直角坐
标系中，有时也把面积元素σd 记作dxdy ，从而
=⎰⎰D
d y x f σ),(⎰⎰D
dxdy y x f ),(
其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。

3．二重积分的几何意义
若0),(≥y x f ，函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分表示为以D 为底面，),(y x f 为曲顶的曲顶柱体的体积；
若0),(≤y x f ，表示柱体在xoy 面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数； 若函数),(y x f 在闭区域D 上既有正的，又有负的，则二重积分表示在xoy 面的上、下方的柱体体积的代数和。

4．二重积分存在性
如果被积函数),(y x f 在积分区域D 上连续，那末二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(必定存在。

二．二重积分的性质
性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。

即
σσd y x f k d y x kf D
D
⎰⎰⎰⎰=),(),(
性质2（线性性） 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。

即
σσσd y x g d y x f d y x g y x f D
D
D
),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±
推论 设α、β为常数，则σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f D
D
D
),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±
性质3（可加性） 若闭区域D 被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（21D D D Y =）。

σσσd y x f d y x f d y x f D D D
),(),(),(2
1
⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=
性质4 若在D 上1),(=y x f ，σ为D 的面积，则
σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰D
D
d d 1
推论 σσσA d A d A D
D
==⎰⎰⎰⎰
性质5（不等式性） 若在D 上，),(),(y x g y x f ≤，则σσd y x g d y x f D
D
⎰⎰⎰⎰≤),(),(
【特别地】),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-，则σσd y x f d y x f D
D
⎰⎰⎰⎰≤),(),(
性质6 （有界性） 设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为
D 的面积，则
σσσM d y x f m D
≤≤⎰⎰),(
性质7（二重积分的中值定理） 设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得
σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D
第二节 二重积分的计算法
用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。

一．直角坐标系中的计算方法
用不等式)()(2
1
x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤来表示的区域，其中函数)(1
x ϕ、)(2
x ϕ在区间
],[b a 上连续，如图9—4所示，称为X —型区域；
用不等式)()(2
1
y x y ψψ≤≤，d y c ≤≤来表示的区域，其中函数)(1
y ψ、)(2
y ψ在区间
],[d c 上连续，如图9—5所示，称为Y —型区域。

注意 X —型或Y —型区域，如果经过该区域内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于x 轴(或y 轴)的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。

图9—4 图9—5 图9—6 图9—7
1．X —型区域D 上的二重积分的计算法 对X —型区域D
⎩⎨
⎧≤≤≤≤b
x a x y x )
()(21ϕϕ 选x 为积分变量，],[b a x ∈，任取子区间],[],[b a dx x x ∈+。

设)(x A 表示过点x 且垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积V 的微元dV 为
dx x A dV )(=
那么曲顶柱体体积V 为
⎰=b
a dx x A V )(
由图9—6知，该截面是一个以区间)](),([21x x ϕϕ为底，以曲线),(y x f z =（x 固定）为曲边的曲边梯形，其面积为
⎰
=)
()
(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ
则曲顶柱体体积为
⎰⎰
=b
a x x dx dy y x f V ]),([)
()
(21ϕϕ
故二重积分的计算法为
⎰⎰
D
d y x f σ),(⎰⎰
=b
a
x x dx dy y x f ]),([)
()
(21ϕϕ⎰
⎰=)
()
(21),(x x b
a
dy y x f dx ϕϕ
2．Y —型区域D 上的二重积分的计算法 对Y —型区域D
⎩⎨
⎧≤≤≤≤d
y c y x y )
()(21ψψ 如图9—7所示，选取y 为积分变量，则用垂直于y 轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积
⎰⎰
=d
c y y dy dx y x f V ]),([)
()
(21ψψ
故二重积分的计算法为
⎰⎰⎰⎰=d c
y y D
dy dx y x f d y x f ]),([),()
()
(21
ψψ
σ⎰⎰
=d
c
y y dx y x f dy )
()
(21
),(ψψ
由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。

若区域D 为X —型，则先把x 看成常量，对y 进行积分，它的积分限一般是x 的函数。

然后在对x 进行积分，它的积分限是常数。

若区域是D Y —型，则先把y 看成常量，对x 进行积分，它的积分限一般是y 的函数。

然后在对y 进行积分，它的积分限是常数。

这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。

3．累次积分上下限的确定方法
把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域D ，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下
（1）在xy 平面上画出曲线所围成的区域D （2）积分限的确定
若区域是X —型区域，则先把区域D 投影到x 轴上，得到区间],[b a ，则区域D 的最左点a 和最右点b 就是x 的积分下限和上限。

在],[b a 上任意取一点x ，过x 画一条与y 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=。

如果)()(21x x ϕϕ≤，那么下部边界曲线)(1x ϕ和上部边界曲线)(2x ϕ就是y 的积分下限和上限，如图9—8所示。

若区域是Y —型，则先把区域D 投影到y 轴上，得到区间],[d c ，则区域D 的最下点c 和最上点d 就是y 的积分下限和上限。

在区间],[d c 上任意取一点y ，过y 画一条与x 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ψ=，)(2x y ψ=。

如果
)()(21x x ψψ≤，那么左部边界曲线)(1x ψ和右部边界曲线)(2x ψ就是x 的积分下限和上
限，如图9—5所示。

（3）若区域既不是X —型区域，又不是Y —型区域
用平行于x 轴或y 轴的直线，把区域D 分成若干个属于同一类型的区域，如图10—9所示，然后在每个区域分别确定其上下限。

最后根据积分的性质即可求解积分。

（4）若区域既是X —型区域，又是Y —型区域
这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。

即区域D 既为X —型，可以用不等式)()(2
1
x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤来表示。

又为Y —型的，可以用不等式)()(2
1y x y ψψ≤≤，
d y c ≤≤来表示，则
=⎰
⎰
b
a
x x dy y x f dx )
()
(21
),(ϕϕ⎰⎰
d c
y y dx y x f dy )
()
(21
),(ψψ
图9—8 图9—9 图9—10
例1 求二重积分⎰⎰+D
d y x σ)(22，其中D 是由0,1,2===y x x y 所围成的区域。

解 因为区域既是X —型区域，又是Y —型区域，所以可先对y 后对x 积分，也可先对x 后 对y 积分。

先对y 后对x 积分
例2 求二重积分⎰⎰
D
d y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是由a x =，
b x =，
c y =，
d y =所围成的区域如图9—10所示，。

解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，则
⎰⎰⎰⎰
=d
c
b a
D
dy y x f dx d y x f ),(),(σ
先对x 后对y 积分，则
⎰⎰
⎰⎰=b
a
d
c
D
dx y x f dy d y x f ),(),(σ
例3 求二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是由x y =，
x 轴，x y -=2所围成的区域。

解 画出积分区域D ，如图9—11所示。

先对y 后对x 积分，将区域D 分成两个1D 和2D ，则
⎰⎰⎰⎰
=x
D dy y x f dx d y x f 010
),(),(1
σ 图9—11
⎰
⎰⎰⎰
-=x
D dy y x f dx d y x f 20
2
1
),(),(2
σ
故
=
⎰⎰
D
d y x f σ),(⎰⎰
x dy y x f dx 0
1
),(⎰
⎰-+x
dy y x f dx 20
21
),(
先对x 后对y 积分，如图10—12所示。

则 图9—12
⎰
⎰⎰⎰-=y
y
D
dx y x f dy d y x f 210
),(),(σ
例4 计算二重积分⎰⎰D
xyd σ，其中D 是抛物线x y =2，2-=x y 所围成的区域。

解 画出积分区域D ，如图9—13所示，是Y —型区域，先对x 后对y 积分，则
8
45
]2[2
12222
1
22
===⎰⎰⎰
⎰⎰--+-dy y x xydx dy xyd y y y
y
D
σ
例5 求二重积分⎰⎰-D
y d e σ2
，其中D 是由x y =，1=y ，
y 轴所围成的区域。

解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，2
y e -就无法积分，因此只能先对x 后对y 积分，则
)1(2
1
10
10
2
2
----==⎰⎰⎰⎰e dx e dy d e y
y
D
y σ 二．极坐标系中的计算法
如果极点在直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，则直角坐标与极坐标的转换公式为
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x 则)sin ,cos (),(θθr r f y x f =
在二重积分的定义中对闭区域D 的分割是任意的，在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，σd =dxdy 。

那么，在极坐标系下，用θ为常数的射线，r 也为常数的同心圆将闭区域D 分割成若干小区域。

在],[θθθd +与],[dr r r +围成小区域的面积θσrdrd d =
故二重积分的极坐标形式为
⎰⎰⎰⎰=D
D
rdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(
其中θσrdrd d =就是极坐标系中的面积元素。

设区域D 可以用不等式)()(21θϕθϕ≤≤r ，βθα≤≤来表示，其中函数)(1
θϕ、)
(2
θϕ在区间],[βα上连续，则
==⎰⎰⎰⎰D
D
rdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(⎰⎰
β
α
θϕθϕθθθ)
()
(21)sin ,cos (rdr r r f d
注 在极坐标系中，区域D 的边界曲线方程一般是)(θr r =，所以通常选择先对r 后对θ的积分次序。

如果极点o 在区域D 的内部,区域D 的边界方程为)(θr r =,πθ20≤≤，则二重积分为
=⎰⎰D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (⎰
⎰
π
θθθθ20
)
(0
)sin ,cos (r rdr r r f d
如果极点o 不在区域D 的内部，从极点o 引两条射线
βθαθ==,夹紧区域D ，那么区域D 的边界由
)(),(21θθr r r r ==构成,且)()(21θθr r ≤，则二重积分为
=⎰⎰
D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (⎰⎰
β
α
θθθθθ)
()
(21)sin ,cos (r r rdr r r f d
注 有一些二重积分在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。

另外对直角坐标系被积函数中含有22y x +等于定值时，往往化为极坐标系下进行计算。

例6 求二重积分⎰⎰D
d y x σ),(22，其中D 是圆环2222b y x a ≤+≤
解 由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

把⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x ，θσrdrd d =代入，
即可转化为极坐标系的积分形式。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰
==D
D
D
drd r rdrd r r f d y x f θθθθσ3)sin ,cos (),(
在对其进行累次积分计算
)(2
)(41),(44204420
33a b d a b dr r d drd r d y x f b
a
D
D
-=-=
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
π
θθθσππ
例7 求二重积分⎰⎰--D
y x
d e σ2
2
，其中D 是圆2
22a y x ≤+≤
（0>a ）
解 由于极点o 在区域D 的内部,区域D 的边界方程为
a r =,πθ20≤≤，所以这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

⎰⎰⎰⎰---=D
r D
y x rdrd e d e θσ2
2
2
)1(22
22
20a b
a r b
a r e dr re dr re d ----===⎰⎰⎰ππθπ
第三节 三重积分的概念
一．三重积分的概念
物体是一根细直线棒，则非均匀细棒的质量为
⎰∑=∆==→b
a
n
i i i dx x f x f M )()(lim 1
ξλ
物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为
⎰⎰∑=∆==→D
n
i i i i dxdy y x f f M ),(),(lim 1
σηξλ
物体是一空间立体，空间有界闭区域Ω，则非均匀立体的质量计算是将Ω任意分成n 个小闭区域n
v v v ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i
v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在i
v
∆上任取一点),,(i
i
i
ςηξ，则小立体的质量近似为
i
i
i
i
v f ∆),,(ςηξ（i =1，2，…，n ）
所以，立体的质量近似地等于
∑=∆n
i i
i
i
i
v f 1
),,(ςηξ
如果当各小空间立体区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限值即立体质量，即
∑=→∆=n
i i i i i v f M 10
),,(lim ςηξλ
定义 设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域
n
v v v ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在每个i
v ∆上任取一
点),,(i
i
i
ςηξ，作乘积i
i
i
i
v f ∆),,(ςηξ（i =1，2，…，n ），并作和∑=∆n
i i
i i i v f 1
),,(ςηξ，如果当
各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时这和式的极限总存在，则称此极限为函数
),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分，记作⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(，即
=⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(∑=→∆n
i i
i
i
i
v f 1
),,(lim ςηξλ
.
其中：dv 叫做体积元素，),,(z y x f 叫做被积函数，dv z y x f ),,(叫做被积表达式，x 、
y 和z 叫做积分变量，Ω叫做积分区域，∑=∆n
i i
i
i
i
v f 1
),,(ςηξ叫做积分和。

注意 （1）在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分Ω，那么除了包含Ω边界点的一些不规则小闭区域外，其余的小闭区域都是长方体，设长方体小闭区域i
v
∆的边长j
x ∆、k
y ∆和l
z ∆，则=∆i
v j
x ∆k
y ∆l
z ∆，因此在直角坐标系中，有时也把体积元
素dv ，记作
dxdydz
即
dv =dxdydz
从而
=⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f ),,(
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。

（2）不论i
v ∆怎样分割，点),,(i
i
i
ςηξ怎样选取，都不会影响重积分的存在，所以
重积分与分割、点),,(i
i
i
ςηξ怎样选取无关。

（3）如果),,(z y x f 在域Ω上连续，那末此三重积分一定存在。

（4）三重积分的和式极限与定积分、二重积分的和式极限结构类似，当最大的
子域直径0→λ时，保证了+∞→n ，此时和数的极限都存在。

（5）定积分的被积函数是一个一元函数，它的积分域是一个区间；二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域；三重积分的被积函数是一个三元函数),,(z y x f ，积分域是一空间区域Ω。

（6）对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。

二．直角坐标系中三重积分的计算方法
1．直角坐标系中三重积分的计算
（1）将空间有界闭区域Ω投影到xy 坐标平面上，得到xy 坐标平面上的一个平面区域D
（2）在区域D 上任意取一点),(y x ，作平行于z 轴的直线l ，与边界曲面的交点的竖坐标),(),,(21y x z z y x z z ==，不妨设),(),(21y x z y x z ≤，显然
),(),(21y x z z y x z ≤≤ D y x ∈),(
则
=⎰⎰⎰
Ω
dv z y x f ),,(⎰⎰⎰
D
y x z y x z dxdy dz z y x f )
,()
,(21]),,([
在对z 积分时，把x 、y 看是成常数，得出积分后，再在D 上计算二重积分。

即把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，二重积分的计算依据D 可化为累次积分。

则三重积分的计算就可转化为累次积分的计算。

例1 求⎰⎰⎰Ω
xyzdv ，其中Ω是由平面0,0,0===z y x 及1=++y x z 所围成的区域。

解 把三重积分化为先对z 积分，再对y 和x 积分的累次积分，那末应把Ω投影到xy 坐标平面上，求出投影域D ，它就是平面1=++y x z 与xy 平面的交线和x 轴、y 轴所围成的三角区域。

为了确定出对z 积分限，在D 固定点),(y x ，通过此点作一条平行于z 轴的直线，它与Ω上下边界的交点的竖坐标
0=z 与y x z --=1
这就是对z 积分的下限与上限，于是由积分公式得
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰--Ω
=D
y
x d xyzdz xyzdv 10
][σ
其中D 为平面区域
y x y x +≤≥≥1,0,0
如下图阴影部分所示
再把域D 上的二重积分化成先对y 后对x 的累次积分，得
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-----Ω
==10
10
10
10
][x
y
x D
y
x xyzdz dy dx d xyzdz xyzdv σ
⎰⎰
---=10
10
2)1(2
x
dy y x xy
dx ⎰
-=1
04)1(24dx x x
720
1= 2．柱面坐标系中三重积分的计算法 （1）柱面坐标概念
平面上点P 可以用极坐标),(θr )来确定，因此空间中的点P 可用数组),,(z r θ来表示。

显然，空间的点P 与数组),,(z r θ之间的对应关系是一一对应关系，数组),,(z r θ称为空间点P 的柱面坐标。

（2）柱面坐标与直角坐标的关系 柱面坐标与直角坐标的关系为
z z r y r x ===,sin ,cos θθ
（3）柱面坐标的来历
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为
r =常数：以z 轴为对称轴的同轴圆柱面族 θ=常数：通过z 轴的半平面族 z =常数：与z 轴垂直的平面族
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。

（4）三重积分的计算法
柱面坐标系下三重积分的计算公式为
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
=Ω
β
α
θθθθθθθθθ)
()
()
sin ,cos ()
sin ,cos (2121)sin ,cos (),,(r r r r r r r z rdz r r f dr d dv z y x f
例 2 求⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中Ω是由曲面22228,y x z y x z --=+=及1=++y x z 所围成的区域。

解 πθθσππ8)4(][20
2
220
2
882
222
2=-===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰---+Ω
dr r r d zdz rdr d d zdz zdv r r
D
y x y x
3．球面坐标系中三重积分的计算法 （1）球面坐标
空间中的点M 到原点O 的距离为r ，OM 在xy 平面上的投影OP ，
从z 轴正向看，x 轴的正向逆时针方向旋转到OP 的角为θ，OM 与z 轴正向轴夹角为ϕ，且它们取值
范围是
πϕπθ≤≤≤≤+∞<≤0,20,0r
那么，用ϕθ,,r 三个量构成的有序数组),,(ϕθr 可以确定空间的点M ，显然空间的点M 与数组),,(z r θ之间的对应关系是一一对应关系，则有序数组),,(ϕθr 称为空间点M 的球面坐标。

（2）几何意义
空间中的点M 实在上是圆心在原点，半径为r 的球面与极角为θ的半平面、张角为ϕ圆锥面的公共交点。

这就是球面坐标的原由。

（3）球面坐标与直角坐标的关系
ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===
（4）三重积分的计算法 球面坐标系的体积元素
θϕϕd drd r dv sin 2=
球柱面坐标系下三重积分的计算公式为
θϕϕϕθϕθϕd drd r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰
Ω
Ω
=
上式可化为对ϕθ,,r 的三次积分。

例 3 将三重积分⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(化为球柱面坐标系下的累次积分，其中Ω：
2222r z y x ≤++。

解 由于Ω是球心在原点的球，所以球内任意一点的球面坐标),,(ϕθr 满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤+∞<≤πϕπθ0200r 则
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=Ω
ππϕϕθϕθϕϕθ20
2sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(r
r
dr r r r r f d d dv z y x f
例4 求由球面Rz z y x 2222=++和顶角为α2、以z 轴为旋转轴的圆锥所围成立体Ω的体积。

解 球面坐标下，球面Rz z y x 2222=++方程可化为
ϕcos 2R r =
顶角为α2、以z 轴为旋转轴的圆锥为
αϕ= 则立体Ω的球面坐标为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤<≤αϕπ
θϕ020cos 20R r 故立体Ω的体积为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
==θϕϕd drd r dv V sin 2
)cos 1(3
4
]sin 31[2sin 430cos 20320
cos 20
2απϕ
ϕπϕϕθαϕ
παϕ
-===⎰⎰⎰⎰
R d r dr
r d d R R
第二节 二重积分的计算法
用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。

一．直角坐标系中的计算方法
用不等式)()(2
1
x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤来表示的区域，其中函数)(1
x ϕ、)(2
x ϕ在区间
],[b a 上连续，如图10—4所示，称为X —型区域；
用不等式)()(2
1
y x y ψψ≤≤，d y c ≤≤来表示的区域，其中函数)(1
y ψ、)(2
y ψ在区间
],[d c 上连续，如图10—5所示，称为Y —型区域。

注意 X —型或Y —型区域，如果经过该区域内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于x 轴(或y 轴)的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。

图10—4 图10—5 图10—6 图10—7
1．X —型区域D 上的二重积分的计算法 对X —型区域D
⎩⎨
⎧≤≤≤≤b
x a x y x )
()(21ϕϕ 选x 为积分变量，],[b a x ∈，任取子区间],[],[b a dx x x ∈+。

设)(x A 表示过点x 且垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图10—6所示，则曲顶柱体体积V 的微元dV 为
dx x A dV )(=
那么曲顶柱体体积V 为
⎰=b
a
dx x A V )(
由图10—6知，该截面是一个以区间)](),([21x x ϕϕ为底，以曲线),(y x f z =（x 固定）为曲边的曲边梯形，其面积为
⎰
=)
()
(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ
则曲顶柱体体积为
⎰⎰
=b
a x x dx dy y x f V ]),([)
()
(21ϕϕ
故二重积分的计算法为
⎰⎰D
d y x f σ),(⎰⎰=b
a
x x dx dy y x f ]),([)
()
(21ϕϕ
⎰
⎰=)
()
(21),(x x b
a
dy y x f dx ϕϕ
2．Y —型区域D 上的二重积分的计算法 对Y —型区域D
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤d y c y x y )
()(21ψψ 如图10—7所示，选取y 为积分变量，则用垂直于y 轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积
⎰⎰
=d
c y y dy dx y x f V ]),([)
()
(21ψψ
故二重积分的计算法为
⎰⎰
⎰⎰
=d c
y y D
dy dx y x f d y x f ]),([),()
()
(21
ψψσ⎰⎰
=d
c
y y dx y x f dy )
()
(21
),(ψψ
由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。

若区域D 为X —型，则先把x 看成常量，对y 进行积分，它的积分限一般是x 的函数。

然后在对x 进行积分，它的积分限是常数。

若区域是D Y —型，则先把y 看成常量，对x 进行积分，它的积分限一般是y 的函数。

然后在对y 进行积分，它的积分限是常数。

这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。

3．累次积分上下限的确定方法
把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域D ，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下
（1）在xy 平面上画出曲线所围成的区域D （2）积分限的确定
若区域是X —型区域，则先把区域D 投影到x 轴上，得到区间],[b a ，则区域D 的最左点a 和最右点b 就是x 的积分下限和上限。

在],[b a 上任意取一点x ，过x 画一条与y 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=。

如果)()(21x x ϕϕ≤，那么下部边界曲线)(1x ϕ和上部边界曲线)(2x ϕ就是y 的积分下限和上限，如图10—8所示。

若区域是Y —型，则先把区域D 投影到y 轴上，得到区间],[d c ，则区域D 的最下点c 和最上点d 就是y 的积分下限和上限。

在区间],[d c 上任意取一点y ，过y 画一条与x 轴平行的直线，与区域D 的边界曲线交点为)(1x y ψ=，)(2x y ψ=。

如果
)()(21x x ψψ≤，那么左部边界曲线)(1x ψ和右部边界曲线)(2x ψ就是x 的积分下限和上
限，如图10—5所示。

（3）若区域既不是X —型区域，又不是Y —型区域
用平行于x 轴或y 轴的直线，把区域D 分成若干个属于同一类型的区域，如图10—9所示，然后在每个区域分别确定其上下限。

最后根据积分的性质即可求解积分。

（4）若区域既是X —型区域，又是Y —型区域
这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。

即区域D 既为X —型，可以用不等式)()(2
1
x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤来表示。

又为Y —型的，可以用不等式)()(2
1y x y ψψ≤≤，
d y c ≤≤来表示，则
=⎰
⎰
b
a
x x dy y x f dx )
()
(21
),(ϕϕ⎰⎰
d c
y y dx y x f dy )
()
(21
),(ψψ
图10—8 图10—9 图10—10
例1 求二重积分⎰⎰+D
d y x σ)(22，其中D 是由0,1,2===y x x y 所围成的区域。

解 因为区域既是X —型区域，又是Y —型区域，所以可先对y 后对x 积分，也可先对x 后 对y 积分。

先对y 后对x 积分
例2 求二重积分⎰⎰
D
d y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是由a x =，
b x =，
c y =，
d y =所围成的区域如图10—10所示，。

解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，则
⎰⎰⎰⎰
=d
c
b a
D
dy y x f dx d y x f ),(),(σ
先对x 后对y 积分，则
⎰⎰⎰⎰
=b
a
d c
D
dx y x f dy d y x f ),(),(σ
例3 求二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是由x y =，
x 轴，x y -=2所围成的区域。

解 画出积分区域D ，如图10—11所示。

先对y 后对x 积分，将区域D 分成两个1D 和2D ，则
⎰⎰⎰⎰
=x
D dy y x f dx d y x f 010
),(),(1
σ 图10—11
⎰
⎰⎰⎰
-=x
D dy y x f dx d y x f 20
2
1
),(),(2
σ
故
=
⎰⎰
D
d y x f σ),(⎰⎰
x dy y x f dx 0
1
),(⎰
⎰-+x
dy y x f dx 20
21
),(
先对x 后对y 积分，如图10—12所示。

则 图10—12
⎰
⎰⎰⎰
-=y
y
D
dx y x f dy d y x f 210
),(),(σ
例4 计算二重积分⎰⎰D
xyd σ，其中D 是抛物线x y =2，2-=x y 所围成的区域。

解 画出积分区域D ，如图10—13所示，是Y —型区域，先对x 后对y 积分，则
8
45
]2[2
12222
1
22
===⎰⎰⎰
⎰⎰--+-dy y x xydx dy xyd y y y
y
D
σ
例5 求二重积分⎰⎰-D
y d e σ2
，其中D 是由x y =，1=y ，
y 轴所围成的区域。

解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，2
y e -就无法积分，因此只能先对x 后对y 积分，则
)1(2
1
10
10
2
2
----==⎰⎰⎰⎰e dx e dy d e y
y
D
y σ 二．极坐标系中的计算法
如果极点在直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，则直角
坐标与极坐标的转换公式为
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x 则)sin ,cos (),(θθr r f y x f =
在二重积分的定义中对闭区域D 的分割是任意的，在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，σd =dxdy 。

那么，在极坐标系下，用θ为常数的射线，r 也为常数的同心圆将闭区域D 分割成若干小区域。

在],[θθθd +与],[dr r r +围成小区域的面积θσrdrd d =
故二重积分的极坐标形式为
⎰⎰⎰⎰=D
D
rdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(
其中θσrdrd d =就是极坐标系中的面积元素。

设区域D 可以用不等式)()(21θϕθϕ≤≤r ，βθα≤≤来表示，其中函数)(1
θϕ、)
(2
θϕ在区间],[βα上连续，则
=
=⎰⎰⎰⎰
D
D
rdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(⎰⎰
β
α
θϕθϕθθθ)
()
(21)sin ,cos (rdr r r f d
注 在极坐标系中，区域D 的边界曲线方程一般是)(θr r =，所以通常选择先对r 后对θ的积分次序。

如果极点o 在区域D 的内部,区域D 的边界方程为)(θr r =,πθ20≤≤，则二重积分为
=⎰⎰
D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (⎰⎰π
θθθθ20)
(0
)sin ,cos (r rdr r r f d
如果极点o 不在区域D 的内部，从极点o 引两条射线
βθαθ==,夹紧区域D ，那么区域D 的边界由
)(),(21θθr r r r ==构成,且)()(21θθr r ≤，则二重积分为
=⎰⎰
D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (⎰⎰
β
α
θθθθθ)
()
(21)sin ,cos (r r rdr r r f d
注 有一些二重积分在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。

另外对直角坐标系被积函数中含有22y x +等于定值时，往往化为极坐标系下进行计算。

例6 求二重积分⎰⎰D
d y x σ),(22，其中D 是圆环2222b y x a ≤+≤
解 由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

把⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x ，θσrdrd d =代入，
即可转化为极坐标系的积分形式。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰
==D
D
D
drd r rdrd r r f d y x f θθθθσ3)sin ,cos (),(
在对其进行累次积分计算
)(2
)(41),(44204420
33a b d a b dr r d drd r d y x f b
a
D
D
-=-=
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
π
θθθσππ
例7 求二重积分⎰⎰--D
y x
d e σ2
2
，其中D 是圆2
22a y x ≤+≤
（0>a ）
解 由于极点o 在区域D 的内部,区域D 的边界方程为
a r =,πθ20≤≤，所以这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

⎰⎰⎰⎰---=D
r D
y x rdrd e d e θσ2
2
2
)1(22
22
20a b
a r b
a r e dr re dr re d ----===⎰⎰⎰ππθπ
第三节 二重积分的应用
一．几何学上的应用
由二重积分的几何意义知，当0),(≥=y x f z 时，在xoy 面上以区域D 为底面，以
),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积为⎰⎰D
d y x f σ),(；当0),(<=y x f z 时，在xoy 面上
以区域D 为底面，以),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积为⎰⎰-D
d y x f σ),(。

因此利用二重积分可以求曲顶柱体的体积。

例1 求由旋转抛物面226y x z --=与xoy 所围成的立体的体积。

解 该立体以曲面2
2
6y x z --=为顶，62
2
=+y x 为底的曲顶柱体。

由对称性知
πθσπ
18)6(4)6(20
6
22
2
=-=--=⎰⎰⎰⎰dr r d d y x V D
例2 求由锥面22y x z +=
及旋转抛物面226y x z --=所围成的立体
的体积。

解 两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=2
2226y
x z y x z ，即⎩⎨⎧==+2422z y x ，在xoy 面上投影⎩⎨⎧==+0422z y x
两曲面所围成的立体的体积是以226y x z --=为曲顶的曲顶柱体的体积减去以
22y x z +=为曲顶的曲顶柱体的体积。

3
32)6()6()6()6(20
6
2222222222π
θθσ
σσπ=
--=--=+---=+---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰rdr r r d rdrd r r d y x y x d y x d y x V D
D
D
D
二．物理学上的应用
1．平面薄片的重心
二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是由a x =，b x =，
c y =，
d y =所围成的区域如图10—10所示，。

画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，则
⎰⎰⎰⎰
=d
c
b a
D
dy y x f dx d y x f ),(),(σ
先对x 后对y 积分，则
⎰⎰⎰⎰
=b
a
d c
D
dx y x f dy d y x f ),(),(σ
第三节 三重积分的概念
一．三重积分的概念
物体是一根细直线棒，则非均匀细棒的质量为
⎰∑=∆==→b
a
n
i i i dx x f x f M )()(lim 1
ξλ
物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为
⎰⎰∑=∆==→D
n
i i i i dxdy y x f f M ),(),(lim 1
σηξλ
物体是一空间立体，空间有界闭区域Ω，则非均匀立体的质量计算是将Ω任意分成n 个小闭区域n
v v v ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i
v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在i
v
∆上任取一点),,(i
i
i
ςηξ，则小立体的质量近似为
i
i
i
i
v f ∆),,(ςηξ（i =1，2，…，n ）
所以，立体的质量近似地等于
∑=∆n
i i
i
i
i
v f 1
),,(ςηξ
如果当各小空间立体区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限值即立体质量，即
∑=→∆=n
i i i i i v f M 10
),,(lim ςηξλ
定义 设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域
n
v v v ∆∆∆,,,2
1
Λ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在每个i
v ∆上任取一
点),,(i
i
i
ςηξ，作乘积i
i
i
i
v f ∆),,(ςηξ（i =1，2，…，n ），并作和∑=∆n
i i
i i i v f 1
),,(ςηξ，如果当。