高数同济七版电子课本上册

反常积分
反常积分的概念
反常积分是对于无穷区间上的积分，它分为两类：无穷限的反常积 分和瑕点的反常积分。
反常积分的性质
反常积分具有一些特殊的性质，例如：无穷限的反常积分的结果可 能为无穷大，瑕点的反常积分的结果可能为无穷小。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，计算方法有所不同，常用的方法包括利 用极限理论、幂级数展开等。
法则。
基本公式
02 基本公式包括指数函数的导数、幂函数的导数、对数
函数的导数和三角函数的导数等。
常见函数的导数
03
常见函数的导数包括一次函数的导数、二次函数的导
数、反比例函数的导数和幂函数的导数等。
微分及其应用
01
02
03
微分的概念
微分是函数在某一点处的 近似值，即函数在该点的 切线截距。
微分的几何意义
柯西中值定理
进一步揭示了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学中的重要定理之一。
洛必达法则
洛必达法则基本内容
在一定条件下，当一个函数的极限为0时，可以 应用洛必达法则求其导数的极限。
洛必达法则的应用
适用于求一些复杂函数的极限，简化计算过程 。
洛必达法则的条件
只有在满足一定条件下才能使用洛必达法则，否则可能导致错误的结果。
反常积分的应用
• 总结词：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类问 题。反常积分的应用包括物理、工程、经济等领域。
• 详细描述：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类 问题。反常积分有两种类型：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 无穷区间上的反常积分可以用来求解函数在无穷区间上的积分，而无界函数的 反常积分可以用来求解函数在有限区间上的瑕积分。反常积分的应用非常广泛 ，包括物理、工程、经济等领域。例如，在物理学中，反常积分可以用来求解 量子力学中的波函数问题、电动力学中的电磁场问题等；在工程学中，反常积 分可以用来求解流体动力学中的问题、热传导问题等；在经济领域，反常积分 可以用来求解贴现问题、投资组合问题等。
06
第六章 定积分的应用
定积分的几何应用
直线与曲线的交点
定积分可以用于求解直线与曲线的交点，通过代 入直线和曲线的方程，得到交点的坐标。
曲线的面积
定积分可以用于计算曲线下方的面积，通过对曲 线的方程进行积分，得到曲线下方的面积。
旋转体的体积
定积分可以用于计算旋转体的体积，通过对旋转 体的母线进行积分，得到旋转体的体积。
05
第五章 定积分
定积分的概念与性质
• 总结词：定积分是研究函数在区间上的积分，其本质是求曲边梯形的面积。定 积分的概念包括可积函数、积分的区间和被积函数。定积分的性质包括比较定 理、积分中值定理和积分区间可加性等。
定积分的概念与性质
• 详细描述：定积分是微积分学中重要的概念之一，其主要目的是求解函数在区 间上的积分。在具体应用中，定积分可以用来计算曲边梯形的面积、变力沿直 线所作的功、水压力等。定积分的概念包括可积函数、积分的区间和被积函数 。可积函数是指在一个区间上定义的实值函数，对于该函数的曲线下的面积可 以通过定积分来计算。积分的区间可以是有限区间或无限区间。被积函数是定 义在区间上的函数，其曲线下的面积可以通过定积分来计算。定积分的性质包 括比较定理、积分中值定理和积分区间可加性等。比较定理是指如果函数f(x) 和g(x)在区间[a, b]上可积，且f(x)≤g(x)，那么在[a, b]区间上的积分值也有 f(x)≤积分≤g(x)。积分中值定理是指在一定区间内，至少存在一点ξ，使得在 该点处的切线与曲线围成的面积等于以该区间为长度的线段与曲线围成的面积 。积分区间可加性是指如果函数f(x)在区间[a, b]和[b, c]上可积，那么f(x)在[a, c]区间上也可积，并且积分等于两个区间的积分之和。
定积分的经济学应用
收益现值
投资成本
定积分可以用于计算收益现值 的问题，通过对未来的收益进 行积分，得到未来收益的现值 。
定积分可以用于计算投资成本 的问题，通过对投资额进行积 分，得到一定时间内的投资成 本。
边际成本与边际收 益
定积分可以用于计算边际成本 与边际收益的问题，通过对成 本和收益进行微分和积分，得 到边际成本和边际收益。
极限的概念与性质
极限的定义
极限是数学中的一个概念，用来表示当自变量趋近于某个值时，因变量的取值趋 势。极限的定义包括极限的左右定义和极限的柯西定义。
极限的性质
极限的性质包括唯一性、传递性、保号性等。唯一性是指极限只有一个值；传递 性是指如果lim(x→x0)f(x)=A且lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)f(g(x))=A；保 号性是指如果lim(x→x0)f(x)=A>0，则存在一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时， f(x)>0。
极限的运算
• 极限的运算规则：极限的运算规则包括加减乘除规则、乘方开方规则、复合函数规则等。加减乘除规则是指 lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B时，lim(x→x0)[f(x±g(x)]=A±B；乘方开方规则是指lim(x→x0)f(x)=A时 ，lim(x→x0)[f(x)]^n=A^n；复合函数规则是指lim(x→x0)f[g(x)]=A时，lim(x→x0)f[φ(x)]=f[lim(x→x0)φ(x)] 。
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• 第一章 函数与极限 • 第二章 导数与微分 • 第三章 中值定理与导数的应用 • 第四章 不定积分 • 第五章 定积分 • 第六章 定积分的应用
01
第一章 函数与极限
函数
要点一
函数的定义
函数是数学上的一种概念，用来表示 自变量和因变量之间的关系。函数的 定义通常包括定义域和值域，定义域 是自变量的取值范围，值域是因变量 的取值范围。
导数的几何应用
01
导数与曲线切线斜率 的关系
导数可以表示曲线在某点处的切线斜 率，进而决定曲线的变化趋势。
02
导数与函数单调性的 关系
导数的正负可以决定函数的单调性， 导数为正时函数单调递增，导数为负 时函数单调递减。
03
导数与函数极值的关 系
导数的变化可以决定函数的极值，在 某点处导数由正变为负时，函数在该 点处取得极大值；反之，导数由负变 为正时，函数在该点处取得极小值。
定积分的物理应用
功的计算
定积分可以用于计算变力沿直线做功的问题 ，通过对变力进行积分，得到力所做的功。
液体静压力
定积分可以用于计算液体静压力的问题，通过对液 体的深度进行积分，得到液体在某一点处的静压力 。
热量传递
定积分可以用于计算热量传递的问题，通过 对温度进行积分，得到物体在一段时间内吸 收或释放的热量。
解不定积分的意义和作用。
不定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是最基本的积分方法之一，它基于不定积分的定义，通 过将被积函数进行凑微分或使用积分公式来得到原函数。
换元积分法
换元积分法是一种常用的积分方法，它通过引入新的变量来简化被 积函数的计算，从而得到原函数。
分部积分法
分部积分法是一种通过将被积函数分成两个函数的乘积来计算不定积 分的方法，它可以用于处理一些难以直接计算的被积函数。
微分的几何意义是函数图 像在某一点处的切线截距 。
微分的物理应用
微分在物理中可以用来描 述位移和速度的变化。
03
第三章 中值定理与导数的应用
中值定理及其应用
拉格朗日中值定理
给出了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学的基本定理之一。
拉格朗日中值定理的应用
在几何、物理和经济等领域中具有广泛的应用，如研究曲线形状、物体运动规律和价格变化等。
定积分的计算方法
• 总结词：定积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积 分法和递推公式等。其中，牛顿-莱布尼茨公式是最常用的方法。
• 详细描述：定积分的计算方法有多种，其中最常用的是牛顿-莱布尼茨 公式。该公式可以将一个定积分转化为一个不定积分加上一个常数C， 从而简化了定积分的计算过程。换元法也是常用的计算方法之一，它通 过引入新的变量来简化定积分的计算。分部积分法可以将一个定积分转 化为两个或多个定积分的和，从而降低了计算的复杂度。递推公式是一 种通过递推关系来计算定积分的方法，它可以减少计算量并提高效率。 在实际应用中，可以根据不同的需求选择不同的计算方法。
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02
第二章 导数与微分
导数的概念

1 2
瞬时变化率
导数是函数在某一点处的瞬时变化率，即函数在 该点的切线斜率。
几何意义
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜 率。
3
物理意义
导数在物理中可以用来描述速度和加速度的变化 。
求导法则与导数的基本公式
求导法则
01
求导法则包括链式法则、乘法法则、加法法则和除法
要点二
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图象法和 解析法等。表格法是指将自变量和因 变量的对应关系列成表格；图象法是 指将函数的图象画在坐标系中，通过 图象来表示函数的关系；解析法是指 用数学表达式来表示函数的关系。
要点三
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周 期性等。奇偶性是指函数是否具有对 称性；单调性是指函数在某个区间内 是否单调递增或单调递减；周期性是 指函数是否具有周期性。
04
第四章 不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
01
不定积分是微分的逆运算，它计算的是原函数，即一个函数f的
不定积分是f的所有原函数。
不定积分的性质
02
不定积分具有线性、积分常数等性质，这些性质在计算不定积
分时非常重要。
不定积分的几何意义
03
不定积分在几何上表示一条曲线的切线族，这个性质有助于理