2020-2021学年九年级上册数学第1章《二次函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年九年级上册数学第1章《二次函数》单元测试卷一．选择题
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（）
A．y＝4x B．y＝5x2﹣3x C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3﹣2x+1
2．将二次函数y＝2x2+5的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数关系式是（）
A．y＝2（x+3）2+6B．y＝2（x+3）2+4
C．y＝2（x﹣3）2+6D．y＝2（x﹣3）2+4
3．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y 关于x的函数表达式为（）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
4．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．
5．以下抛物线的顶点坐标为（2，0）的是（）
A．y＝3x2+2B．y＝3x2﹣2C．y＝3（x﹣2）2D．y＝3（x+2）2
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，下列结论中正确的是（）
A．abc＜0B．4ac＜b2C．2a+b＝0D．a﹣b+c＞2
7．二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）的图象经过点（0，2），则a+b的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．3
8．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是（）A．﹣2B．3C．﹣3D．﹣6
9．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≤﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确的个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤；
⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）
12．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝．
13．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是
，则这名男生抛实心球的成绩是m．
14．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，3），其图象是由抛物线y＝﹣8x2+1平移得到的，则该抛物线的解析式为．
15．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h ﹣1）2+k≤3的解集为．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c，为常数），对称轴为直线x＝1，它的部分自变量x与函数值y的对应值如下表．请写出ax2+bc+c＝0的一个正数解的近似值（精确到0.1）x﹣0.4﹣0.3﹣0.2﹣0.1 y＝ax2+bx+c0.920.38﹣0.12﹣0.58
17．若函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是．
18．已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣2a+1，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是．
19．如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．
20．小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝﹣的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），对该抛物线，小甬将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A，B的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是．
三．解答题
21．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
22．已知二次函数（k为常数），求k的值．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为A．（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y＝ax2+4ax+4﹣4（a≠0）交于B、C两点．
①当a＝1时，求线段BC的长；
②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围．
24．已知二次函数的图象y＝﹣x2+bx+c如图所示，它与轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．（1）求b，c的值；
（2）根据图象，直接写出函数值y＜0时，自变量x的取值范围．
25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；
（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；
26．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，
（1）求出s关于x的函数关系式；
（2）求s的最大值与最小值．
27．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．
（1）直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2x2+5向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x+3）2+4．
故选：B．
3．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
4．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函
数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．
故选：D．
5．解：抛物线y＝3x2+2的顶点为（0，2）；
抛物线y＝3x2﹣2的顶点为（0，﹣2）；
抛物线y＝3（x﹣2）2的顶点为（2，0）；
抛物线y＝3（x+2）2的顶点为（﹣2，0）；
故选：C．
6．解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
因此abc＞0，故错误；
B、抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故正确；
C、对称轴为x＝﹣＝﹣1，得2a＝b，
∴2a﹣b＝0，故错误；
D、∵当x＝﹣1时，y＞0
∴a﹣b+c＞0，故错误．
故选：B．
7．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）的图象经过点（0，2），∴a+b＝2．
故选：C．
8．解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故选：D．
9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选：D．
10．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
即x＝﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴9a﹣3b+c＝﹣6，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：B．
二．填空题
11．解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；
故答案为：①②③．
12．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．解：∵一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，
∴当y＝0，则0＝﹣x2+x+，
解得：x1＝10，x2＝﹣2，
∴这名男生抛实心球的成绩为10m，
故答案为：10．
14．解：∵该抛物线是由抛物线y＝﹣8x2+1平移得到的，
∴a＝﹣8，
又∵抛物线的顶点坐标是（﹣2，3），
∴该抛物线的解析式为y＝﹣8（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣8（x+2）2+3．
15．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，∴大致图象如图所示：
∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点
则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．
故答案为：x≤0或x≥6．
16．解：由表可知，当x＝﹣0.2时，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为﹣0.2，
设正数解的近似值为a，
∵对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
解得a＝2.2．
故答案为：2.2．（答案不唯一，与其相近即可）．
17．解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，
∴方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴判别式△＝22﹣4×1×m＜0，
解得：m＞1；
故答案为：m＞1．
18．解：根据题意得：当a＜0时，﹣≤1，
解得：a＜0；
当a＞0时，﹣≥3，
解得：a≤．
二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣2a+1中，a≠0，
综上所述：a的取值范围是a≤且a≠0．
19．解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴a＞0，
故答案为a＞0．
20．解：如图，作垂线AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F．设A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，
①×n+②×m得，（m+n）b＝﹣（m2n+mn2）＝﹣mn（m+n），
∴b＝﹣mn．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠OBF（同角的余角相等），
又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，
∴＝，
∴mn＝4，
∴b＝﹣×4＝﹣2．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）．
故答案是：（0，﹣2）．
三．解答题
21．解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
22．解：根据题意知，
解得k＝﹣1．
23．解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a﹣4＝a（x+2）2﹣4，
∴顶点A（﹣2，﹣4）．
（2）①a＝1时，抛物线y＝x2+4x，
令y＝5，x2+4x＝5，解得x＝﹣5或1，
∴BC的长为6．
②∵抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣4（a≠0）的顶点为（﹣2，﹣4）且抛物线过点（0，5），
∴抛物线开口向上，即a＞0；
令y＝5，得ax2+4ax+4a﹣4＝5，
解得，x1＝，x2＝，
∴线段BC的长为，
∵线段BC的长不小于8，
∴≥8，
∴0＜a≤．
24．解：（1）把（﹣1，0）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得；
（2）如图所示，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．
25．解：（1）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；
（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；
（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2+bx+c有两个交点，
故m＞﹣2．
26．解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．
则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，
根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2+x（17≤x≤27）；
（2）∵S＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣45）＝﹣（x﹣）2+（17≤x≤27），
∵17≤x≤27，a＝﹣＜0，
∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2，
∵|27﹣|＜|17﹣|，
∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝m2，
答：s的最大值是m2，最小值是m2．
27．解：（1）当x＝0时，y＝1，因此点A的坐标为（0，1），
将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B，因此点B坐标为（4，2），故答案为：（0，1），（4，2）；
（2）抛物线y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，抛物线恒过点A（0，1），当函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB除点A以外没有其它的公共点，
①当对称轴x＝m＜0时，即m＜0均可，
②当对称轴x＝m＞0时，若抛物线过点B，把（4，2）代入得，16﹣8m+1＝2，
解得，m＝，
因此当m＞时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当m＜0或m＞时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点．。