2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高二上学期期中数学
试题
一、单选题
1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（1，0）
C ．1
(0,
)16
D ．1
(,0)16
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.
【详解】解：将抛物线y ＝4x 2的化为标准方程为x 2＝1
4y ，p ＝18，开口向上，焦点在y 轴的正半轴
上，故焦点坐标为（0，116
）. 故选：C ．
2．已知双曲线2
221(0)x y a a
-=>的离心率是3，则=a （ ）
A ．2
B ．3
C ．12
D ．
22
【答案】D
【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.
【详解】因为双曲线2
221(0)x y a a -=>的离心率是3，
所以22
31c a c a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
，解得22a =（22a =-舍去）. 故选：D.
3．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）
A ．111333OA O
B O
C ++
B ．111
234OA OB OC ++
C ．111
244
OA OB OC ++
D ．111
446
OA OB OC ++
【答案】C
【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,1
2
OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1
2
OG OA AD =+
11
()22
OA AB AC =+⨯+
1
()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-
111
244
OA OB OC =++ 故选:C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
0y +=，它的一个焦点在抛物线
224y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
1927x y -=
B ．22
1279x y -=
C ．22
136108x y -=
D ．22
110836
x y -=
【答案】A
【分析】求出抛物线的准线方程，可得出c 的值，进而可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出该双曲线的方程.
【详解】抛物线224y x =的准线方程为6x =-
，所以，222=6=+c b a c a b ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
，解得=3=6
a b c ⎧⎪⎨⎪⎩
因此，该双曲线的方程为22
1927x y -=.
故选：A.
5．圆224x y +=关于直线250x y +-=对称的圆的方程是（ ） A ．22(2)4)(4x y -+-= B ．22(2)(4)4x y ++-= C ．22(4)(2)4x y -+-= D ．22(4)(2)4x y ++-=
【答案】C
【分析】两圆关于直线对称，则两圆心所在直线与直线垂直，且对称直线过两圆心中点
【详解】圆224x y +=圆心为()0,0，设对称的圆心为(),m n ，则两圆关于直线250x y +-=对称有
()2142250
22
n
m m
n m n ⎧⋅-=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨
=⎩⎪⋅+-=⎪⎩， 故所求圆的方程为22(4)(2)4x y -+-=. 故选：C
6．已知A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A
．
B ．1 C
D
．
【答案】A
【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0）， AB →
∴＝（1，0，0），BC →
＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A 到直线BC 的距离为：
d
＝AB →
→
=
＝
． 故选：A
【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.
7．已知直线:220l x y -+=与以点()2,1C 为圆心的圆相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则圆C 的方程为（ ）
A ．()()22
2125x y -+-= B ．()()22
2120x y -+-= C ．()()2
2
2110x y -+-= D ．()()2
2
215x y -+-=
【答案】C
【分析】由题意，圆心()2,1C 到直线:220l x y -+=
的距离2
d =，利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】解：由题意，ACB △为等腰直角三角形，
所以圆心()2,1C 到直线:220l x y -+=
的距离d =
2
=，解得r =
所以圆C 的方程为()()22
2110x y -+-=， 故选：C.
8．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．()2
234x y ++= B ．()2
231x y -+=
C ．()222341x y -+=
D ．()2
22341x y ++=
【答案】D
【分析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，利用P 在已知的圆上可得PQ 的中点的轨迹方程.
【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，
因为点P 在圆221x y +=上，故()()2
2
2321x y ++=，整理得到()2
22341x y ++=. 故选：D.
【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
9．过点()3,1作圆()2
211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
【解析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1， 以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24
x y -+-=， 因为过点()3,1圆()2
211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，
所以，AB 是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的
数学思想，属于基础题．
10．P 是椭圆22
1169
x y +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF =，则12F PF ∠的
大小为（ ）
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义可判断128PF PF +=，平方得出2
2
1240PF PF +=，再利用余弦定理求解即可．
【详解】P 是椭圆22
1169
x y +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，
128PF PF ∴+= ，12F F =1212PF PF ⋅= ，
()
2
12
64PF PF ∴+= ，
2
2
1240PF PF ∴+= ， 在12F PF ∆中，1240281
cos 2122
F PF -∠==⨯， 1260F PF ∴∠= ，
故选B ．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题．
11．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP
⋅的最大值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．8
【答案】C
【详解】由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)， 则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·
(x 0＋1，y 0)＝2
0x ＋x 0＋2
0y ∵P 为椭圆上一点，∴2
04x ＋203
y ＝1.
∴OP FP ⋅＝2
0x ＋x 0＋320(1)4
x -＝2
04x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.
∵－2≤x 0≤2.
∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.
12．如图，已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ,124F F =，P 是双曲线右支上
的一点，2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A
【分析】由|PQ |＝1，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，根据切线长定理，可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2，结合|F 1F 2|＝4，即可得出结论．
【详解】由题意，∵|PQ |＝1，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ， ∴根据切线长定理可得AM ＝AN ，F 1M ＝F 1Q ，PN ＝PQ ， ∵|AF 1|＝|AF 2|，
∴AM +F 1M ＝AN +PN +NF 2， ∴F 1M ＝PN +NF 2＝PQ +PF 2
∴|PF 1|﹣|PF 2|＝F 1Q +PQ ﹣PF 2＝F 1M +PQ ﹣PF 2＝PQ +PF 2+PQ ﹣PF 2＝2PQ ＝2， ∵|F 1F 2|＝4，
∴双曲线的离心率是e ＝c
a
＝2．
故选A ．
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于中档题.
二、填空题
13．直线30x --=的倾斜角为_____. 【答案】
6
π##16π
【分析】根据tan θ=
，直接计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为[),0,θθπ∈
所以tan 6
πθθ=⇒= 故答案为：
6
π 14．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为___________.
【分析】利用平行线间距离公式，即可计算结果. 【详解】直线1:320l x y --=，直线2:l 1
302
x y -+
=，
两条直线平行，所以1 l 与2 l 之间的距离d =
=
15．若圆221x y +=与圆()()2
2
416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________. 【答案】3
【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.
【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，5=∴3,0,3a a a =±>∴=又 故答案为：3
16．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(1,2,0,A B -，则直线AB 与平面xOz 所成的角的正弦值为__________.
【答案】3
4
##0.75
【分析】平面xOz 的一个法向量为()0,1,0n =，求出cos ,n AB 即得解.
【详解】平面xOz 的一个法向量为()0,1,0n =，(1AB =，
所以3cos ,4
n AB n AB n AB
=
=
. 所以直线AB 与平面xOz 所成的角的正弦值为3
4.
故答案为：3
4
17．由直线20x y -+=上的点P 向圆22:(4)(2)1C x y -++=引切线PT （T 为切点），则线段PT 的最小长度为________．
【分析】利用切线长定理，结合点到直线距离公式计算作答.
【详解】圆22:(4)(2)1C x y -++=的圆心(4,2)C -，半径1r =，点(4,2)C -到直线20x y -+=的距离
d =
=
于是得PT =当且仅当PC 垂直于直线20x y -+=时取“=“，
所以线段PT
18．已知()20，
-M ，()20N ，，点()P x y ，为坐标平面内的动点，满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P 的轨迹方程为__________． 【答案】28y x =-
【分析】由题得()40MN =，，4MN =，()2MP x y =+，，()2NP x y =-，，再由已知，计算求解即可得到结论．
【详解】由题意，知()40MN =，，4MN =，()2MP x y =+，，()2NP x y =-，． 由0MN MP MN NP ⋅+⋅=，
得()420x -=， 化简整理，得28y x =-． 故答案为：28y x =-
【点睛】本题考查向量的数量积及平面向量的坐标运算，考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查抛物线
的标准方程，考查分析与计算能力，属于基础题．
19．如图所示，在直二面角D －AB －E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中90AEB ∠=︒，则点D 到平面ACE 的距离为________．
【答案】
23
3
【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出点,,,A C D E 的坐标，然后求解出平面ACE 的一个法向量n ，利用公式
AD n n
⋅求解出点D 到平面ACE 的距离.
【详解】以AB 的中点O 为坐标原点，分别以OE ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，过O 垂直于平面ABE 的方向为z 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()()()()0,1,0,1,0,0,0,1,2,0,1,2A E D C --，
()()()0,0,2,1,1,0,0,2,2AD AE AC ===，
设平面ACE 的法向量(),,n x y z =，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0
0x y y z +=⎧⎨+=⎩，
令1y =，∴()1,1,1n =--．
故点D 到平面ACE 的距离223
3
AD n d n
⋅-==
=
20．设M 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，
圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若PMQ ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为____．
【分析】由圆M 与x 轴相切与焦点F ，设M （c ，y ），则y 2b a =或y 2b a =-，所以圆的半径为2
b a ，利
用△PQM 是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】∵圆M 与X 轴相切于焦点F ，则MF 与x 轴垂直， ∴不妨设M （c ，y ）在椭圆x 轴上方， 则y 2
b a =，
∴圆的半径为2
b a
，
∵△PQM 为等边三角形，
2
b a
=c ，
∴b
2=，
∴a 2﹣c
2=， ∴e
2﹣1＝0， ∵0＜e ＜1， ∴
e =
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．
三、双空题
21．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆22
11612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设
12F F 、分别为双曲线C 的左､右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的方程为__________；
2
12
PF PF 的最小值为__________.
【答案】 2
2
13
y x -=； 8.
【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解. 【详解】因为椭圆22
11612
x y +
=
，所以其离心率112e =， 由题知，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率22e =，
因为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆22
11612
x y +
=的焦点重合， 所以对于双曲线22
22
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>，16122c ，
所以1a =
，b C 的方程为：2
2
13
y x -=；
因为12F F 、分别为双曲线C 的左､右焦点，P 为右支上任意一点， 所以1222PF PF a -==，即122PF PF =+， 所以()
2
2
2
2122222
22
2444
4PF PF PF PF PF PF PF PF PF +++=
==++，
因为21PF c a ≥-=，由基本不等式可得：
2244448PF PF ++≥=+=，当且仅当224PF PF =， 即22PF =时取等号，所以2
12
PF PF 的最小值为8.
故答案为：2
2
13
y x -=；8.
四、解答题
22．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的直线l 与圆A 相交于M 、
N 两点，Q 是MN
的中点，MN =(1)求圆A 的标准方程； (2)求直线l 的方程；
(3)(),P x y 为圆上任意一点，在（1）的条件下，求()()2
2
13x y +++的最小值.
【答案】(1)()()22
1220x y ++-= (2)2x =-或3460x y -+=
(3)45205-
【分析】（1）计算出圆A 的半径，可得出圆A 的标准方程；
（2）利用勾股定理计算出圆心A 到直线l 的距离为1d =，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l x ⊥轴时，直接验证即可；在直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线l 的方程；
（3）记点()1,3--E ，则()()2
2
2
13PE x y =+++，分析可知当P 为线段AE 与圆A 的交点时，PE 取
最小值，求出PE 的最小值，即可得解. 【详解】（1）解：由题意可知，点A 的半径为147
255
r -++==，
因此，圆A 的标准方程为()()2
2
1220x y ++-=.
（2）解：由题意可知，圆心A 到直线l 的距离为2
2
12
MN
d r .
①当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =-，此时圆心A 到直线l 的距离为1，合乎题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，
由题意可得2222211
1
k k k d k k --+-=
=
=++，解得34
k =
， 此时，直线l 的方程为()3
24
y x =
+，即3460x y -+=. 综上所述，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=. （3）解：记点()1,3--E ，则()()2
2
2
13PE x y =+++，
()()
22
113220-++-->，所以，点E 在圆A 外，如下图所示：
由图可知，当P 为线段AE 与圆A 的交点时，PE 取最小值，且min 525PE AE r =-=-
因此，()()22
13x y +++的最小值为()
2
525
45205-=-.
23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，//PD QA ，2
PDA π
∠=
，
CD ⊥平面ADPQ ，且22AD PD QA ===．
(1)求证：//QB 平面PDC ； (2)平面CPB 与PBQ 所成角的大小；
(3)在棱PD 上是否存在一点H ，使得异面直线AH 与PB 73
DH 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)
5π6
(3)存在，32
DH =
【分析】（1）证明平面BAQ ∥平面PDC ，即可得到答案.
（2）以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面CPB 和平面PBQ 的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.
（3）假设存在，设()0,0,H h ，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）AB CD ∥，AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以//AB 平面PDC ， 同理AQ PD ∥，AQ ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//AQ 平面PDC ， 又AB
AQ A =，AB ⊂平面BAQ ，AQ ⊂平面BAQ ，故平面BAQ ∥平面PDC ，
QB ⊂平面BAQ ，故//QB 平面PDC .
（2）CD ⊥平面ADPQ ，PD ⊂平面ADPQ ，故CD PD ⊥，故,,DA DP DC 两两垂直. 以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,2,0C ，()002P ,
,，()2,2,0B ，()2,0,1Q ，()2,0,0A ， 设平面CPB 的法向量为()1,,n x y z =，则11
20220n BC x n PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，
取1y =得到()10,1,1n =，
设平面PBQ 的法向量为()2,,n a b c =，则22
2020n BQ y z n PQ x z ⎧⋅=-+=⎪
⎨⋅=-=⎪⎩，
取1x =得到()21,1,2n =， 2112
1233cos ,226n n n n n n ⋅=
=
=⨯⋅，平面CPB 与PBQ 所成角为钝角，故为5π6
. （3）假设存在，设()0,0,H h ，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，
则24273cos ,15412
AH PB h AH PB AH PB
h ⋅+===
⋅+⋅，解得3
2
h =或83h =（舍去）. 故存在H 满足条件，3
2
DH =
.
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:
1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，短轴长为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设P 为椭圆上顶点，点A 是粚圆C 上异于顶点的任意一点，直线PA 交x 轴于点M ，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .
（i ）若直线PA 过椭圆的右焦点，求OPA 的面积；
（ii ）在y 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2
214
x y +=;
(2)（i
（ii ）答案见解析.
【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中,,a b c 的关系即可求解；
（2）（i ）根据（1）的结论及椭圆的上顶点的定义，再利用直线的截距式及弦长公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解；
（ii ）根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用点关于轴对称及点在椭圆上，结合直角三角形中的锐角三角函数即可求解.
【详解】（1
）由题意可知，22222c a b a b c
⎧⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩
，解得2,1,a b c ===
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）（i ）由（1
）知，椭圆的右焦点为)
2F ,因为P 为椭圆上顶点，
所以()0,1P ,
因为直线PA 过椭圆的右焦点，
所以直线PA
11
y
=
，即0x =，
由22
1
40
x y x ⎧+=⎪⎨⎪⎩
，消去x ，得27610y y --=，解得1211,7y y ==-，
所以
116177PA =-=， 所以原点()0,0到直线PA
：0x 的距离为
d =
所以OPA
的面积为1116227OPA
S
PA d =
⋅⋅=⨯=
（ii ）设(),B m n ，(),0M M x ,直线BP 的方程为11n y x m --=，令0y =，得1N m
x n
=-， 即,01m N n ⎛⎫
⎪-⎝⎭,由点B 与点A 关于x 轴对称，可得(),A m n -，同理可得,01m M n ⎛⎫
⎪+⎝⎭
, 因为(),B m n 在椭圆C 上，所以
22
14m n +=，即22
41m n =-，
假设在y 轴的正半轴上存在点()()0,0Q t t >，使得OQM ONQ ∠=∠.
由tan tan OQM ONQ ∠=∠，可得M N x t t x =,即2,M N t x x =⋅所以22
2
41m t n ==-，解得2t =或2t =-， 由0t >，可得2t =，
经验证当2t =时，OQM ONQ ∠=∠.
所以在y 轴的正半轴上存在点()0,2Q ，使得OQM ONQ ∠=∠.
【点睛】解决此题的关键第一问直接利用椭圆的离心率公式及短轴长即可，第二问中的第一小问直接利用直线截距式方程、弦长公式及点到直线的距离公式，结合三角形形的面积公式即可，第二问中的第二小问直接设出相关点及点关于轴对称，再利用直线的点斜式方程及点在椭圆上，结合直角三角形中的锐角三角函数即可求解.。