2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积倍数关系

2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积倍数关系
25. ((2017湖北十堰))抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (m ，0)，与y 轴交于C .
(1) 若m ＝－3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
(2) 如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物
线上有一点E ，使S △ACE ＝ 10
3S △ACD ，求E 点的坐标；
(3) 如图2，设F (－1，－4)，FG ⊥y 轴于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使
∠OBP ＝∠FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）y =x 2+2x -3
（2）∵点A （1，0），C （0，-3） ∴直线AC 为y = 3x -3
∴过点D （-1，0）且平行于AC 的直线L 1为：y = 3x +3 ∴直线AC 向上平移6个单位得到直线L 1 ∴将直线AC 向上平移10
6203
⨯=个单位得到直线L 2：y =3x +17 联立方程组，
x
x
Ｌ２
Ｌ１
ｘ
ｙ
ＯＤ
Ｃ
Ｂ
A
y =x 2+2x -3 y =3x +17 解得，
x 1=-4
x 1=5
y 1=5
y 1=32 (不合题意，舍去) ∴点E 坐标为（-4，5）
（3）设点
P （0，y ）
①当m ＜0时，如图所示，易证△POB ～△FPG ，得
OB OP
PG FG =
∴41
m y
y --=+ ∴m =y 2+4y =(y +2)2-4 ∵-4＜y ＜0 ∴-4≤m ＜0
②当m ＞0时，如图所示，易证△POB ～△FPG ，得
OB OP
PG FG
=
∴
41
m y
y -=+ ∴m = -y 2 -4y = -(y +2)2+4 ∵-4＜y ＜0 ∴0＜m ≤4
综上所述，m 的取值范围是：-4≤m ≤4，且m
24．（2017湖北武汉）已知点A (－1，1)、B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx 上 (1) 求抛物线的解析式
(2) 如图1，点F的坐标为(0，m)（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE
(3) 如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2－x；（2）证明见解析；（3）；
.
（3）进行分类讨论即可得解.
试题解析：（1）∵点A（－1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
∴a－b=1，16a+4b=6
解得：a=，b=－
∴抛物线的解析式为：y=x2－x
设直线AF的解析式为y=kx+m
∵A (－1,1)在直线AF上，
∴－k+m=1
即：k=m－1
∴直线AF 的解析式可化为：y =(m －1)x +m 与y =x 2－x 联立，得（m －1）x +m =x 2－x ∴(x +1)（x －2m ）=0 ∴x =－1或2m ∴点G 的横坐标为2m
考点：二次函数综合题. 24.如图，抛物线c bx x y ++=
2
2
1与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB .
⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；
⑵连接F BD ,为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标； ⑶平行于x 轴的直线交抛物线于N M ,两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且MN PQ 2
1
=
时，求菱形对角线MN 的长. 【考点】HF ：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D 点坐标；
（2）过F 作FG ⊥x 轴于点G ，可设出F 点坐标，利用△FAG ∽△BDE ，由相似三角形的性质可得到关于F 点坐标的方程，可求得F 点的坐标；
（3）可求得P 点坐标，设T 为菱形对角线的交点，设出PT 的长为n ，从而可表示出M 点的坐标，代入抛物线解析式可得到n 的方程，可求得n 的值，从而可求得MN 的长． 【解答】解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，﹣6），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，
∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，
∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
∴A（﹣2，0），
∴OA=2，则AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，﹣8），
∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴=，即==，
当点F在x轴上方时，则有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F 点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ=MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，
∴MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），
∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），∴MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．
24．（2017湖北鄂州）已知，抛物线23
=++（a< 0 ）与x轴交于A（3，
y ax bx
0）、B两点，与y轴交于点C. 抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的
顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =1
2
. （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；
（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12
ACP ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，
直接写出点M 的坐标.
【考点】二次函数，相似，圆
【解析】（1）利用对称性求出点B 的坐标为（-1,0），再求抛物线的解析式及顶点D 的坐标
（2）求证△ACD 和△AED 为直角三角形，就知道直线DE 是△ACD 外接圆的切线 （3）找出CD 的中点坐标N ，再过点N 作NP ∥AC ，就能找到P 点 （4）多次利用相似寻找点M
【解答】（1）∵抛物线的对称轴是直线 a
b
x -
= =1，点A （3,0） 根据抛物线的对称性知点B 的坐标为（-1,0） 将（3,0）（-1,0）带入抛物线解析式中得
⎩⎨
⎧+-=++=3
03
390b a b a
解得⎩⎨⎧=-=21b a
∴ 32y 2++-=x x 当 =1时，y=4
∴顶点D （1,4）. （2）当 x=0时，y=3
∴点C 的坐标为（0,3） ∵A （3,0），D （1,4） ∴
23)30()03(52)04()31(2)34()01(222222=-+-==-+-==-+-=CA AD CD
∴222AD CD CA =+
∴△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°. ∴AD 为△ACD 外接圆的直径 ∵点E 在 轴C 点的上方，且CE =2
7
. ∴E （0，
2
7） ∵A （3,0），D （1,4）
∴285
)30()027(52)04()31(25
)274()01(222222=
-+-==-+-==
-+-=EA AD ED
∴222AE AD DE =+
∴△AED 为直角三角形，∠ADE =90°. ∴AD ⊥DE
又∵AD 为△ACD 外接圆的直径
∴DE 是△ACD 外接圆的切线 （此问中用相似证∠ADE =90°亦可） （3）
解：
∵A （3,0），D （1,4）,C （0,3） ∴直线AC 的解析式y= - x+3 取CD 的中点坐标N ，则N （
21，2
7） 过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点1P ,2P ,设直线NP 表达式为y= - x+b 把N （
21，2
7
）带入y= - x+b 得b=4 ∴直线NP 表达式为y= - x+4
24（2017湖北宜昌）．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧
的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S
△ADF =S
△ADE
，求此时抛
物线的表达式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；
（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断
顶点坐标即可；
（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m 与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；
（2）证明：∵2a=b，
∴对称轴x=﹣=﹣1，
把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴＜0，
则顶点A（﹣1，）在第三象限；
（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，
解得：x1=﹣3，x2=1，
二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a，
∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，
∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°，
∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1，
设对称轴x=﹣1与OF交于点G，
∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a），
∴m=1﹣4a，
∴直线解析式为y=x+1﹣4a，
联立得：，
解得：或，
这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（﹣1，﹣4a）为点D坐标，
点D到对称轴x=﹣1的距离为﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a，=××4a=2，即它的面积为定值，
∴S
△ADE
这时等腰直角△ADF的面积为1，
∴底边DF=2，
而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由﹣1=0，
解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．
27（2017江苏盐城）．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM ⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴，
∴，
∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）①如图，令y=0，
∴﹣x2﹣x+2=0，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴==，
设D（a，=﹣a2﹣a+2），
∴M（a，a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，），
∴==（a+2）2+；
∴当a=2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即，
令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，
∴a1=0（舍去），a2=﹣2，
∴x D=﹣2，
情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC==，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k，∴
∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，
∴==，
∴a1=0（舍去），a2=，
点D的横坐标为﹣2或﹣．
22（2017山东日照）．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C 经过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别相交于M （4，0），N （0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C 交于N ，H ，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C 且垂直x 轴于点D ．
（1）求线段CD 的长及顶点P 的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x 轴于A ，B 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S 四边形OPMN =8S
△QAB ，且△QAB ∽△OBN 成立？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF ：二次函数综合题．
【分析】（1）连接OC ，由勾股定理可求得MN 的长，则可求得OC 的长，由垂径定理可求得OD 的长，在Rt △OCD 中，可求得CD 的长，则可求得PD 的长，可求得P 点坐标；
（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N 点坐标代入可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得A 、B 的坐标，由S 四边形OPMN =8S △QAB 可求得点Q 到x
轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．
【解答】解：
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC=MN=，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，
∴PD=PC﹣CD=﹣=1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S 四边形OPMN =S △OMP +S △OMN =OM•PD +OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S △QAB ， ∴S △QAB =1，
设Q 点纵坐标为y ，则×2×|y |=1，解得y=1或y=﹣1，
当y=1时，则△QAB 为钝角三角形，而△OBN 为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P 点即为所求的Q 点，
∵D 为AB 的中点，
∴AD=BD=QD ，
∴△QAB 为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN 为等腰直角三角形，
∴△QAB ∽△OBN ，
综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为（2，﹣1）．。