定积分的概念

（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越 接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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2.思想方法（想象圆的面积的求法）
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
y
y f (x) 在x轴上方的正面积与
bx
y f (x)
y f (x)
在x轴下方的负面积的代数和.

oa

x
b
例4 求定积分:
(1) 1 1 x2 dx 0
提示:
y
x2 y2 1
3
(2) 0 ( x 1)dx
y
y x 1
A1
o 图4_1
解: (1) 因 f (x)
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1 si v( i )ti
A
01[(x 1)2 1]dx
y
f(x)=x2 y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
b a
dx
y
y
部分路程值
某时刻的速度
n
n
（2）求和 s si v( i )ti
i 1
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s

lim
0
i 1
v(
i
)ti
以上两个例子，一个是几何问题，求的
是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是 速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时 间区间 [a,b] 所走过的路程
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1 y
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（4）在图④中，被积函数f (x) (x 1)2 1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
y y=f(x)
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。
n
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即|| xi || 0（|| xi ||表示 n
步骤： （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限
将区间[0,1]分为n等分:
[0, 1],[1 , 2],[ 2 , 3], ,[ n 1,1]
n nn nn
n
若每一小细条的面积用左端点为高的矩形近似，则小细条的面积为
1 n


i
1 2 n

(i
1)2 n3
,i
1,2,
n
所求面积近似为:
n (i 1)2 1 3 1
i1 n3 6 (2 n n2 ) Sn
分得越细(即n越大),上述近似值就越接近于其精确值.
令n趋于“无穷大”，取极限得所求的面积为： S 1 . 3
当取中点计算小细条面积时，所求面积S近似为:
Sn

1 12

4

1 n2
y y=f(x)
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。
n
把n个小矩形的面积相加得和式 f (i )xi i 1
n
它就是曲边梯形面积A的近似值，即 A f (i )xi. i 1
定积分的概念
莆田二中高二1班
一、问题的提出
实例续曲线
y f (x)( f (x) 0)、
x轴与两条直线 x a、
x b所围成.
oa
问题： 求曲边梯形的面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
bx
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
归纳 它们求的都是在某个区间上的总量（总
面积或总路程）
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取 一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
(1) 1 1 x2 dx 0
提示:
y
x2 y2 1
3
(2) 0 ( x 1)dx
y
y x 1
A1
o 图4_1 x
o A2
x
图4_2
解: (2) y x 1 图像如图4_2所示. 计算两个面积差即可
得所求积分:
3
( x 1)dx
0

A1

A2
2
1 2

3 2
例4.用定积分表示图中四个阴影部分面积
(1) 将区间[0,1]分为n等分:
1 1
[0, 1],[1 , 2],[ 2 , 3], ,[ n 1,1]
n nn nn
n
Y
f( t)
相应把所求面积分为n个小细长条.
f( t) 0.5 t t
(2) 区间 [i 1, i ],(i 1,2, n)
nn
的中点坐标为
2i 1
0
0
0.2
0.4
0.6
o A2
x
图4_2
1
1 x2 0(x [0,1]), 故 0
x
1 x2 dx
为由曲线 y 1 x2 0, x 0, x 1, y 0 所围平面的面积,
为圆 x2 y2 1所围平面面积的四分之一,故
1 1 x2 dx
0
4
例4 变式：求不定积分:
把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间： 小区间[xi1, xi ]的长度记为 xi xi xi1(i 1,2,3,, n)
过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 Ai
y
y=f(x)
0 a x0 x1 x2 x3 xi1 xi
为曲线

y f ( x), x a, x b, y 0
围成的面积.
oa
x
b
b
y
(2) 当 f ( x) 0( x [a, b])时,a f ( x)dx
为曲线
o
a
y f ( x), x a, x b, y 0
围成的面积的相反数(负面积).
b
(3)一般情形: a f ( x)dx为曲线
y
f(x)=x2 y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-
f(x)=1
0 a x -1 0 2 x a 0 b x -1 0 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x
2
dx
y
f(x)=x2 y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1 y
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（2）在图②中，被积函数f (x) x2在[1，2]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
1, n
i ], i n
1, 2,
, n, 则有
n
i 1
f (i )xi

n ( i )3 1 i1 n n

1 n4
n
i3
i 1
1 n4

n2 (n 1)2 4
所以
lim
n
n i 1
f (i )xi

lim
n
1 n4

n2 (n 1)2 4
f (x) 在
a, b
上连续，则定积分
b
f (x)dx 的值
A.与区间及被积函数有关；B.与区间无a关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
三.定积分的几何意义 设 y f (x)为 [a,b] 上连续函数.
y
y f (x)
b
(1) 当 f ( x) 0( x [a, b])时,a f ( x)dx
每一小细条的面积近似用如下小矩形的面积代之
1 n
(xi
)2

(2i 1)2 4n3
,i
1,2,
n
所求面积近似为:
n
i 1
(2i 1)2 4n3

1 12

4

1 n2

Sn
(4) 分得越细(即n越大),上述近似值就越接近于其精确值.
令n趋于“无穷大”，取极限得所求的面积为： S 1 . 3
0.8
1
xi 2n ,(i 1, 2, , n)0
Xtt1 1
1.2
每一小细条的面积近似用如下小矩形的面积代之
1 n
(xi
)2

(2i 1)2 4n3
,i
1,2,
n
(3) 区间 [i 1, i ],(i 1,2, n)
nn
的中点坐标为
2i 1 xi 2n ,(i 1,2, ,n)

当取左端点计算小细条面积时，所求面积S近似为:
1 31 Sn 6 (2 n n2 )
当取右端点计算小细条面积时，所求面积S近似为:
Sn

1 6
(2

3 n

1 n2
)
令n趋于“无穷大”，它们的极限为同一个数S： 1 . 3
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.

1, 4
1 x3dx 1 .
0
4
例3
1. 由曲线 y x 2 1与直线 x 1, x 3
及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为
2
2. sin 3tdt 中，积分上限是 积分下限是 2
积分区间是
3.定积分 2 (x 2 1)dx 2
4.
y
积分上限
b f ( x)dx a
I

lim
n
n i 1
ba n
f (i )
积分和
积分下限
被 积 函 数
被 积 表
积 分 变
达
量
式
[a,b] 积分区间
注：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
a f ( x)dx

b
a
f
(t
)dt
b
a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
例2 求 1 x3dx. 0
解:
作 [0,1]上的分割 T [0, 1 , 2 , , n 1 ,1], nn n
并取
i

i n
[i
这些小区间的长度最大者）时，和式 f (i )xi 的
极限就是A，即
n
A lim ||xi ||0 i 1
i 1
f (i )xi
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y
y=f(x)
0 a x0 x1
f(ξｉ) x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
例1 求由曲线 y x2 , x 1, y 0 围成的面积.
xn1 xn b
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第i个小曲边梯形的底[xi1, xi ]上任取一点（i xi1 xi ), 它所对应的函数值是f (i ).用相应的宽为xi ,长为f (i )的小矩形 面积来近似代替这个小曲边梯形的面积，即Ai f (i )xi
并作和
n
S f ( i )xi
i 1

n i 1
f
( i
)
b
n
a
，
无论怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 n 时， 和 S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分， 记为