内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意：1．答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内。

2．答案必须写在答题卡上，在试题卷上答题无效。

一、选择题（每题5分）
z-=+，则复数z的共轭复数z=（）1．已知i为虚数单位，若复数z满足(1i)73i
A．25i
+
-D．25i
-+ C．25i
-- B．25i
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点()
M-关于xOz平面对称的点的坐标是（）
1,2,3
A．()
-- D．()
1,2,3
1,2,3
1,2,3
-- B．()
1,2,3
-- C．()
3．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( )
A．1×2×3 B．2×3×4 C．34D．43
4．函数()()1e x
0,1处的切线方程为（）
=+的图象在点()
f x x
A．10
x y
+-=
x y
-+= D．210
-+= C．e10
-+= B．210
x y
x y
5．已知函数，则( )
A． B．e C． D．1
6．观察：22334455
+=+=+=+=+=，
1,3,4,7,11,
a b a b a b a b a b
则99
+=（）
a b
A．28 B．76 C．123 D．199
7．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8、⎰-+22
)cos (π
πdx x x =( )
A ．π
B ．2
C ． π-
D ． 4
9、为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ）
A ．36
B ．20
C ．18
D ．12 10．函数，则（ ） A ．为函数的极大值点 B ．为函数的极小值点 C ．
为函数
的极大值点 D ．
为函数
的极小值点
11、如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A ．72
B ．96
C ．108
D ．120
12. 已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a （ ）. A.8 B.6 C.-8 D.-6 二、填空题（每题5分）
13．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋bi ，其中虚数有 .
14．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、
C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科；
③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科.
可以判断乙在______________（3分）教的学科是______________（2分）. 15.由曲线322+-=x x y 与直线3+=x y 所围成的图形面积为 . 16．若函数
在是增函数，则的取值范围是________
三、解答题（共70分）
17．(本题10分) 实数m 取怎样的值时，复数
22
6(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数（2）纯虚数
18（本题12分）7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙、丙3人相邻 （2）甲、乙、丙3人不相邻
19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD//BC ，∠ BAD=，PA⊥底面ABCD ，
且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成角的余弦
20．已知函数),(31)(23R b a bx ax x x f ∈-+=．若)(x f y =图象上的点)3
11,1(-处的切线斜率为－4.
（1）求a 、b 的值. (2)求)(x f y =的极大值
21．如图,在直三棱柱中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．
（1）求证：
⊥
（2）若3AD =，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值
22．已知函数()32113
f x x ax =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若()1f x ≥在区间[)3,+∞上恒成立，求a 的最大值.
高二理科数学答案:
1.C
2. 【答案】D
3. 解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N ＝4×4×4＝43，故选D.
4. 【答案】B
5. 【答案】C
6.答案B
7. 【答案】C
8.B 〖解答〗函数()cos f x x x =+的原函数为()21sin 2
F x x x =+，由微积分基本定理得 ()()()
()
()
2
2
22
11(cos )sin sin 22222
22
22x x dx F F π
ππππ
ππ
π-⎡
⎤⎡
⎤
+=--=+--+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰
故选择B 9. 答案A
解析先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.
详解：由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，
要求每人去一个病区，有
23436636C A ⨯=⨯=种分配方法， 故选：A. 10. 【答案】A 【解析】
，故当
时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的
极大值点． 11、答案B
解析若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有344A ＝72种涂色法；若1,3同色，有
14C 33A ＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法． 12. 答案A
13.解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b (b ≠0)有6种方法，第二步确定a 有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个) 【答案】 沈阳 C 14.【解析】
由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A 学科，则乙不教A 学科；又乙不教B 学科，所以乙教C 学科，而在哈尔滨工作的教师不教C 学科，故乙在沈阳教C 学科. 15.答案 2
9
16.【答案】a≥3由条件知f′(x)＝2x ＋a －≥0在
上恒成立，即a≥－2x 在
上恒成立．
∵函数y ＝－2x 在上为减函数，∴y max ＜，
∴a≥3.经检验，当a ＝3时，满足题意．
17. 【答案】（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【解析】 （1）当，即
或时，的虚部等于0，
所以当
或
时，为实数；
（2）当时，即或时，为纯虚数.
18. 答案（1）720；（2）1440
（2）可先排其余4人，再利用插空法排甲、乙、丙.
详解：（1）将甲、乙、丙3人看作一个整体，与其余4人全排列，有55A 种排法，而甲、乙、丙3人有33A 种排法，故共有3535A A =720种不同的排法；
（2）可先排其余4人，然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中，故共有4345A A =1440种不同的排法. 19. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）建立空间坐标系求得直线的方向向量，证得向量点积为0即可；（Ⅱ）求面的法向量和直线的方向向量再由向量的夹角公式得到结果. 【详解】
如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ，设BC=1，则
A （0，0，0），P （0，0，2），
B （2，0，0），
C （2，1，0），M （1，，1），
D （0，2，0）。

（Ⅰ）因为
=0，所以PB⊥DM。

（Ⅱ）因为=0，
所以PB⊥AD， 又因为PB⊥DM， 所以PB⊥平面ADMN 。

因此
的余角θ即是CD 与平面ADMN 所成的角
因为5
10
,cos sin =••==CD PB CD PB CD PB θ，
所以5
15
cos =
θ 20. 【解析】 试题分析： 由题已知点处的切线斜率为
，可获得两个条件；即：函数图像过点
，且
该点处的导数为。

可得两个方程，求出的值，再由求出的函数解析式，可运用导数求出函数的单调区间和极值。

即：为函数的增区间，反之为减区间。

再判断出极值。

试题解析：
（1）∵f′（x ）＝x 2＋2ax －b ，
∴由题意可知：f′（1）＝－4且f （1）＝
即
解得
（2）f（x）＝x3－x2－3x，
f′（x）＝x2－2x－3＝（x＋1）（x－3）．
令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（－∞，－1）－1（－1,3）3（3，＋∞）f′（x）＋0－0＋
f（x）极大值极小值
∴当x＝－1时，f（x）取极大值.
考点：导数的几何意义及运用导数求函数的单调区间及极值。

21. 【答案】（1）证明：见解析；（2）．
【解析】
试题解析：（1）证明：三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又平面，∴
-AD⊥平面1A BC，且平面1A BC，
∴．又平面,平面,，
∴BC⊥平面1A AB，
又平面，
∴
A AB，平面,从而
（2）由（1）知BC⊥平面
1
如图,以B为原点建立空间直角坐标系
A BC，其垂足D落在直线1A B上,
AD⊥平面
∴．
在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB=2，
3
sin 2
AD ABD AB ∠=
=,060ABD ∠= 在直三棱柱中，．
在
中，01tan6023AA AB =⋅=,
则（0,0,0）,
,C （2，0，0）,P （1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面
的一个法向量
则1110
{0
n BP n BA ⋅=⋅=即0{2230x y y z +=+=可得
设平面的一个法向量
⎪⎩⎪⎨⎧=•=•→→→
→
0212BC n BA n 即⎩⎨⎧=+=032202z y x 可得()
1,3,02-=→
n
所以121212
27
cos ,7
n n n n n n ⋅〈〉=
=
∴二面角
平面角的余弦值是12分
（2）或
在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB=2,则BD=1
可得D （33(0,,)22AD =- 11127
cos 7n AD
n AD n AD ⋅〈⋅〉==
∴二面角平面角的余弦值是12分
22. 【答案】（1）当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,2a ； 当0a <时，()f x 的单调递减区间是()2,0a （2）1
【解析】
试题解析：（1）()'22f x x ax =-.
当0a =时，()'0f x ≥，()f x 在(),-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()'0f x <得：02x a <<；
当0a <时，由()'0f x <得：20a x <<. 综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,2a ； 当0a <时，()f x 的单调递减区间是()2,0a .
（2）因为 ()1f x ≥在区间[)3,+∞上恒成立，即321
03x ax -≥在区间[)3,+∞上恒成立.
所以 13a x ≤在区间[)3,+∞上恒成立.
因为 3x ≥，
所以 113
x ≥.
所以 1a ≤.
所以 若()1f x ≥在区间[)3,+∞上恒成立，a 的最大值为1. 故答案为：-1.
【解析】本题考查定积分的计算问题.
〖思路分析〗定积分()b a f x dx ⎰的计算问题，主要是依据微积分的基本定理.先求出被积函
数的原函数()F x ，然后由公式()()()b a f x dx F b F a =-⎰求得结果.。