高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析
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5.1.2 导数的概念及其几何意义
基础过关练
题组一 导数的定义及其应用
1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)
B.f(x 0)+Δx
C.f(x 0)·Δx
D.f(x 0+Δx)-f(x 0)
2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=lim
Δx→0
f (x 0+Δx )-f (x 0)
Δx
B.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]
C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)
D.f'(x 0)=
f (x 0+Δx )-f (x 0)
Δx
3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .
4.如图是函数y=f(x)的图象.
(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.
题组二
导数的几何意义及其应用
6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )
A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率
D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )
8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )
A.f'(a)<f'(b)<f'(c)
B.f'(b)<f'(c)<f'(a)
C.f'(a)<f'(c)<f'(b)
D.f'(c)<f'(a)<f'(b)
9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )
B.1
C.2
D.0
A.1
2
题组三 求曲线的切线方程
10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )
A.a=-1,b=1
B.a=1,b=-1
C.a=-2,b=1
D.a=2,b=-1
11.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4)
D.(2,8)或(-1,-4)
12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .
13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .
14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
能力提升练
题组一 导数的定义及其应用
1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )
A.甲厂
B.乙厂
C.两厂一样
D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若
f'(2)=3,则lim Δx→0
f (2+2Δx )-f (2)
Δx
= . 3.(
)服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)
与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.
题组二 导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,
则下列数值排序正确的是( )
A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)
B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)
C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)
D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)
5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法
正确的是( )
A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,
则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
>f(x1)+f(x2)
2
<f(x1)+f(x2)
2
题组三 求曲线的切线方程
7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为
,则点P的横坐标的取值范围为( )
A.-∞,-
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.-1
,+∞
2
8.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .
,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1
x
两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)
答案全解全析基础过关练
1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).
2.A 由导数的定义知A 正确.
3.答案 2
解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0
Δy
Δx =a,
∴f'(1)=a=2.
4.答案 (1)12 (2)3
4
解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.
(2)由函数f(x)的图象知,
,-1≤x ≤1,<x ≤3,
所以函数
f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322
=3
4.
5.解析 Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=
(Δx )2
(Δx )2+1+1,
∴Δy
Δx =Δx (Δx )2+1+1,
∴y'
x=0=lim Δx→0Δy
Δx =lim Δx→0
Δx (Δx )2+1+1=0.
6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.
7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.
9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,
∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.
10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0Δy
Δx
=lim Δx→0
(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -b
Δx =lim Δx→0
(Δx )2+2Δx +aΔx
Δx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.
又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.
11.C f'(x)=lim Δx→0
Δy
Δx
=lim Δx→0
(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2
Δx
=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案 2x+y-5=0
解析 由题意知,切线的斜率k=-2.
∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案 2x-y-1=0
解析 设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=
lim
Δx→0
f (x 0+Δx )-f (x 0)
Δx
=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故
所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
14.解析 Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1
Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx
=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0
Δy
Δx =3x 2,因此y'=3x 2.
设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率
k=x 3
0+1―1x 0
-1②,由①-②得
3x 20=x 3
0x 0-1
,解得x 0=0或
x 0=3
2,所以
k=0或k=27
4,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=27
4(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.
能力提升练
1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.
2.答案 6解析 lim
Δx→0
f (2+2Δx )-f (2)
Δx
=2lim Δx→0
f (2+2Δx )-f (2)
2Δx =2f'(2)=6.3.解析 f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.
4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)
3―2
=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.
由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是
f (b )-f (a )
b -a
,g(x)在a 到b 之间
的平均变化率是g (b )-g (a )
b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),
∴
f (b )-f (a )b -a
=g (b )-g (a )
b -a
,
∴A 、B 错误;
易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,
同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,
由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.
6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;
B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确
表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的
平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有
<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正
确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0
f (x 0+Δx )-f (
x 0)Δx =2x 0+2.
∵α
,∴tan α∈[1,+∞),
∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.
8.答案 x-y+2=0或x+3y-2=0
解析 令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),
则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.
当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),
∴直线m 的方程为x-y+2=0.
当t ≠0时
,0,PA
=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),
∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,
+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P
重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.
综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析 由y =x 2,y =1x
,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线
切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0
f (Δx +1)―f (1)
Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0
(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx
=lim Δx→0-
所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,
两条切线与x
,0,(2,0),所以两切线与x轴围成
的三角形的面积为1
2
×1×|2―12|=34.。